ローウィ分解

微分方程式の研究において、ローウィ分解はすべての線形常微分方程式(ODE) を最大完全可約成分と呼ばれるものに分解する。これはアルフレッド・ローウィによって導入された。^[1]

微分方程式を解くことは数学の最も重要な分野の一つです。特に興味深いのは閉じた形の解です。常微分方程式を最大の既約成分に分割すると、元の方程式を解くプロセスが、可能な限り低い次数の既約方程式を解くプロセスに短縮されます。この手順はアルゴリズム的であるため、既約方程式を解くための最良の答えが保証されます。詳細な議論は^[2]にあります。

Loewy の結果は、2 つの独立変数の線形偏微分方程式 (PDE)に拡張されました。これにより、大規模なクラスの線形 PDE を解くアルゴリズム手法が利用可能になりました。

を変数 に関する導関数と表記します。の微分演算子は 、係数、 が何らかの関数体、つまり の基底体から得られる形式の 多項式です。通常、これは変数 の有理関数の体、つまり です。が の不定値である場合、は微分多項式になり、 はに対応する微分方程式になります。 ${\textstyle D\equiv {\frac {d}{dx}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle L\equiv D^{n}+a_{1}D^{n-1}+\cdots +a_{n-1}D+a_{n}}$$ ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Q} (x)}$${\displaystyle y}$${\textstyle {\frac {dy}{dx}}\neq 0}$${\displaystyle ライ}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle L}$

位数の演算子は、位数が より低い2 つの演算子と の積として表せる場合、既約であると呼ばれます。 と書きます。つまり、並置は演算子の積を意味し、規則 によって定義されます。は の左因数、右因数と呼ばれます。デフォルトでは、因数の係数領域は の基底体であると想定され、代数的数によって拡張される可能性があり、つまり が許可されます。演算子が右因数を一切許可しない場合は、既約ではないと呼ばれます。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle n}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle L_{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle L=L_{1}L_{2}}$${\displaystyle Da_{i}=a_{i}D+a_{i}'}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L_{2}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}(x)}$

任意の 2 つの演算子とについて、最小公倍数は、と の両方がそれを右から割る最も低い次の演算子です。最大公約右除数は、との両方を右から割る最も高い次の演算子です。演算子が既約演算子として表される場合、それは完全に既約であると呼ばれます。定義により、既約演算子は完全に既約であると呼ばれます。 ${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Lclm} (L_{1},L_{2})}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gcrd} (L_{1},L_{2})}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle L_{2}}$${\displaystyle \operatorname {Lclm} }$

演算子が完全に約分可能でない場合、その約分不可能な右因数の を除算し、商で同じ手順を繰り返します。各ステップで次数が下がるため、この手順は有限回数の反復後に終了し、目的の分解が得られます。これらの考慮に基づいて、Loewy ^[1]は次の基本的な結果を得ました。 ${\displaystyle \operatorname {Lclm} }$

この定理で決定される分解は、のLoewy 分解と呼ばれます。これは、簡約可能な線形微分方程式 の解を含む関数空間の詳細な記述を提供します。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle 0}$

固定次数の演算子については、因子の数と順序が異なる可能性のある Loewy 分解を明示的にリストすることができます。因子の中にはパラメータを含むものもあります。それぞれの選択肢はLoewy 分解のタイプと呼ばれます。の完全な答えは、上記の定理の次の系に詳述されています。^[3]${\displaystyle n=2}$

系 1 を2 次演算子とし ます。その可能な Loewy 分解は と表され、次のように記述されます。および は次数の既約演算子であり、は定数です。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}^{2},\ldots ,{\mathcal {L}}_{3}^{2}}$${\displaystyle l^{(i)}}$${\displaystyle l_{j}^{(i)}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle C}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {L}}_{1}^{2}:L=l_{2}^{(1)}l_{1}^{(1)};\\&{\mathcal {L}}_{2}^{2}:L=\operatorname {Lclm} \left(l_{2}^{(1)},l_{1}^{(1)}\right);\\&{\mathcal {L}}_{3}^{2}:L=\operatorname {Lclm} \left(l^{(1)}(C)\right).\end{aligned}}}$$

