単位正方形上の辞書式順序トポロジー

一般的な位相幾何学では、単位正方形上の辞書式順序（単位正方形上の辞書順序^{[ 1 ]}とも呼ばれる）は、単位正方形S上の位相、すなわち平面上の点( x , y )の集合（0 ≤ x ≤ 1かつ0 ≤ y ≤ 1を満たす）上の位相である。 ^{[ 2 ]}

辞書式順序付けは全順序付けを与える${\displaystyle \prec }$単位正方形内の点について: ( x , y ) と ( u , v ) が正方形内の 2 つの点である場合、( x , y )${\displaystyle \scriptstyle \prec }$( u , v ) は、 x < uまたはx = uかつy < vのいずれ かの場合に限り成り立つ。記号で表すと、 $${\displaystyle (x,y)\prec (u,v)\iff (x<u)\lor (x=u\land y<v)}$$

単位正方形上の辞書式順序トポロジーは、この順序付けによって誘導される順序トポロジーである。

順序位相により、 S は完全正規ハウスドルフ空間となる。^{[ 3 ]} S 上の辞書式順序は完備であることが証明できるため、この位相によりSはコンパクト空間となる。同時に、S は互いに素な開区間を無数に含み、それぞれが実数直線と同相である。例えば、区間 など。${\displaystyle U_{x}=\{(x,y):1/4<y<1/2\}}$のために${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$したがって、 Sは分離可能ではありません。なぜなら、任意の稠密な部分集合は、各部分集合に少なくとも 1 つの点を含まなければならないからです。${\displaystyle U_{x}}$したがって、Sは距離化可能ではありません(任意のコンパクト距離空間は分離可能であるため)。ただし、 S は第一可算です。また、S は連結かつ局所連結ですが、パス連結ではなく、局所パス連結でもありません。^{[ 1 ]}その基本群は自明です。^{[ 2 ]}

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• Steen, LA; Seebach, JA (1995), Counterexamples in Topology , Dover, ISBN 0-486-68735-X