あらゆる選択肢のペアごとの順位付け

PAPRIKA（潜在的全ペアワイズランキング）は、多基準意思決定（MCDM）またはコンジョイント分析の手法であり、^{[1] [2] [3]}意思決定ソフトウェアおよびコンジョイント分析製品1000mindsおよびMeenyMoによって実装されています。^{[4] [5] [6]}

PAPRIKA メソッドは、ユーザーが代替案をペアで比較(ランク付け) することにより、現在の決定や選択に対する関心のある基準または属性の相対的な重要性に関する好みを表現することに基づいています。

MCDM アプリケーションでは、PAPRIKA は意思決定者が意思決定の基準の重みを決定し、それらの相対的な重要性を表すために使用されます。アプリケーションに応じて、これらの重みは選択肢のランク付け、優先順位付け、または選択に使用されます。

コンジョイント分析アプリケーションでは、PAPRIKAは消費者やその他の利害関係者とともに、製品やその他の関心対象を特徴付ける属性の相対的な重要性を表す「部分価値効用」（重み）を推定するために使用されます（選択モデリング、コンジョイント分析、離散選択など）。^{[2] [3]}

PAPRIKA法は、意思決定ソフトウェアおよびコンジョイント分析製品1000mindsとMeenyMoによって実装されています。^{[4] [5] [6]}

この方法が多基準意思決定やコンジョイント分析に使用される分野の例には、次のものがあります ( 1000minds のアプリケーションも参照)。

• 患者^{[7] [8] [9] [10] [11] [12] [13]}と医療技術の優先順位^{[14] [15] [16] [17] [18] [19] [20]}
• 疾患の診断と分類^{[21] [22 ] [23 ] [24 ] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [ 33 ] [34] [35] [36] [37] [38] [39]}
• 臨床ガイドラインの開発^{[40] [41] [42] [43]}
• 疾患研究開発の優先順位付け^[44]
• マーケティング調査^{[45] [46]}
• 環境資源管理^{[47] [48] [49] [50]}と研究^{[51] [52]}
• 動物^{[53] [54] [55] [56] [57] [58]}および植物の育種^{[2] [59] [60]}
• 都市計画^{[61] [62]}と廃棄物管理^[63]
• 情報通信技術（ICT）^{[3] [64]}
• 金融政策^[65] 、退職所得政策^[66]、慈善寄付^{[67] [68]}に関する研究

PAPRIKA法は、特にパフォーマンスカテゴリー^{[69] （「ポイント」、「スコアリング」、「ポイントカウント」または「線形」システムまたはモデルとも呼ばれる）を備えた}加法的な多属性値モデルに適用されます。以下の説明は、主に多基準意思決定の観点から述べられています。コンジョイント分析の観点から同様の説明も可能ですが、ここでは示しません。

名前が示すように、パフォーマンス カテゴリを持つ加法的な複数属性価値モデル (以下、単に「価値モデル」と呼びます) は、複数の基準 (または「属性」) で構成され、各基準内に 2 つ以上のパフォーマンス カテゴリ (または「レベル」) が加法的に組み合わされます。

各基準内の各カテゴリには、基準の相対的な重要性 (「重み」) と達成度の両方を反映する一定のポイントが与えられます。検討中の各選択肢について、基準全体のポイント値を合計して合計スコアを算出します。つまり、これらは加法値モデルであり、これによって選択肢が互いに優先順位付けまたはランク付け (または分類) されます。

したがって、価値モデル (または「ポイント システム」) は、単に、手元の意思決定問題に対する基準 (およびカテゴリ) とポイント値のスケジュールです。例については、以下のサブセクションの表 1 を参照してください。この「ポイント システム」表現は、基準の相対的な重要性を表し、全体的な値を結合するために、正規化された基準の重みと「単一基準価値関数」を使用する、より伝統的なアプローチに相当します (加重合計モデルを参照)。加重されていないポイント システム表現は使いやすく、以下の PAPRIKA メソッドの説明に役立ちます。

ポイント システムの応用例としては、求職者の順位付けが挙げられます。

下の表 1 の価値モデルを使用してランク付けされる 3 人の求職者が「Maartje」、「Michelle」、「Paulien」であるとします。次の 5 つの基準 (表 1 を参照) に基づいて評価されるとします。

