複雑な反射群

数学において、複素反射群とは、複素反射によって生成される有限次元複素ベクトル空間に作用する有限群のことである。複素反射とは、複素超平面を点ごとに固定する非自明な要素のことである。

複素反射群は、多項式環の不変式論の研究において現れる。20世紀半ば、シェパードとトッドの研究によって、それらは完全に分類された。特殊なケースとしては、置換の対称群、二面体群、そしてより一般的にはすべての有限実反射群（コクセター群またはワイル群、正多面体の対称群を含む）などが挙げられる。

有限次元複素ベクトル空間Vの（複素）反射r（擬似反射またはユニタリ反射とも呼ばれる）は要素である${\displaystyle r\in GL(V)}$有限次数で複素超平面を点ごとに固定する、つまり固定空間${\displaystyle \operatorname {Fix} (r):=\operatorname {ker} (r-\operatorname {Id} _{V})}$余次元は1である。

（有限）複素反射群${\displaystyle W\subseteq GL(V)}$は有限部分群である${\displaystyle GL(V)}$それは反射によって生成される。

実数反射群は、スカラーを実数体 Rから複素数体Cに拡張すれば、複素反射群となる。特に、すべての有限コクセター群やワイル群は、複素反射群の例となる。

複素反射群Wは、対応するベクトル空間のW不変な真部分空間が原点のみである場合に既約であるという。この場合、ベクトル空間の次元はWのランクと呼ばれる。

コクセター数${\displaystyle h}$階数の既約複素反射群Wの${\displaystyle n}$は次のように定義される。${\displaystyle h={\frac {|{\mathcal {R}}|+|{\mathcal {A}}|}{n}}}$どこ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$反射の集合を表し、${\displaystyle {\mathcal {A}}}$は、反射超平面の集合を表す。実反射群の場合、この定義は有限コクセター系に対する通常のコクセター数の定義に帰着する。

任意の複素反射群は、対応するベクトル空間の和に作用する既約複素反射群の積である。^{[ 1 ]}したがって、既約複素反射群を分類すれば十分である。

既約複素反射群は、ジェフリー・コリン・シェパードとJA・トッドによって分類されました。^{[ 2 ]}彼らは、すべての既約群が、3つの正の整数パラメータ（pはmを割り切る）に依存する無限族G（m、p、n ）に属するか、4から37まで番号が付けられた34の例外的なケースのいずれかであることを証明しました。 ^{[ 3 ]} 群G（m、1、n）は一般化された対称群です。同等に、これは対称群Sym（n）と位数mの巡回群のリース積です。行列群として、その要素は、非ゼロ要素が1のm乗根である単項式行列として実現できます。

群G ( m , p , n ) はG ( m , 1, n )の指数p部分群です。 G ( m , p , n ) の位数はm ⁿ n !/ pです。 行列としては、非ゼロ要素の積が ( m / p ) 乗根 (単なるm乗根ではなく)となる部分集合として実現できます。 代数的には、 G ( m , p , n ) は位数m ⁿ / pのアーベル群と対称群 Sym( n )の半直積です。 アーベル群の要素は ( θ ^{a ₁} , θ ^{a ₂} , ..., θ ^{a _n} ) の形をしており、ここでθは原始的なm乗根で Σ a _i ≡ 0 mod pであり、Sym( n ) は座標の置換によって作用します。^{[ 4 ]}

群G ( m , p , n )は、 m = 1、n > 1 (対称群) およびG (2, 2, 2) (クラインの4群)の場合を除いて、C ⁿに既約に作用します。これらの場合、C ^{n は}次元 1 とn − 1の既約表現の和として分解されます。

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• STは反射群のシェパード・トッド数である。
• ランクとは、群が作用する複素ベクトル空間の次元のことである。
• 構造は群の構造を表します。記号 * は2 つの群の中心積を表します。ランク 2 の場合、(巡回) 中心による商は、表に示されているように、正四面体、正八面体、または正二十面体 ( T = Alt(4)、O = Sym(4)、I = Alt(5)、位数 12、24、60) の回転群です。表記 2 ¹⁺⁴については、特別な群を参照してください。
• 位数とは、グループの要素の数のことです。
• Reflectionsは反射の数を表します。2 ⁶ 4 ^12は、2次の反射が6回、4次の反射が12回あることを意味します。
• Degreesは、多項式不変量の環の基本不変量の次数を表します。例えば、群番号4の不変量は、次数が4と6の2つの生成元を持つ多項式環を形成します。

シェパードとトッドは、複素ベクトル空間に作用する有限群が複素反射群であるのは、その不変量環が多項式環である場合に限ることを証明した（シェバレー・シェパード・トッドの定理）。${\displaystyle \ell }$反射群のランクである度数${\displaystyle d_{1}\leq d_{2}\leq \ldots \leq d_{\ell }}$不変量環の生成元のうち、W の次数と呼ばれるものは、上記の「次数」という見出しの列にリストされています。また、群の他の多くの不変量は、次数によって次のように決定されることも示されました。

• 既約反射群の中心は、次数の最大公約数に等しい位数を持つ巡回群である。
• 複素反射群の位数は、その次数（次数）の積である。
• 反射の数は、次数の合計からランクを引いた値である。
• 既約複素反射群が実反射群から生じるのは、それが2次の不変量を持つ場合に限る。
• 度d _iは次の式を満たす${\displaystyle \prod _{i=1}^{\ell }(q+d_{i}-1)=\sum _{w\in W}q^{\dim(V^{w})}.}$