演算子の分解タイプは、の最大値を持つ分解です。 既約な 2 次演算子は、分解タイプ を持つと定義されます。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{i}^{2}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}^{2}}$

分解、およびは完全に簡約可能です。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{3}^{2}}$

2 次方程式 に対して型、または型の分解が得られている場合は、基本システムを明示的に与えることができます。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{i}^{2}}$${\displaystyle i=1,2}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle Ly=0}$

系 2を 2 階微分演算子、を微分不定値、 とし ます。およびについて を定義します。はパラメータです。禁止されている量および は任意の数です。系 1 の 3 つの非自明な分解に対して、基本システムの 次の要素とが得られます。${\displaystyle L}$${\textstyle D\equiv {\frac {d}{dx}}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Q} (x)}$${\textstyle \varepsilon _{i}(x)\equiv \exp {\left(-\int a_{i}\,dx\right)}}$${\displaystyle i=1,2}$${\textstyle \varepsilon (x,C)\equiv \exp {\left(-\int a(C)\,dx\right)}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\bar {C}}}$${\displaystyle {\bar {\bar {C}}}}$${\displaystyle {\bar {C}}\neq {\bar {\bar {C}}}}$${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle y_{2}}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}^{2}:Ly=(D+a_{2})(D+a_{1})y=0;}$$ $${\displaystyle y_{1}=\varepsilon _{1}(x),\quad y_{2}=\varepsilon _{1}(x)\int {\frac {\varepsilon _{2}(x)}{\varepsilon _{1}(x)}}\,dx.}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}^{2}:Ly=\operatorname {Lclm} (D+a_{2},D+a_{1})y=0;}$$ $${\displaystyle y_{i}=\varepsilon _{i}(x);}$$

${\displaystyle a_{1}}$は と同等ではありません。 ${\displaystyle a_{2}}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{3}^{2}:Ly=\operatorname {Lclm} (D+a(C))y=0;}$$ $${\displaystyle y_{1}=\varepsilon (x,{\bar {C}})}$$ $${\displaystyle y_{2}=\varepsilon (x,{\bar {\bar {C}}}).}$$

ここで、2つの有理関数は、別の有理関数が存在し、${\displaystyle p,q\in \mathbb {Q} (x)}$${\displaystyle r\in \mathbb {Q} (x)}$$${\displaystyle p-q={\frac {r'}{r}}.}$$

与えられた方程式または演算子の因数分解をどのように得るかという疑問が残ります。線形オードの場合、因数を見つけるには、リカッチ方程式または線形オードの有理解を決定することになります。どちらもアルゴリズムで決定できます。以下の 2 つの例は、上記の系がどのように適用されるかを示しています。

例1 Kamkeのコレクションからの式2.201。^[4]は分解 される${\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}^{2}}$$${\displaystyle y''+\left(2+{\frac {1}{x}}\right)y'-{\frac {4}{x^{2}}}y=\operatorname {Lclm} \left(D+{\frac {2}{x}}-{\frac {2x-2}{x^{2}-2x+{\frac {3}{2}}}},D+2+{\frac {2}{x}}-{\frac {1}{x+{\frac {3}{2}}}}\right)y=0.}$$

係数と はリカッチ方程式の有理解であり、基本方程式 ${\textstyle a_{1}=2+{\frac {2}{x}}-{\frac {1}{x+{\frac {3}{2}}}}}$${\textstyle a_{2}={\frac {2}{x}}-{\frac {2x-2}{x^{2}-2x+{\frac {3}{2}}}}}$${\textstyle a'-a^{2}+\left(2+{\frac {1}{x}}\right)+{\frac {4}{x^{2}}}=0}$$${\displaystyle y_{1}={\frac {2}{3}}-{\frac {4}{3x}}+{\frac {1}{x^{2}}},}$$ $${\displaystyle y_{2}={\frac {2}{x}}+{\frac {3}{x^{2}}}e^{-2x}.}$$