• Maartje の教育は優秀で、5 年以上の経験がありますが、推薦状、社交スキル、熱意はすべて劣っています。
• ミシェルの学歴は低いですが、経験は2 ～ 5 年あり、推薦状、社交スキル、熱意はすべて良好です。
• Paulien の教育は良好で、経験は2 年未満であり、推薦状、社交スキル、熱意はすべて良好です。

表1:求職者のランク付けのための価値モデル（ポイントシステム）の例

表 1 の Maartje、Michelle、Paulien の説明に対応するポイント値を合計すると、合計スコアが得られます。

• マールチェの合計スコア = 40 + 10 + 0 + 0 + 0 = 50 ポイント
• ミシェルの合計得点 = 0 + 3 + 27 + 10 + 13 = 53 ポイント
• ポーリアンの合計スコア = 8 + 0 + 27 + 10 + 13 = 58 ポイント

明らかに、Paulien の合計スコアが最も高いです。したがって、価値モデル (および Maartje、Michelle、Paulien の評価方法) によれば、Paulien がこの職務に最適な候補者です。(ただし、明らかに、応募する可能性のある他の候補者と比較すると、Paulien は、 40 + 10 + 27 + 10 + 13 = 100 ポイントという「完璧な」スコアを獲得する、仮想的に考えられる最高の候補者ほど優秀ではありません。)

一般的に言えば、特定の価値モデルの基準とカテゴリを指定した後、課題は、意思決定者にとっての基準とカテゴリの相対的な重要性を正確に反映するポイント値を導き出すことです。価値モデルを作成するときに、有効で信頼性の高いポイント値を導き出すことは、おそらく最も難しい作業です。PAPRIKA メソッドは、代替案のペアワイズ ランキングを使用して表現される意思決定者の好みに基づいてこれを行います。

記事の冒頭で述べたように、PAPRIKA は「すべての可能な選択肢の潜在的にすべてのペアワイズランキング」の(部分的な) 頭字語です。次の説明により、この名前の由来が明らかになります。

PAPRIKA メソッドは、意思決定者が知っている特定の選択肢をランク付けする価値モデル (上記の求職者の例など) と、時間の経過とともに変化するプール内の潜在的にすべての仮説上の可能性のある選択肢をランク付けするモデル (医療を受ける患者など) に関係します。次の説明は、より一般的なこの 2 番目のタイプのアプリケーションを中心に行います。

PAPRIKA は、与えられた価値モデルによって表現可能なすべての可能な選択肢の全体的なランキング、つまり基準のカテゴリのすべての可能な組み合わせは、選択肢同士の相対的なペアごとのランキングがすべてわかっている場合 (そしてランキングが一貫している場合) に定義されるという基本原則に基づいています。

(例として、ある都市に住むすべての人を、最年少から最年長まで順位付けしたいとします。各人が年齢に関して他のすべての人に対してペアでどのように順位付けされているかがわかれば、つまり、可能性のある各個人のペアについて、2 人の個人のうちどちらが若いか、または 2 人が同じ年齢であるかがわかれば、最年少から最年長まで、その都市の人口の全体的な順位付けを作成できます。)

ただし、価値モデルに含まれる基準とカテゴリの数に応じて、すべての可能な選択肢のペアワイズ ランキングの数は、数百万、さらには数十億になる可能性があります。もちろん、これらのペアワイズ ランキングの多くは、ペアの 1 つの選択肢が少なくとも 1 つの基準でより高いカテゴリを持ち、他の基準では他の選択肢よりも低いカテゴリを持たないため、自動的に解決されます (「優位ペア」と呼ばれます)。

しかし、それでも潜在的に数百万または数十億の「非優勢ペア」が残ることになります。非優勢ペアとは、少なくとも 1 つの基準で一方の選択肢のランク付けカテゴリが高く、少なくとも 1 つの他の基準でもう一方の選択肢のランク付けカテゴリが低い選択肢のペアです。そのため、選択肢をペアでランク付けするには判断が必要です。前のセクションの求職者のランク付けの例を参照すると、非優勢ペア (候補者) の例としては、たとえば、ペアの一方が高学歴だが経験が浅く、もう一方が学歴は低いが非常に経験豊富である場合が挙げられます。そのため、この (非優勢) ペアをペアでランク付けするには判断が必要です。

n 個の可能な選択肢がある場合、n ( n −1)/2 個のペアワイズランキングがあります。たとえば、8 つの基準と各基準内の 4 つのカテゴリを持つ価値モデルの場合、4 ⁸ = 65,536 個の可能な選択肢があり、65,536 x 65,535 / 2 = 2,147,450,880 個のペアワイズランキングがあります。99,934,464 個の優位ペアを除外した後でも、ランク付けする必要がある 2,047,516,416 個の非優位ペアがまだあります。^[1]明らかに、この数に近いペアワイズランキング (20 億以上!) を実行することは、特別な方法なしでは人間には不可能です。

