中心製品

数学、特に群論の分野において、中心積は2 つの小群から 1 つの群を生成する方法の 1 つです。中心積は直積に似ていますが、中心積では、小群の 2 つの同型 中心 部分群が積の 1 つの中心部分群に統合されます。中心積は重要な構成であり、たとえば、特殊群を分類するために使用できます。

中心積には、関連しているが異なる概念がいくつかあります。直積と同様に、内部特性と外部特性の両方があり、さらに因子の交差がどの程度厳密に制御されるかについてもバリエーションがあります。

群Gは、2つの部分群H、Kの内部中心積である場合、

1. G はHとKによって生成されます。
2. Hのすべての要素はKのすべての要素と可換である。(Gorenstein 1980、p. 29)

時には、(Leedham-Green & McKay 2002, p. 32)のように、中心と正確に等しいというより厳しい要件が課されることもあります。この場合、サブグループHとKはGの中心因子と呼ばれます。 ${\displaystyle H\cap K}$

外部中心積は、 2つの群HとK、2つの部分群と、および群同型から構成される。外部中心積は、直積を正規部分群で 割った商である。${\displaystyle H_{1}\leq Z(H)}$${\displaystyle K_{1}\leq Z(K)}$${\displaystyle \theta \colon H_{1}\to K_{1}}$${\displaystyle H\times K}$

${\displaystyle N=\{(h,k):h\in H_{1},k\in K_{1},{\text{ および }}\theta (h)\cdot k=1\}}$、

(Gorenstein 1980、p. 29)。時には、 (Leedham-Green & McKay 2002、p. 32)のように、 H ₁ = Z( H )およびK ₁ = Z( K )というより厳しい要件が課されることもあります。

内部中心積は、 H ₁ = K ₁ = H ∩ Kおよび単位元θを持つ外部中心積と同型です。外部中心積は、商群におけるH × 1 と 1 × Kの像の内部中心積です。これは、(Gorenstein 1980、p. 29) および (Leedham-Green & McKay 2002、pp. 32–33) の各定義で示されています。 ${\displaystyle (H\times K)/N}$

外部中心積は一般にその因子HとKのみによって決定されないことに注意してください。中心積の同型型は同型θに依存します。ただし、たとえばHとK が両方とも有限の特殊群であり、およびである場合など、いくつかの注目すべき状況では明確に定義されます。 ${\displaystyle H_{1}=Z(H)}$${\displaystyle K_{1}=Z(K)}$

• パウリ群は巡回群 と二面体群の中心積です。${\displaystyle C_{4}}$ ${\displaystyle D_{4}}$
• すべての特殊群は、位数p ³の特殊群の中心積です。
• 有限群の層、すなわちすべての非正規 準単純部分群によって生成される部分群は、ゴレンシュタインの意味で準単純群の中心積である。

中心積の表現理論は直積の表現理論と非常に類似しており、よく理解されています (Gorenstein 1980、Ch. 3.7)。

中心積は、多くの構造的補題に現れます。例えば、(Gorenstein 1980、p. 350、補題 10.5.5) は、不動点のない自己同型写像​​のクラインの4 群を許容する有限群は解けるというGeorge Glaubermanの結果で使用されています。

リー加群（およびその他の関連構造）のテンソル積の特定のコンテキストでは、自己同型群には各因子の自己同型群の中心積が含まれます（Aranda-Orna 2022、4 ）。 ${\displaystyle \S}$

• ゴレンスタイン、ダニエル（1980）、有限群、ニューヨーク：チェルシー、ISBN 978-0-8284-0301-6、MR  0569209
• Leedham-Green, CR ; McKay, Susan (2002)、「素数べき順序の群の構造」、ロンドン数学会モノグラフ。新シリーズ、第27巻、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-853548-5、MR  1918951
• アランダ・オルナ、ディエゴ（2022）、一般化ジョルダン超対のフォークナー構成について、線形代数とその応用、第646巻、pp. 1-28