例2 型分解を伴う方程式は ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{3}^{2}}$$${\displaystyle y''-{\frac {6}{x^{2}}}y=\operatorname {Lclm} \left(D+{\frac {2}{x}}-{\frac {5x^{4}}{x^{5}+C}}\right)y=0.}$$

一次因子の係数は の有理解です。積分すると、とについてそれぞれ基本システムとが得られます。 ${\textstyle a'-a^{2}+{\frac {6}{x^{2}}}=0}$${\textstyle y_{1}=x^{3}}$${\textstyle y_{2}={\frac {1}{x^{2}}}}$${\displaystyle C=0}$${\displaystyle C\to \infty }$

これらの結果は、因数分解が、可約線形方程式を解くためのアルゴリズム スキームを提供することを示しています。2 次方程式が上記で定義されたタイプのいずれかに従って因数分解される場合はいつでも、基本システムの要素が明示的にわかっており、つまり因数分解はそれを解くことと同等です。

同様のスキームは、任意の次数の線形頌歌に対しても設定できますが、次数に応じて選択肢の数が大幅に増加します。次数については、答えが^[2]で詳細に示されています。${\displaystyle n=3}$

方程式が既約な場合、そのガロア群が非自明となることがあり、その場合代数解が存在する可能性がある。^{[5]ガロア群が自明な場合は、}ベッセル関数やルジャンドル関数などの特殊関数で解を表現できる可能性がある。 ^[6]または^[7]を参照。

Loewy の結果を線形 PDE に一般化するには、より一般的な微分代数の設定を適用する必要があります。したがって、この目的に必要ないくつかの基本概念を次に示します。

体は微分体と呼ばれ、微分演算子が備えられている。体上の演算子は、すべての元 に対してである場合に微分演算子と呼ばれる。単一の微分演算子を持つ体は常微分体と呼ばれ、複数の可換な微分演算子を含む有限集合がある場合、体は偏微分体と呼ばれる。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \delta (a+b)=\delta (a)+\delta (b)}$${\displaystyle \delta (ab)=\delta (a)b+a\delta (b)}$${\displaystyle a,b\in {\mathcal {F}}}$

ここでは、導関数を持つ微分作用素と、ある微分体からの係数を持つ微分作用素について考察します。その要素は の形を持ち、ほぼすべての係数はゼロです。係数体は基底体と呼ばれます。構成的およびアルゴリズム的方法が主な問題である場合、それは です。微分作用素のそれぞれの環はまたはで表されます。環は非可換であり、他の変数についても同様です。は基底体から来ています。 ${\textstyle \partial _{x}={\frac {\partial }{\partial x}}}$${\textstyle \partial _{y}={\frac {\partial }{\partial y}}}$${\textstyle \sum _{i,j}r_{i,j}(x,y)\partial _{x}^{i}\partial _{y}^{j}}$${\displaystyle r_{i,j}}$${\displaystyle \mathbb {Q} (x,y)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}=\mathbb {Q} (x,y)[\partial _{x},\partial _{y}]}$${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {F}}[\partial _{x},\partial _{y}]}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\textstyle \partial _{x}a=a\partial _{x}+{\frac {\partial a}{\partial x}}}$${\displaystyle a}$

次数の演算子の場合、L の記号は、代​​数的不定値である同次代数多項式です。 ${\textstyle L=\sum _{i+j\leq n}r_{i,j}(x,y)\partial _{x}^{i}\partial _{y}^{j}}$${\displaystyle n}$${\textstyle \operatorname {symb} (L)\equiv \sum _{i+j=n}r_{i,j}(x,y)X^{i}Y^{j}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