PAPRIKA メソッドは、意思決定者が実行する必要のあるペアワイズ ランキングの数を最小限に抑えることによってこの「不可能」な問題を解決します。つまり、潜在的に数百万または数十億の非劣ペアのごく一部だけを実行することで、意思決定者の負担が最小限に抑えられ、メソッドが実行可能になります。PAPRIKA は、意思決定者が明示的にランク付けした非劣ペアごとに、このペアと他の明示的にランク付けされたペアの帰結として暗黙的にランク付けされたすべての非劣ペアを識別 (および削除) することで、意思決定者が実行するペアワイズ ランキングの数を最小限に抑えます。このメソッドの効率性の基本は、以下の簡単なデモンストレーションで示すように、加法価値モデルの推移性プロパティの適用です。

PAPRIKA メソッドは、意思決定者が、一度に 2 つの基準のみで定義された非優越ペア (実質的に、他のすべての基準のカテゴリはペアで同一) をペアでランク付けすることから始まります。求職者のランク付けの例を再度参照すると、このようなペアでランク付けする質問の例は次のようになります。「他の条件が同じであれば、教育は低いが5 年以上の 経験がある人と、教育は優れているが2 年未満の 経験がある人のうち、どちらを雇用したいですか?」 (図 1 を参照)。

図1:ペアワイズランキング質問の例（1000mindsからのスクリーンショット）

意思決定者がペアをランク付けするたびに (上記の例のように)、暗黙的に帰結としてランク付けされたすべての非劣ペアが識別され、破棄されます。一度に 2 つの基準のみで定義された非劣ペアのランク付けが完了した後、意思決定者が続行することを選択した場合 (いつでも停止できます)、基準が連続的に増えるペア (つまり、3 つの基準、4 つの基準、5 つの基準など) が続き、すべての非劣ペアがランク付けされるまで続きます。

したがって、すべての可能な選択肢の潜在的にすべてのペアワイズランキング（PAPRIKA の頭字語）は、（ 1）優勢ペア（与えられたもの）、（2）意思決定者によって明示的にランク付けされた非優勢ペア、または（3）結果として暗黙的にランク付けされた非優勢ペアのいずれかとして識別されます。明示的にランク付けされたペアから、ポイント値（重み）は線形計画法によって取得されます。線形計画法には複数の解が考えられますが、結果として得られるポイント値はすべて、選択肢の同じ全体的なランク付けを再現します。

PAPRIKAの使用シミュレーションでは、意思決定者が一度に2つの基準で定義された非優越ペアをランク付けした後に停止した場合、結果として得られるすべての可能な選択肢の全体的なランク付けは、意思決定者がすべての非優越ペア（2つ以上の基準を含む）をランク付けした場合に得られる「真の」全体的なランク付けと非常に高い相関関係にあることが明らかになりました。^[1]

したがって、ほとんどの実用的な目的において、意思決定者は 2 つ以上の基準で定義されたペアをランク付けする必要はほとんどなく、それによって意思決定者の負担が軽減されます。たとえば、前述の 8 つの基準とそれぞれ 4 つのカテゴリを持つ価値モデルには、約 95 の明示的なペアワイズ ランキング (ランク付けする 2,047,516,416 の非優越ペア) が必要です。5 つの基準とそれぞれ 3 つのカテゴリを持つモデルには 25 のペアワイズ ランキングが必要です。^[1]前述の PAPRIKA の実際のアプリケーションは、意思決定者が 50 を超える少なくとも 100 のペアを比較的迅速に楽にランク付けできることを示唆しており、これはほとんどのアプリケーションで十分です。

