優位性に基づくラフ集合アプローチ

優位性に基づくラフ集合アプローチ（DRSA）は、グレコ、マタラッツォ、スウォウィンスキによって導入された、ラフ集合理論を多基準決定分析（MCDA）に拡張したものです。 ^{[1] [2] [3]古典的な}ラフ集合と比較した主な変更点は、識別不能関係を優位性関係に置き換えた点です。これにより、基準 と優先順位付けされた決定クラスを考慮する際に典型的な矛盾に対処できます。

マルチ基準分類（ソート）は、 MCDA内で検討される問題の 1 つであり、次のように述べることができます。一連の基準（優先順位ドメインを持つ属性）によって評価されるオブジェクトのセットが与えられた場合、これらのオブジェクトをいくつかの事前定義済みで優先順位が付けられた決定クラスに割り当て、各オブジェクトが 1 つのクラスに割り当てられるようにします。優先順位により、基準でのオブジェクトの評価が向上しても、クラスの割り当てが悪化することはありません。ソート問題は分類の問題と非常に似ていますが、後者では、オブジェクトは通常の属性によって評価され、決定クラスは必ずしも優先順位が付けられているわけではありません。マルチ基準分類の問題は、単調性制約付きの順序分類問題とも呼ばれ、順序と単調な特性が問題に関するドメイン知識から得られるときに、実際のアプリケーションでよく発生します。

説明例として、高校での評価の問題を考えてみましょう。校長は、生徒 (オブジェクト) を悪い、普通、良い の3 つのクラスに割り当てたいと考えています(良いクラスは普通より優先され、普通は悪いより優先されることに注意してください)。各生徒は、物理、数学、文学のレベルという 3 つの基準で表され、それぞれ悪い、普通、良い の3 つの値のいずれかを取ります。基準は優先順位が付けられており、いずれかの科目のレベルが向上しても、全体的な評価 (クラス) が悪化することはありません。

もっと深刻な例として、倒産リスクの観点から銀行顧客を安全クラスとリスククラスに分類することを考えてみましょう。これには、「自己資本利益率(ROE)」、「投資利益率(ROI)」、「売上高利益率(ROS)」などの特性が含まれる場合があります。これらの属性のドメインは単純に順序付けられているわけではなく、優先順位が関係します。銀行の管理者の観点からは、ROE、ROI、または ROS の値が大きいほど、倒産リスクを分析する顧客にとって有利だからです。したがって、これらの属性は基準です。知識発見においてこの情報を無視すると、誤った結論につながる可能性があります。

DRSA では、データは多くの場合、特定の形式の決定表を使用して提示されます。正式には、DRSA 決定表は 4 組で、 はオブジェクトの有限集合、は基準の有限集合、は基準のドメイン、 はすべての に対してとなる情報関数です。集合は、条件基準(集合) と決定基準(クラス)に分かれています。 は基準 に基づくオブジェクトの評価であり、 はオブジェクトのクラス割り当て (決定値) であることに注意してください。決定表の例を以下の表 1 に示します。 ${\displaystyle S=\langle U,Q,V,f\rangle }$${\displaystyle U\,\!}$${\displaystyle Q\,\!}$${\displaystyle V=\bigcup {}_{q\in Q}V_{q}}$${\displaystyle V_{q}\,\!}$${\displaystyle q\,\!}$${\displaystyle f\colon U\times Q\to V}$${\displaystyle f(x,q)\in V_{q}}$${\displaystyle (x,q)\in U\times Q}$${\displaystyle Q\,\!}$${\displaystyle C\neq \emptyset }$${\displaystyle d\,\!}$${\displaystyle f(x,q)\,\!}$${\displaystyle x\,\!}$${\displaystyle q\in C}$${\displaystyle f(x,d)\,\!}$