を、によって生成される左イデアルとします。このとき、 と書きます。ここでは右イデアルは考慮されていないため、 は単にイデアルと呼ばれることもあります。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle l_{i}\in {\mathcal {D}}}$${\displaystyle i=1,\ldots ,p}$${\displaystyle I=\langle l_{1},\ldots ,l_{p}\rangle }$${\displaystyle I}$

の左イデアルと線形偏微分方程式系との関係は、次のようにして確立されます。要素は単一の微分不定値に適用されます。このようにして、イデアルは単一の関数 に対する偏微分方程式系 に対応します。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle l_{i}\in {\mathcal {D}}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle I=\langle l_{1},l_{2},\ldots \rangle }$${\displaystyle l_{1}z=0}$${\displaystyle l_{2}z=0,\ldots }$${\displaystyle z}$

イデアルの生成元は非常に非一意的である。その元は、イデアルを変えずに、それらの線形結合またはその導関数をとることによって、無限に多くの方法で変換することができる。したがって、M. Janet ^{[8] は}線形偏微分方程式系の正規形を導入した（Janet基底を参照）。^{[9]これらは、}可換代数のグレブナー基底（もともとはBruno Buchbergerによって導入された）の微分類似物である。^{[10]したがって、これらは}微分グレブナー基底と呼ばれることもある。

ジャネット基底を生成するには、導関数の順位付けを定義する必要があります。これは、任意の導関数、および、および任意の導関数演算子に対して、関係、およびが有効になるような全順序付けです。ここでは、次数付き辞書式項順序付けが適用されます。単一の関数の偏導関数の場合、その定義は可換代数の単項式順序付けに類似しています。可換代数の S ペアは積分条件に対応します。 ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta _{1}}$${\displaystyle \delta _{2}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \delta \preceq \theta \delta }$${\displaystyle \delta _{1}\preceq \delta _{2}\rightarrow \delta \delta _{1}\preceq \delta \delta _{2}}$${\displaystyle grlex}$

イデアルの生成元がジャネット基底を形成することが保証されている場合、この表記法が適用されます。 ${\displaystyle l_{1},\ldots ,l_{p}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I={{\big \langle }{\big \langle }}l_{1},\ldots ,l_{p}{{\big \rangle }{\big \rangle }}}$

例 3 項順序 で の イデアルを考えます 。その生成元は自動縮約されます。積分可能性条件が に関して縮約されると、新しい生成元が得られます。それを生成元に追加し、すべての可能な縮約を実行すると、与えられたイデアルは として表されます。その生成元は自動縮約され、単一の積分可能性条件が満たされます。つまり、それらはジャネット基底を形成します。 $${\displaystyle I={\Big \langle }l_{1}\equiv \partial _{xx}-{\frac {1}{x}}\partial _{x}-{\frac {y}{x(x+y)}}\partial _{y},\;l_{2}\equiv \partial _{xy}+{\frac {1}{x+y}}\partial _{y},\;l_{3}\equiv \partial _{yy}+{\frac {1}{x+y}}\partial _{y}{\Big \rangle }}$$${\displaystyle grlex}$${\displaystyle x\succ y}$$${\displaystyle l_{1,y}=l_{2,x}-l_{2,y}={\frac {y+2x}{x(x+y)}}\partial _{xy}+{\frac {y}{x(x+y)}}\partial _{yy}}$$${\displaystyle I}$${\displaystyle \partial _{y}}$${\textstyle I=\left\langle \left\langle \partial _{xx}-{\frac {1}{x}}\partial _{x},\partial _{y}\right\rangle \right\rangle }$

任意のイデアルが与えられた場合、それが の基底体における係数を持つあるより大きなイデアルに適切に含まれることがあり、その場合 はの因子と呼ばれます。一般に、偏微分作用素の環における因子は主因子である必要はありません。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$${\displaystyle I}$