PAPRIKA法に最も近い理論的前身は、マーケティング調査における適応型コンジョイント分析の前身であるペアワイズトレードオフ分析^[70]です。^[71] PAPRIKA法と同様に、ペアワイズトレードオフ分析は、意思決定者によって明示的にランク付けされた非劣位ペアを使用して、他の非劣位ペアを暗黙的にランク付けできるという考えに基づいています。しかし、ペアワイズトレードオフ分析は、暗黙的にランク付けされたペアを体系的に識別する方法がなかったため、1970年代後半に放棄されました。

ZAPROS法（ロシア語で「クローズドプロシージャ近接参照状況」を意味する）も提案されたが、^{[72] 2つの基準で定義されたすべての非優越ペアをペアごとにランク付けすることに関しては、「}完全な情報を取得しようとするのは効率的ではない」。 ^[73]本論文で説明されているように、PAPRIKA法はこの効率の問題を克服している。

PAPRIKA法は、3つの基準（「a」、「b」、「c」で示される）と、各基準内の2つのカテゴリ（「1」と「2」、2の方がランクの高いカテゴリ）のみを使用して、価値モデルの基準のポイント値（重み）を決定するという簡単な例で簡単に実証できます。^[1]

この価値モデルの 6 ポイント値 (基準ごとに 2 つ) は、変数 a1、a2、b1、b2、c1、c2 (a2 > a1、b2 > b1、c2 > c1) で表すことができ、8 つの可能な選択肢 (2 ³ = 8) は、基準 (abc) のカテゴリの順序付き 3 つ組として、222、221、212、122、211、121、112、111 となります。これらの 8 つの選択肢とそれらの合計スコア方程式は、ポイント値 (現時点では不明: ここで説明する方法によって決定される) に対応する変数を単純に加算することによって導出され、表 2 に示されています。

非優勢ペアは、「221 vs (対) 212」と表されるか、合計スコアの式では、「a2 + b2 + c1 vs a2 + b1 + c2」などと表されます。[前述のように、「非優勢ペア」とは、少なくとも 1 つの基準で一方が他の選択肢よりも高いランクのカテゴリを持ち、少なくとも 1 つの他の基準で他方よりも低いランクのカテゴリを持つ選択肢のペアであり、そのため、選択肢をペアでランク付けするには判断が必要です。逆に、「優位ペア」の選択肢（例：121対111 – a1 + b2 + c1対a1 + b1 + c1 に対応）は、少なくとも 1 つの基準でより高いカテゴリを持ち、他の基準でより低いカテゴリを持たないため、本質的にペアでランク付けされます（ポイント値が何であっても、a2 > a1、b2 > b1、c2 > c1 の場合、ペアのランキングは常に同じになります）。

このモデルの「スコアリング」では、意思決定者が好む 8 つの選択肢の順位付けが実現されるように、6 点の値変数 (a1、a2、b1、b2、c1、c2) の値を決定します。

多くの読者にとって、この単純な価値モデルは、おそらくほとんどの人が共感できる例を考えることで、より具体的に理解できるでしょう。それは、求職者のランク付けモデルで、(a)教育、(b)経験、(c)推薦状の 3 つの基準で構成され、それぞれに (1)劣悪、(2)良好という 2 つの「パフォーマンス」カテゴリがあります。(これは、この記事の前半の表 1 で示した価値モデルの簡略版です。)

したがって、このモデルの 8 つの選択肢はそれぞれ、仮に応募する可能性のある候補者の「タイプ」(またはプロファイル) と考えることができます。たとえば、「222」は3 つの基準すべてに当てはまる候補者を表します。「221」は学歴と経験は良いが推薦が乏しい候補者です。「212」は学歴は良いが経験は乏しく、推薦がよい候補者です。などです。

最後に、非劣勢ペアに関して、たとえば221対212 は、候補者 221 は経験は豊富だが推薦状は乏しいのに対し、候補者 212 はその逆の特性 (そして両者とも教育水準は高い) を持っていることを表します。したがって、どちらがより良い候補者であるかは、最終的には意思決定者の、経験と推薦状の相対的重要性に関する好みによって決まります。

表2: 8つの選択肢とその合計スコアの式

PAPRIKA メソッドの最初のステップは、非優勢ペアを識別することです。8 つの選択肢だけを使用して、すべての選択肢を 1 対 1 で比較し、優勢ペアを破棄することで、これを実行できます。