基準の定義域は、アウトランキング関係によって完全に順序付けられていると仮定します。つまり、は、基準 に関して と少なくとも同等に優れている (上位である)ことを意味します。一般性を失うことなく、 の定義域は実数、のサブセットであり、アウトランキング関係は、次の関係が成り立つような実数間の単純な順序であると仮定します。この関係は、利得型 (「多いほど良い」) 基準 (例:企業利益) の場合は簡単です。コスト型 (「少ないほど良い」) 基準 (例:製品価格 )の場合は、 の値を反転することでこの関係を満たすことができます。 ${\displaystyle q\in Q}$ ${\displaystyle \succeq _{q}}$${\displaystyle x\succeq _{q}y}$${\displaystyle x\,\!}$${\displaystyle y\,\!}$${\displaystyle q\,\!}$${\displaystyle q\,\!}$${\displaystyle V_{q}\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle \geq \,\!}$${\displaystyle x\succeq _{q}y\iff f(x,q)\geq f(y,q)}$${\displaystyle V_{q}\,\!}$

とします。決定基準のドメインは要素で構成され（一般性を失うことなく と仮定）、 をクラスに分割します。ここで、各オブジェクトは1 つのクラス にのみ割り当てられます。クラスは、クラス インデックスの昇順に従って優先順位が付けられます。つまり、となるすべての について、 のオブジェクトはのオブジェクトよりも厳密に優先されます。このため、次のように定義されるクラス の上向きおよび下向きの和集合を考えることができます。 ${\displaystyle T=\{1,\ldots ,n\}\,\!}$${\displaystyle V_{d}\,\!}$${\displaystyle n\,\!}$${\displaystyle V_{d}=T\,\!}$${\displaystyle U\,\!}$${\displaystyle n\,\!}$${\displaystyle {\textbf {Cl}}=\{Cl_{t},t\in T\}}$${\displaystyle Cl_{t}=\{x\in U\colon f(x,d)=t\}}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle Cl_{t},t\in T}$${\displaystyle r,s\in T}$${\displaystyle r\geq s\,\!}$${\displaystyle Cl_{r}\,\!}$${\displaystyle Cl_{s}\,\!}$

${\displaystyle Cl_{t}^{\geq }=\bigcup _{s\geq t}Cl_{s}\qquad Cl_{t}^{\leq }=\bigcup _{s\leq t}Cl_{s}\qquad t\in T}$

が、からのすべての基準でよりも優れている場合、 （ で表す）は に関して優位であると言う。各 に対して、優位関係は反射的かつ推移的である、つまり部分的な前順序である。および が与えられている場合、 ${\displaystyle x\,\!}$ ${\displaystyle y\,\!}$${\displaystyle P\subseteq C}$${\displaystyle xD_{p}y\,\!}$${\displaystyle x\,\!}$${\displaystyle y\,\!}$${\displaystyle P\,\!}$${\displaystyle x\succeq _{q}y,\,\forall q\in P}$${\displaystyle P\subseteq C}$${\displaystyle D_{P}\,\!}$${\displaystyle P\subseteq C}$${\displaystyle x\in U}$

${\displaystyle D_{P}^{+}(x)=\{y\in U\colon yD_{p}x\}}$

${\displaystyle D_{P}^{-}(x)=\{y\in U\colon xD_{p}y\}}$

はそれぞれ、に関してP支配集合とP支配集合を表します。 ${\displaystyle x\in U}$

ラフ セットの考え方の重要なアイデアは、ある知識を別の知識で近似することです。DRSA では、近似される知識は、決定クラスの上向きおよび下向きの結合のコレクションであり、近似に使用される「知識の粒度」は、P優勢セットとP優勢セットです。

に対するのP下近似とP上近似は、それぞれ とと表記され、次のように定義されます。 ${\displaystyle Cl_{t}^{\geq },t\in T}$${\displaystyle P\subseteq C}$${\displaystyle {\underline {P}}(Cl_{t}^{\geq })}$${\displaystyle {\overline {P}}(Cl_{t}^{\geq })}$

${\displaystyle {\underline {P}}(Cl_{t}^{\geq })=\{x\in U\colon D_{P}^{+}(x)\subseteq Cl_{t}^{\geq }\}}$