2 つのイデアルとの最大公約数( Gcrd)または和は、との両方が含まれるという特性を持つ最小のイデアルです。 これらがと という表現を持つ場合、すべての および に対して、和はとの生成元の和集合によって生成されます。 に対応する方程式の解空間は、その引数の解空間の共通部分です。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$${\displaystyle I\equiv \langle f_{1},\ldots ,f_{p}\rangle }$${\displaystyle J\equiv \langle g_{1},\ldots ,g_{q}\rangle ,}$ ${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle g_{j}\in {\mathcal {D}}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$${\displaystyle \operatorname {Gcrd} (I,J)}$

2 つのイデアルと の最小公倍数(Lclm)または左積は、と の両方に含まれるという性質を持つ最大のイデアルです。 の解空間は、その引数の解空間を含む最小の空間です。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$${\displaystyle \operatorname {Lclm} (I,J)z=0}$

特別な種類の因子として、与えられた演算子のいわゆるラプラス因子があります^[2] 34ページ。これは次のように定義されます。 ${\displaystyle L}$

定義 を平面上の偏微分作用素とします。 および を、すべての i に対して、または に関する常微分作用素 と 定義します。および は2 以上の自然数です。係数、が、および がジャネ基底を形成するものと仮定します。 がこの特性を持つ最小の整数である場合、 はのラプラス因子と呼ばれます。同様に、 、 が、およびがジャネ基底を形成し、 が最小である場合、 はのラプラス因子とも呼ばれます。 ${\displaystyle L}$$${\displaystyle {\mathfrak {l}}_{m}\equiv \partial _{x^{m}}+a_{m-1}\partial _{x^{m-1}}+\dots +a_{1}\partial _{x}+a_{0}}$$$${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{n}\equiv \partial _{y^{n}}+b_{n-1}\partial _{y^{n-1}}+\dots +b_{1}\partial _{y}+b_{0}}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle a_{i},b_{i}\in \mathbb {Q} (x,y)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle i=0,\ldots ,m-1}$${\displaystyle L}$${\displaystyle {\mathfrak {l}}_{m}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbb {L} _{x^{m}}(L)\equiv {\langle \langle }L,{\mathfrak {l}}_{m}{\rangle \rangle }}$${\displaystyle L}$${\displaystyle b_{j}}$${\displaystyle j=0,\ldots ,n-1}$${\displaystyle L}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {L} _{y^{n}}(L)\equiv {\langle \langle }L,{\mathfrak {k}}_{n}{\rangle \rangle }}$${\displaystyle L}$

ラプラス因子が存在するためには、演算子の係数が特定の制約に従わなければなりません。^[3]ラプラス因子の上限を決定するアルゴリズムは現在のところ知られていないため、一般にラプラス因子の存在は決定不可能である可能性があります。 ${\displaystyle L}$

上記の概念を適用すると、Loewy の理論は線形 PDE に一般化できます。ここでは、座標とを持つ平面上の 2 次線形 PDE のそれぞれと、対応する演算子によって生成される主イデアルに適用されます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

2次方程式は19世紀の文献で広く考察されてきた。^{[11] [12]}通常、導関数を持つ方程式と、導関数を持たない方程式は区別される。これらの一般解には定数だけでなく、引数の数が変化する未定関数も含まれており、それらを決定することは解法手順の一部である。導関数を持つ方程式の場合、Loewyの結果は次のように一般化できる。 ${\displaystyle \partial _{xx}}$${\displaystyle \partial _{xy}}$${\displaystyle \partial _{xx}}$

定理2 微分演算子を で定義します 。ここで、すべての に対して となります。 ${\displaystyle L}$$${\displaystyle L\equiv \partial _{xx}+A_{1}\partial _{xy}+A_{2}\partial _{yy}+A_{3}\partial _{x}+A_{4}\partial _{y}+A_{5}}$$${\displaystyle A_{i}\in \mathbb {Q} (x,y)}$${\displaystyle i}$

およびについて、および を を持つ一階演算子とします。は単一の引数の未定関数です。 は、次のいずれかの型に従って Loewy 分解を持ちます。 ${\displaystyle l_{i}\equiv \partial _{x}+a_{i}\partial _{y}+b_{i}}$${\displaystyle i=1}$${\displaystyle i=2}$${\displaystyle l(\Phi )\equiv \partial _{x}+a\partial _{y}+b(\Phi )}$${\displaystyle a_{i},b_{i},a\in \mathbb {Q} (x,y)}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle L}$