この単純なアプローチは、図 2 のマトリックスで表すことができます。このマトリックスでは、8 つの可能な選択肢 (太字) が左側と上部にリストされています。左側の各選択肢は、上部の各選択肢と一対一で比較され、2 つの選択肢のどちらがより高いランク付けされているか (つまり、この例では、どちらの候補者の方が仕事に適しているか) が調べられます。ハット (^) の付いたセルは優勢ペア (判断は不要) を示し、空のセルは中央の対角線 (各選択肢は、そのペアに対してランク付けされている) または非優勢ペアを含む空でないセルの逆 (判断が必要) です。

図 2: 8 つの可能な選択肢を一対一で比較して特定された非優勢ペア (太字)

図 2 注記: ^ は優勢なペアを示します。非優勢なペアにはローマ数字が付けられています。アスタリスクの付いた 3 つはペア (i) ～ (iii) の重複です。

図 2 にまとめられているように、9 つの非優越ペア (ローマ数字で表示) があります。ただし、ペアに共通する変数が「キャンセル」された後、3 つのペアは重複しています (例: ペア *i はペア i の重複であるなど)。したがって、6 つの固有の非優越ペアがあります (図 2 ではアスタリスクがなく、後で以下にリストされます)。

非優越ペアに共通する変数のキャンセルは、次のように説明できます。たとえば、選択肢 121 と 112 を比較する場合、a1 + b2 + c1 vs a1 + b1 + c2 の両辺から a1 を減算できます。同様に、221 と 212 を比較する場合、a2 + b2 + c1 vs a2 + b1 + c2の両辺から a2 を減算できます。どちらのペアでも、同じ「キャンセルされた」形式、つまり b2 + c1 vs b1 + c2が残ります。

形式的には、これらの減算は加法価値モデルの「ジョイントファクター」独立性を反映している：^{[74]非優越ペア（非相殺形式）の順位は、1つ以上の基準での同順位順位とは独立している。表記的には、b2 + c1}対b1 + c2のような相殺形式の非優越ペアは、_21対_12と表すこともできる。つまり、「_」は識別された基準に対して同一のカテゴリを意味する。

要約すると、価値モデルの 6 つの非優位ペアは次のようになります。

(i) b2 + c1対b1 + c2

(ii) a2 + c1対a1 + c2

(iii) a2 + b1対a1 + b2

(iv) a2 + b2 + c1対a1 + b1 + c2

(v) a2 + b1 + c2対a1 + b2 + c1

(vi) a1 + b2 + c2対a2 + b1 + c1

タスクは、これら 6 つの非優勢ペアをペアでランク付けすることです。その目的は、意思決定者が実行する必要があるペアのランク付けを可能な限り少なくすることです (これにより、意思決定者の負担が最小限に抑えられます)。

2 つの基準のみを持つ非優勢ペアは、より多くの基準を持つペアと比較して、意思決定者がペアごとに順位付けすることが本質的に最も認知的に困難ではありません。したがって、ここで (i) ペア b2 + c1対b1 + c2 から任意に開始し、意思決定者に次のように尋ねます。「_21 と _12 のどちらの選択肢を好みますか (つまり、基準 a では同一である場合)、それともどちらでもかまいませんか?」言い換えると、この選択は、経験は豊富だが推薦状は乏しい候補者と、経験は乏しいが推薦状は良い候補者の間で行われ、他の条件はすべて同じです。

意思決定者が「_12 より _21 の方が好みです」と答えたとします (つまり、経験は良いが推薦は良くないという方が、経験は悪く推薦は良いという方が好ましい)。この好みは「_21 ≻ _12」で表すことができ、これは合計スコア方程式で言えば b2 + c1 > b1 + c2 に対応します [ここで、≻と「~」(後ほど使用) はそれぞれ厳密な好みと無関心を表し、合計スコア方程式の通常の関係「>」と「=」に対応します]。