${\displaystyle {\overline {P}}(Cl_{t}^{\geq })=\{x\in U\colon D_{P}^{-}(x)\cap Cl_{t}^{\geq }\neq \emptyset \}}$

同様に、 に関するのP下近似とP上近似は、それぞれ と と表記され、次のように定義されます。 ${\displaystyle Cl_{t}^{\leq },t\in T}$${\displaystyle P\subseteq C}$${\displaystyle {\underline {P}}(Cl_{t}^{\leq })}$${\displaystyle {\overline {P}}(Cl_{t}^{\leq })}$

${\displaystyle {\underline {P}}(Cl_{t}^{\leq })=\{x\in U\colon D_{P}^{-}(x)\subseteq Cl_{t}^{\leq }\}}$

${\displaystyle {\overline {P}}(Cl_{t}^{\leq })=\{x\in U\colon D_{P}^{+}(x)\cap Cl_{t}^{\leq }\neq \emptyset \}}$

下近似は、クラス union (それぞれ) に確実に属するオブジェクトをグループ化します。この確実性は、オブジェクト が下近似(それぞれ) に属するのは、この主張に矛盾する他のオブジェクトがない場合、つまり、 をP支配するすべてのオブジェクトがクラス union (それぞれ) にも属する場合であるという事実から来ています。上近似は、クラス union (それぞれ) から によってP支配される別のオブジェクトが存在する場合、オブジェクト が上近似(それぞれ) に属するため、(それぞれ)に属する可能性があるオブジェクトをグループ化します。 ${\displaystyle Cl_{t}^{\geq }}$${\displaystyle Cl_{t}^{\leq }}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle {\underline {P}}(Cl_{t}^{\geq })}$${\displaystyle {\underline {P}}(Cl_{t}^{\leq })}$${\displaystyle U\,\!}$${\displaystyle y\in U}$${\displaystyle x\,\!}$${\displaystyle Cl_{t}^{\geq }}$${\displaystyle Cl_{t}^{\leq }}$${\displaystyle Cl_{t}^{\geq }}$${\displaystyle Cl_{t}^{\leq }}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle {\overline {P}}(Cl_{t}^{\geq })}$${\displaystyle {\overline {P}}(Cl_{t}^{\leq })}$${\displaystyle y\in U}$ ${\displaystyle x\,\!}$${\displaystyle Cl_{t}^{\geq }}$${\displaystyle Cl_{t}^{\leq }}$

上記のように定義されたP下限近似値とP上限近似値は、すべてのおよび任意のに対して次の特性を満たします。 ${\displaystyle t\in T}$${\displaystyle P\subseteq C}$

${\displaystyle {\underline {P}}(Cl_{t}^{\geq })\subseteq Cl_{t}^{\geq }\subseteq {\overline {P}}(Cl_{t}^{\geq })}$

${\displaystyle {\underline {P}}(Cl_{t}^{\leq })\subseteq Cl_{t}^{\leq }\subseteq {\overline {P}}(Cl_{t}^{\leq })}$

およびのP境界（P疑わしい領域）は次のように定義されます。 ${\displaystyle Cl_{t}^{\geq }}$${\displaystyle Cl_{t}^{\leq }}$

${\displaystyle Bn_{P}(Cl_{t}^{\geq })={\overline {P}}(Cl_{t}^{\geq })-{\underline {P}}(Cl_{t}^{\geq })}$

${\displaystyle Bn_{P}(Cl_{t}^{\leq })={\overline {P}}(Cl_{t}^{\leq })-{\underline {P}}(Cl_{t}^{\leq })}$

比率

${\displaystyle \gamma _{P}({\textbf {Cl}})={\frac {\left|U-\left(\left(\bigcup _{t\in T}Bn_{P}(Cl_{t}^{\geq })\right)\cup \left(\bigcup _{t\in T}Bn_{P}(Cl_{t}^{\leq })\right)\right)\right|}{|U|}}}$