のために${\displaystyle \ell }$反射群のランクである同位${\displaystyle d_{1}^{*}\geq d_{2}^{*}\geq \ldots \geq d_{\ell }^{*}}$W は次のように定義できます。 ${\displaystyle \prod _{i=1}^{\ell }(q-d_{i}^{*}-1)=\sum _{w\in W}\det(w)q^{\dim(V^{w})}.}$

• 真の反射群の場合、同位数は次数から2を引いた値になります。
• 反射超平面の数は、同次数とランクの合計です。

定義上、すべての複素反射群はその反射によって生成されます。ただし、反射の集合は最小生成集合ではなく、ランクnのすべての既約複素反射群は、 n個またはn + 1 個の反射からなる最小生成集合を持ちます。前者の場合、その群は適切に生成されると言われます。

正しく生成されるという性質は、次の条件と同等である。${\displaystyle d_{i}+d_{i}^{*}=d_{\ell }}$すべての人々のために${\displaystyle 1\leq i\leq \ell }$したがって、例えば、分類から、グループG ( m , p , n )はp = 1 またはmの場合に限り適切に生成されると読み取ることができます。

既約でよく生成された複素反射群の場合、上記で定義されたコクセター数hは最大の次数に等しくなります。${\displaystyle h=d_{\ell }}$可約複素反射群は、既約な正生成複素反射群の積である場合に、正生成であると言われる。すべての有限実反射群は正生成である。

適切に生成された複素反射群には、シェパード群と呼ばれる部分集合が含まれます。これらの群は、正複素多面体の対称群です。特に、正実多面体の対称群が含まれます。シェパード群は、線形図式による「コクセター型」表示が可能な複素反射群として特徴づけることができます。つまり、シェパード群には、正の整数p ₁ , ..., p _nおよびq ₁ , ..., q _{n − 1}が関連付けられており、関係式を満たす生成集合s ₁ , ..., s _{nが存在します。}

${\displaystyle (s_{i})^{p_{i}}=1}$i = 1, ..., n の場合、

${\displaystyle s_{i}s_{j}=s_{j}s_{i}}$もし${\displaystyle |i-j|>1}$、

そして

${\displaystyle s_{i}s_{i+1}s_{i}s_{i+1}\cdots =s_{i+1}s_{i}s_{i+1}s_{i}\cdots }$ここで、両辺の積にはq _{i の}項があり、i = 1, ..., n − 1 です。

This information is sometimes collected in the Coxeter-type symbol p₁[q₁]p₂[q₂] ... [q_{n − 1}]p_n, as seen in the table above.

Among groups in the infinite family G(m, p, n), the Shephard groups are those in which p = 1. There are also 18 exceptional Shephard groups, of which three are real.^[7][8]

An extended Cartan matrix defines the unitary group. Shephard groups of rank n group have n generators. Ordinary Cartan matrices have diagonal elements 2, while unitary reflections do not have this restriction.^[9] For example, the rank 1 group of order p (with symbols p[], ) is defined by the 1 × 1 matrix ${\displaystyle \left[1-e^{2\pi i/p}\right]}$.

Given: ${\displaystyle \zeta _{p}=e^{2\pi i/p},\omega =\zeta _{3}=e^{2\pi i/3}={\tfrac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}}),\zeta _{4}=e^{2\pi i/4}=i,\zeta _{5}=e^{2\pi i/5}={\tfrac {1}{4}}(\left({\sqrt {5}}-1\right)+i{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}),\tau ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\lambda ={\tfrac {1+i{\sqrt {7}}}{2}},\omega ={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}}$.

• Parabolic subgroup of a reflection group

• Broué, Michel; Malle, Gunter; Rouquier, Raphaël (1995), "On complex reflection groups and their associated braid groups"(PDF), Representations of groups (Banff, AB, 1994), CMS Conf. Proc., vol. 16, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 1–13, MR 1357192
• Broué, Michel; Malle, Gunter; Rouquier, Raphaël (1998), "Complex reflection groups, braid groups, Hecke algebras", Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 1998, no. 500, pp. 127–190, CiteSeerX 10.1.1.128.2907, doi:10.1515/crll.1998.064, ISSN 0075-4102, MR 1637497
• Deligne, Pierre (1972), "Les immeubles des groupes de tresses généralisés", Inventiones Mathematicae, vol. 17, no. 4, pp. 273–302, Bibcode:1972InMat..17..273D, doi:10.1007/BF01406236, ISSN 0020-9910, MR 0422673, S2CID 123680847
• Hiller, Howard Geometry of Coxeter groups. Research Notes in Mathematics, 54. Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, Mass.-London, 1982. iv+213 pp. ISBN 0-273-08517-4*
• Lehrer, Gustav I.; Taylor, Donald E. (2009), Unitary reflection groups, Australian Mathematical Society Lecture Series, vol. 20, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-74989-3, MR 2542964
• Shephard, G. C.; Todd, J. A. (1954), "Finite unitary reflection groups", Canadian Journal of Mathematics, vol. 6, Canadian Mathematical Society, pp. 274–304, doi:10.4153/CJM-1954-028-3, ISSN 0008-414X, MR 0059914, S2CID 3342221
• Coxeter, Finite Groups Generated by Unitary Reflections, 1966, 4. The Graphical Notation, Table of n-dimensional groups generated by n Unitary Reflections. pp. 422–423

• MAGMA Computational Algebra System page