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xx}^{1}:L=l_{2}l_{1};}$
• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xx}^{2}:L=\operatorname {Lclm} (l_{2},l_{1});}$
• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xx}^{3}:L=\operatorname {Lclm} (l(\Phi )).}$

演算子の分解タイプは、の最大値を持つ分解です。 が基本体に 1 次因子を持たない場合、その分解タイプは と定義されます。 分解、および は完全に簡約可能です。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xx}^{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle L}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xx}^{0}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xx}^{0}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xx}^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xx}^{3}}$

この結果を演算子を含む任意の微分方程式の解法に適用するには、その 1 次因子をアルゴリズム的に決定できるかどうかという疑問が生じます。その後の系は、基本体または普遍体拡張のいずれかに係数を持つ因子に対する答えを提供します。 ${\displaystyle L}$

系 3 一般に、基本体における線形偏微分方程式の 1 次右因数はアルゴリズム的に決定できません。記号多項式が分離可能な場合は、任意の因数を決定できます。一般に二重根を持つ場合は、基本体における右因数を決定することはできません。普遍体における因数の存在、つまり絶対既約性は、常に決定できます。

上記の定理は、閉じた形式の約分方程式を解くために適用できます。主約数のみが含まれるため、答えは通常の 2 次方程式の場合と同様です。

命題1 2次方程式が成り立つとする。 $${\displaystyle Lz\equiv z_{xx}+A_{1}z_{xy}+A_{2}z_{yy}+A_{3}z_{x}+A_{4}z_{y}+A_{5}z=0}$$${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{5}\in \mathbb {Q} (x,y)}$

を に対して定義します。はの有理第 1 積分です。逆関数です。と は両方とも存在するものと仮定します。 さらに、 に対して を定義します。 ${\displaystyle l_{i}\equiv \partial _{x}+a_{i}\partial _{y}+b_{i}}$${\displaystyle a_{i},b_{i}\in \mathbb {Q} (x,y)}$${\displaystyle i=1,2}$${\displaystyle \varphi _{i}(x,y)=\mathrm {const} }$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=a_{i}(x,y)}$${\displaystyle {\bar {y}}\equiv \varphi _{i}(x,y)}$${\displaystyle y=\psi _{i}(x,{\bar {y}})}$${\displaystyle \varphi _{i}}$${\displaystyle \psi _{i}}$$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{i}(x,y)\equiv \left.\exp \left(-\int b_{i}(x,y){\big |}_{y=\psi _{i}(x,{\bar {y}})}dx\right)\right|_{{\bar {y}}=\varphi _{i}(x,y)}}$$${\displaystyle i=1,2}$

微分基本システムは、さまざまな一次成分への分解に対して次の構造を持ちます。

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xx}^{1}:z_{1}(x,y)={\mathcal {E}}_{1}(x,y)F_{1}(\varphi _{1}),}$$ $${\displaystyle z_{2}(x,y)={\mathcal {E}}_{1}(x,y){\displaystyle \int }{\frac {{\mathcal {E}}_{2}(x,y)}{{\mathcal {E}}_{1}(x,y)}}F_{2}{\big (}\varphi _{2}(x,y){\big )}{\big |}_{y=\psi _{1}(x,{\bar {y}})}dx{\Big |}_{{\bar {y}}=\varphi _{1}(x,y)};}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xx}^{2}:z_{i}(x,y)={\mathcal {E}}_{i}(x,y)F_{i}{\big (}\varphi _{i}(x,y){\big )},i=1,2;}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xx}^{3}:z_{i}(x,y)={\mathcal {E}}_{i}(x,y)F_{i}{\big (}\varphi (x,y){\big )},i=1,2.}$$