PAPRIKA 法の中心となるのは、明示的にランク付けされたペアの帰結として暗黙的にランク付けされたすべての非優越ペアを識別することです。したがって、a2 > a1 (つまり、良い教育 ≻ 劣悪な教育) の場合、(i) b2 + c1 > b1 + c2 (上記) はペア (iv) (図 2 を参照) が a2 + b2 + c1 > a1 + b1 + c2 としてランク付けされることは明らかです。この結果は、(加法) 価値モデルの推移性プロパティを反映しています。具体的には、221 ≻ 121 (優勢により) および 121 ≻ 112 (つまり、上記のようにペア i _21 ≻ _12) は (iv) 221 ≻ 112 を意味します。同様に、212 ≻ 112 および 221 ≻ 212 は 221 ≻ 112 を意味します。

次に、ペア (ii) a2 + c1対a1 + c2 に対応して、意思決定者に次のように質問するとします。「1_2 と 2_1 のどちらの選択肢を好みますか (基準 b では同一です)、それともどちらでも構いませんか?」言い換えれば、この選択は、教育は劣っているが推薦状は良い候補者と、教育は優れているが推薦状が悪い候補者の間で行われ、他の条件はすべて同じです。

意思決定者が「私は 1_2 を 2_1 より好みます」と答えたとします (つまり、教育は悪くても推薦は良い方が、教育は良くても推薦が悪いよりも好まれます)。この好みは a1 + c2 > a2 + c1 に対応します。また、b2 > b1 (良い経験 ≻ 悪い経験) を考えると、この好み/不等式は、ペア (vi) が a1 + b2 + c2 > a2 + b1 + c1 としてランク付けされていることを意味します。

さらに、明示的にランク付けされた 2 つのペア (i) b2 + c1 > b1 + c2 および (ii) a1 + c2 > a2 + c1 は、ペア (iii) が a1 + b2 > a2 + b1 としてランク付けされることを意味します。この結果は、ペア (i) と (ii) の不等式の対応する辺を追加し、共通変数を消去することで簡単に確認できます。また、この結果は推移性プロパティを反映しています。つまり、(i) 121 ≻ 112 および (ii) 112 ≻ 211 は、(iii) 121 ≻ 211 を意味します。同様に、122 ≻ 221 および 221 ≻ 212 は、122 ≻ 212 を意味します。

2 回の明示的なペア比較 (つまり、意思決定者によって明示的に実行された比較)の結果、6 つの非優勢ペアのうち 5 つがランク付けされました。意思決定者は、(すべての非優勢ペアがランク付けされる前であれば) いつでもランク付けを中止できますが、ここでは、意思決定者が続行して残りのペア (v) を a2 + b1 + c2 > a1 + b2 + c1 としてランク付けするとします (つまり、上記の 2 つの質問に類似した質問に対する回答として)。

したがって、意思決定者が明示的に 3 つだけをランク付けした結果として、6 つの非優位ペアすべてがランク付けされました。

(i) b2 + c1 > b1 + c2

(ii) a1 + c2 > a2 + c1

(v) a2 + b1 + c2 > a1 + b2 + c1

上記の 3 つのペアワイズランキングは一貫しており、この単純な価値モデルのn ( n −1)/2 = 28 のペアワイズランキング ( n = 8) はすべて わかっているため、8 つの可能な選択肢すべての完全な全体ランキングが定義されます (1 番目から 8 番目): 222、122、221、212、121、112、211、111。

上記の 3 つの不等式 (i、ii、v) を同時に解くと、a2 > a1、b2 > b1、c2 > c1 の条件でポイント値 (つまり「ポイント システム」) が得られ、意思決定者にとっての基準の相対的な重要性が反映されます。たとえば、1 つの解は次のようになります。a1 = 0、a2 = 2、b1 = 0、b2 = 4、c1 = 0、c2 = 3 (または正規化して「最良」の選択肢 222 のスコアが 100 ポイントになるようにすると、a1 = 0、a2 = 22.2、b1 = 0、b2 = 44.4、c1 = 0、c2 = 33.3)。

したがって、求職者のランク付けの価値モデルの例の文脈では、最も重要な基準は (良い)経験(b、4 ポイント) であり、次に推薦(c、3 ポイント)、そして最も重要でないのは教育(a、2 ポイント) であることが明らかになります。3 つの不等式には複数の解が考えられますが、結果として得られるポイント値はすべて、上記にリストされ、合計スコアとともにここに再現されている選択肢の全体的なランク付けと同じになります。

1 番目 222: 2 + 4 + 3 = 9 ポイント (または正規化された 22.2 + 44.4 + 33.3 = 100 ポイント) – つまり、上記のポイント値を加算した合計スコア。