基準のセットによってクラスへの分割の近似品質を定義します。この比率は、 P 個正しく分類されたすべてのオブジェクトとテーブル内のすべてのオブジェクト との関係を表します。${\displaystyle {\textbf {Cl}}\,\!}$${\displaystyle P\,\!}$

となるようなすべての極小部分集合はの縮約と呼ばれ、 で表されます。決定表には複数の縮約が含まれる場合があります。すべての縮約の共通部分はコアと呼ばれます。 ${\displaystyle P\subseteq C}$${\displaystyle \gamma _{P}(\mathbf {Cl} )=\gamma _{C}(\mathbf {Cl} )\,\!}$${\displaystyle C\,\!}$${\displaystyle RED_{\mathbf {Cl} }(P)}$

優位関係によって得られた近似値に基づいて、決定表に含まれる優先情報の一般化された記述を決定ルールとして導くことができます。決定ルールは、条件基準と決定基準の間の依存関係の形式を表す、 if [条件] then [結果] の形式の表現です。決定表から決定ルールを生成する手順では、帰納的学習原理が使用されます。ルールには、確実、可能、近似の 3 種類があります。確実ルールはクラスの和集合の下側近似から生成され、可能ルールはクラスの和集合の上側近似から生成され、近似ルールは境界領域から生成されます。

特定のルールは次の形式になります。

もしそしてそしてそして${\displaystyle f(x,q_{1})\geq r_{1}\,\!}$${\displaystyle f(x,q_{2})\geq r_{2}\,\!}$${\displaystyle \ldots f(x,q_{p})\geq r_{p}\,\!}$${\displaystyle x\in Cl_{t}^{\geq }}$

もしそしてそしてそして${\displaystyle f(x,q_{1})\leq r_{1}\,\!}$${\displaystyle f(x,q_{2})\leq r_{2}\,\!}$${\displaystyle \ldots f(x,q_{p})\leq r_{p}\,\!}$${\displaystyle x\in Cl_{t}^{\leq }}$

可能なルールは同様の構文を持ちますが、ルールの結果部分はcould be been toという形式またはcould be been to という形式になります。 ${\displaystyle x\,\!}$ ${\displaystyle Cl_{t}^{\geq }}$${\displaystyle x\,\!}$ ${\displaystyle Cl_{t}^{\leq }}$

最後に、近似ルールの構文は次のようになります。

もし、そして、そして、そしてそして、 そして${\displaystyle f(x,q_{1})\geq r_{1}\,\!}$${\displaystyle f(x,q_{2})\geq r_{2}\,\!}$${\displaystyle \ldots f(x,q_{k})\geq r_{k}\,\!}$${\displaystyle f(x,q_{k+1})\leq r_{k+1}\,\!}$${\displaystyle f(x,q_{k+2})\leq r_{k+2}\,\!}$${\displaystyle \ldots f(x,q_{p})\leq r_{p}\,\!}$${\displaystyle x\in Cl_{s}\cup Cl_{s+1}\cup Cl_{t}}$

確実なルール、可能性のあるルール、および近似ルールは、意思決定テーブルから抽出された確実な知識、可能性のある知識、および曖昧な知識を表します。

各決定ルールは最小限である必要があります。決定ルールは含意であるため、最小限の決定ルールとは、少なくとも同じ弱さの前件部 (つまり、基本条件のサブセットまたはより弱い基本条件を使用するルール) と少なくとも同じ強さの後件部 (つまり、オブジェクトをクラスの同じ和集合またはサブ和集合に割り当てるルール) を持つ他の含意が存在しないような含意と理解されます。

決定ルールのセットは、決定表のすべてのオブジェクトをカバーし、一貫性のあるオブジェクトが元のクラスに再分類され、一貫性のないオブジェクトがこの不一致を参照するクラスのクラスターに分類される場合、完全です。完全で冗長でない決定ルールの各セットを最小限と呼びます。つまり、このセットからルールを除外すると、セットは非完全になります。決定ルールのセットを取得するには、3つの誘導戦略のいずれかを採用できます。^[4]