は単一の引数の未定関数です。、 およびはすべての引数について有理数です。が存在すると仮定されます。一般に、これらは与えられた方程式の 係数、およびによって決定されます。${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi _{1}}$${\displaystyle \varphi _{2}}$${\displaystyle \psi _{1}}$${\displaystyle \varphi _{1}\neq \varphi _{2}}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle A_{3}}$

^{因数分解が適用される線形偏微分方程式の典型的な例は、フォーサイス[13]}第6巻16ページ で議論された方程式である。

例5 (Forsyth 1906) 微分方程式を考える。因数分解すると表現が 得られる。 ${\textstyle z_{xx}-z_{yy}+{\frac {4}{x+y}}z_{x}=0}$$${\displaystyle Lz\equiv l_{2}l_{1}z=\left(\partial _{x}+\partial _{y}+{\frac {2}{x+y}}\right)\left(\partial _{x}-\partial _{y}+{\frac {2}{x+y}}\right)z=0}$$$${\displaystyle \varphi _{1}(x,y)=x+y,\psi _{1}(x,y)={\bar {y}}-x,{\mathcal {E}}_{1}(x,y)=\exp {\left({\frac {2y}{x+y}}\right)},}$$ $${\displaystyle \varphi _{2}(x,y)=x-y,\psi _{2}(x,y)=x-{\bar {y}},{\mathcal {E}}_{2}(x,y)=-{\frac {1}{x+y}}.}$$

その結果、微分基本システムは

$${\displaystyle z_{1}(x,y)=\exp {\left({\frac {2y}{x+y}}\right)}F(x+y),}$$ $${\displaystyle z_{2}(x,y)={\frac {1}{x+y}}\exp {\left({\frac {2y}{x+y}}\right)}\int \exp {\left({\frac {2x-{\bar {y}}}{\bar {y}}}\right)}G(2x-{\bar {y}})dx{\Big |}_{{\bar {y}}=x+y}.}$$

${\displaystyle F}$および未定関数です。 ${\displaystyle G}$

演算子の唯一の2次導関数が である場合、主約数のみを含むその分解は次のように記述できます。 ${\displaystyle \partial _{xy}}$

定理3 微分演算子を で定義します 。ここで、すべての に対して となります。 ${\displaystyle L}$$${\displaystyle L\equiv \partial _{xy}+A_{1}\partial _{x}+A_{2}\partial _{y}+A_{3}}$$${\displaystyle A_{i}\in \mathbb {Q} (x,y)}$${\displaystyle i}$

およびを1 階演算子とします。 には、次の形式の 1 階主因子を含む Loewy 分解があります。 ${\displaystyle l\equiv \partial _{x}+A_{2}}$${\displaystyle k\equiv \partial _{y}+A_{1}}$${\displaystyle L}$

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xy}^{1}:L=kl;}$
• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xy}^{2}:L=lk;}$
• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xy}^{3}:L=\operatorname {Lclm} (k,l).}$

演算子の分解型は、の最高値を持つ分解です。 型の分解は完全に還元可能です。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xy}^{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xy}^{3}}$

さらに、次に示すように、非主ラプラス因子を含む分解タイプがさらに 5 つあります。

定理4 微分演算子を で定義する 。ここで、すべての に対して となる。 ${\displaystyle L}$$${\displaystyle L\equiv \partial _{xy}+A_{1}\partial _{x}+A_{2}\partial _{y}+A_{3}}$$${\displaystyle A_{i}\in \mathbb {Q} (x,y)}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle \mathbb {L} _{x^{m}}(L)}$およびは上で定義されています。さらに、、、は、次のいずれかのタイプに従ったラプラス因子を含む Loewy 分解を持ちます。および はに従います。 ${\displaystyle \mathbb {L} _{y^{n}}(L)}$${\displaystyle {\mathfrak {l}}_{m}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{n}}$${\displaystyle l\equiv \partial _{x}+a}$${\displaystyle k\equiv \partial _{y}+b}$${\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} (x,y)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m,n\geq 2}$