2 番目 122: 0 + 4 + 3 = 7 ポイント (または正規化すると 0 + 44.4 + 33.3 = 77.8 ポイント)

3 番目 221: 2 + 4 + 0 = 6 ポイント (または正規化すると 22.2 + 44.4 + 0 = 66.7 ポイント)

4 番目 212: 2 + 0 + 3 = 5 ポイント (または正規化すると 22.2 + 0 + 33.3 = 55.6 ポイント)

5 番目 121: 0 + 4 + 0 = 4 ポイント (または正規化された 0 + 44.4 + 0 = 44.4 ポイント)

6 番目 112: 0 + 0 + 3 = 3 ポイント (または正規化された 0 + 0 + 33.3 = 33.3 ポイント)

7 番目 211: 2 + 0 + 0 = 2 ポイント (または正規化すると 22.2 + 0 + 0 = 22.2 ポイント)

8 番目 111: 0 + 0 + 0 = 0 ポイント (または正規化された 0 + 0 + 0 = 0 ポイント)

まず、意思決定者は、検討した選択肢の少なくとも 1 つが基準のカテゴリの不可能な組み合わせに該当するという理由で、特定の非優越ペアを明示的にランク付けすることを拒否する (つまり、そのペアを除外する) 場合があります。また、意思決定者が特定のペアを明示的にランク付けする方法を決定できない場合は、そのペアをスキップする可能性があり、そのペアは最終的に、明示的にランク付けされた他のペアの帰結として暗黙的にランク付けされる可能性があります (推移性による)。

第二に、すべての非優越ペアをランク付けするために、一部のペアが厳密な選好ではなく無関心を示している場合、意思決定者は通常、ペアごとのランク付けをより少なく実行する必要があります。たとえば、意思決定者が上記のペア (i) を _21 ≻ _12 (上記のように) ではなく _21~_12 (つまり無関心) としてランク付けした場合、2 ペアではなく 1 ペアのみをランク付けするだけで済みます (つまり、合計で明示的にランク付けされたペアは 2 つだけです)。全体として、無関心にランク付けされたペアは、厳密にランク付けされたペアよりも、暗黙的にランク付けされたペアに関してより多くの系を生成します。

最後に、意思決定者が非優越ペアをランク付けする順序は、必要なランク付けの数に影響します。たとえば、意思決定者がペア (iii) をペア (i) と (ii)よりも先にランク付けした場合、ペア (v) だけでなく、3 つすべてを明示的にランク付けする必要があった (つまり、合計 4 つの明示的にランク付けされたペア) ことは簡単に示せます。ただし、最適な順序を決定することは、事前に不明なランク付け自体に依存するため、問題があります。

もちろん、現実世界の価値モデルのほとんどには、上記の単純な例よりも多くの基準とカテゴリがあり、つまり、より多くの非優越ペアがあることを意味します。たとえば、前述の 8 つの基準と各基準内の 4 つのカテゴリ (および 4 × ⁸ = 65,536 の可能な代替) を持つ価値モデルには、合計 2,047,516,416 の非優越ペアがあり (図 2 で特定された 9 つに類似)、そのうちレプリカを除くと 402,100,560 が一意です (上記の例の 6 つに類似)。^[1] (前述のように、このサイズのモデルでは、意思決定者は一度に 2 つの基準で定義された約 95 のペアを明示的にランク付けする必要がありますが、ほとんどの意思決定者はこれに慣れている可能性があります。)

このような現実世界の価値モデルでは、前のサブセクションで使用した非優越ペアを識別するための単純なペア比較アプローチ（図 2 に表示）は非常に非現実的です。同様に、明示的にランク付けされたペアの帰結として暗黙的にランク付けされたすべてのペアを識別することは、基準とカテゴリの数が増えるにつれてますます困難になります。したがって、PAPRIKA メソッドは、一意の非優越ペアと暗黙的にランク付けされたペアをそれぞれ識別するための計算効率の高いプロセスに依存しています。これらのプロセスの詳細についてはこの記事の範囲外ですが、他の場所で入手できます^[1]。また、前述のように、PAPRIKA メソッドは意思決定ソフトウェア製品1000mindsと MeenyMo によって実装されています。^{[4] [5] [6]}

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