• 最小限の記述、つまり最小限のルールセットの生成、
• 網羅的な記述の生成、つまり与えられたデータマトリックスのすべてのルールの生成、
• 特性記述の生成、すなわち、比較的多くのオブジェクトをそれぞれカバーするルールのセット。ただし、決定表のすべてのオブジェクトを必ずしもカバーするわけではない。

優位性に基づくラフ集合アプローチのための最も一般的なルール誘導アルゴリズムはDOMLEM ^[5]であり、これは最小限のルールセットを生成します。

高校生の評価に関する次の問題を考えてみます。

各オブジェクト（学生）は、それぞれ数学、物理学、文学のレベルに関連する 3 つの基準 によって説明されます。決定属性に従って、学生は 、および の 3 つの優先順位クラスに分類されます。したがって、次のクラスの和集合が近似されました。 ${\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3}\,\!}$${\displaystyle Cl_{1}=\{bad\}}$${\displaystyle Cl_{2}=\{medium\}}$${\displaystyle Cl_{3}=\{good\}}$

• ${\displaystyle Cl_{1}^{\leq }}$つまり、（せいぜい）成績の悪い生徒のクラス、
• ${\displaystyle Cl_{2}^{\leq }}$つまり、中程度の生徒数以下のクラス、
• ${\displaystyle Cl_{2}^{\geq }}$つまり、少なくとも中程度の生徒のクラス、
• ${\displaystyle Cl_{3}^{\geq }}$つまり、（少なくとも）優秀な生徒のクラスです。

オブジェクトとの評価は一貫していないことに注意してください。これは、は 3 つの基準すべてにおいて よりも評価が高いですが、全体的なスコアは の方が低いためです。 ${\displaystyle x_{4}\,\!}$${\displaystyle x_{6}\,\!}$${\displaystyle x_{4}\,\!}$${\displaystyle x_{6}\,\!}$

したがって、クラス和集合の下位近似は次のオブジェクトで構成されます。

${\displaystyle {\underline {P}}(Cl_{1}^{\leq })=\{x_{1},x_{5}\}}$

${\displaystyle {\underline {P}}(Cl_{2}^{\leq })=\{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{8}\}=Cl_{2}^{\leq }}$

${\displaystyle {\underline {P}}(Cl_{2}^{\geq })=\{x_{2},x_{3},x_{7},x_{8},x_{9},x_{10}\}}$

${\displaystyle {\underline {P}}(Cl_{3}^{\geq })=\{x_{7},x_{9},x_{10}\}=Cl_{3}^{\geq }}$

したがって、クラスとのみを正確に近似することはできません。それらの上限近似値は次のとおりです。 ${\displaystyle Cl_{1}^{\leq }}$${\displaystyle Cl_{2}^{\geq }}$

${\displaystyle {\overline {P}}(Cl_{1}^{\leq })=\{x_{1},x_{4},x_{5},x_{6}\}}$

${\displaystyle {\overline {P}}(Cl_{2}^{\geq })=\{x_{2},x_{3},x_{4},x_{6},x_{7},x_{8},x_{9},x_{10}\}}$

境界領域は次のとおりです。

${\displaystyle Bn_{P}(Cl_{1}^{\leq })=Bn_{P}(Cl_{2}^{\geq })=\{x_{4},x_{6}\}}$

もちろん、と は正確に近似されているので、となり、${\displaystyle Cl_{2}^{\leq }}$${\displaystyle Cl_{3}^{\geq }}$${\displaystyle {\overline {P}}(Cl_{2}^{\leq })=Cl_{2}^{\leq }}$${\displaystyle {\overline {P}}(Cl_{3}^{\geq })=Cl_{3}^{\geq }}$${\displaystyle Bn_{P}(Cl_{2}^{\leq })=Bn_{P}(Cl_{3}^{\geq })=\emptyset }$

決定表から、次の 10 個のルールの最小セットを導き出すことができます。

1. もし そうなら${\displaystyle Physics\leq bad}$ ${\displaystyle student\leq bad}$
2. もし そしてそしてそして${\displaystyle Literature\leq bad}$ ${\displaystyle Physics\leq medium}$ ${\displaystyle Math\leq medium}$ ${\displaystyle student\leq bad}$
3. もし そうなら${\displaystyle Math\leq bad}$ ${\displaystyle student\leq medium}$
4. もし 、そして${\displaystyle Literature\leq medium}$ ${\displaystyle Physics\leq medium}$ ${\displaystyle student\leq medium}$
5. もし 、そして${\displaystyle Math\leq medium}$ ${\displaystyle Literature\leq bad}$ ${\displaystyle student\leq medium}$
6. もし 、そして${\displaystyle Literature\geq good}$ ${\displaystyle Math\geq medium}$ ${\displaystyle student\geq good}$
7. もし 、そして${\displaystyle Physics\geq good}$ ${\displaystyle Math\geq good}$ ${\displaystyle student\geq good}$
8. もし そうなら${\displaystyle Math\geq good}$ ${\displaystyle student\geq medium}$
9. もし そうなら${\displaystyle Physics\geq good}$ ${\displaystyle student\geq medium}$
10. もし 、そして${\displaystyle Math\leq bad}$ ${\displaystyle Physics\geq medium}$ ${\displaystyle student=bad\lor medium}$

最後のルールは近似値ですが、残りは確実です。

多基準意思決定分析で考慮される他の2つの問題、多基準選択問題とランキング問題も、優位性に基づくラフセットアプローチを使用して解決できます。これは、意思決定表を一対比較表（PCT）に変換することによって行われます。^[1]

大まかな近似の定義は、優位性原理の厳密な適用に基づいています。しかし、曖昧でないオブジェクトを定義する場合、特に大規模な決定表の場合は、負の例を限られた割合で受け入れることが合理的です。このようなDRSAの拡張バージョンは、可変一貫性DRSAモデル（VC-DRSA）と呼ばれます^[6]

実際のデータ、特に大規模なデータセットでは、大まかな近似の概念は過度に制限的であることがわかりました。そのため、ある程度の不一致を許容する確率モデルに基づくDRSAの拡張(確率DRSA )が導入されました。^{[7]単調性制約のある順序分類問題の確率モデルを述べたので、下方近似の概念を確率の場合に拡張します。この方法は、}等式回帰の問題につながるノンパラメトリック最大尤度法を使用して条件付き確率を推定することに基づいています。

確率的優位性に基づくラフ集合は、一種の変数一貫性モデルと見なすこともできます。

4eMka2 Archived 2007-09-09 at the Wayback Machineは、優位性に基づくラフ集合 (DRSA) に基づく多基準分類問題のための意思決定支援システムです。 JAMM Archived 2007-07-19 at the Wayback Machineは、4eMka2 のさらに高度な後継システムです。 どちらのシステムも、Laboratory of Intelligent Decision Support Systems (IDSS) の Web サイトから非営利目的で無料で入手できます。

• ラフセット
• 粒度計算
• 多基準意思決定分析 (MCDA)

• Chakhar S.、Ishizaka A.、Labib A.、Saad I. (2016)。グループ決定のための優位性に基づくラフセットアプローチ、European Journal of Operational Research、251(1): 206-224
• Li S.、Li T. Zhang Z.、Chen H.、Zhang J. (2015)。優勢性に基づくラフ集合アプローチにおける近似値の並列計算、知識ベースシステム、87: 102-111
• Li S.、Li T. (2015)。属性値の変化を考慮した優位性に基づくラフ集合アプローチにおける近似値の増分更新、情報科学、294: 348-361
• Li S.、Li T.、Liu D. (2013)。オブジェクトセットの変化下での優位性に基づくラフセットアプローチにおける近似値の動的維持、International Journal of Intelligent Systems、28(8): 729-751

• 国際ラフ集合学会
• ポズナン工科大学のインテリジェント意思決定支援システム (IDSS) 研究所。
• Roman Słowiński ホームページに DRSA 参照の広範なリストがあります。