レルヒの超越

数学において、レルヒの超越関数は、フルヴィッツのゼータ関数と多重対数関数を一般化した特殊な関数である。これは、1887年に同様の関数についての論文を発表したチェコの数学者マティアス・レルヒにちなんで名付けられた。^[1]レルヒの超越関数は次のように与えられる。

${\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}}$。

これは、、または、および である任意の実数 に対してのみ収束します。^[2]${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle |z|<1}$${\displaystyle {\mathfrak {R}}(s)>1}$${\displaystyle |z|=1}$

レルヒの超越関数はさまざまな特殊関数と関連し、それらを一般化します。

Lerchゼータ関数は次のように与えられます。

${\displaystyle L(\lambda ,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {e^{2\pi i\lambda n}}{(n+\alpha )^ {s}}}=\ファイ (e^{2\pi i\lambda },s,\alpha )}$

フルヴィッツゼータ関数は特別なケースである^[3]

${\displaystyle \zeta (s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+\alpha )^{s}}}=\Phi (1,s ,\アルファ)}$

多重対数も特別なケースである: ^[3]

${\displaystyle {\textrm {Li}}_{s}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{s}}}= z\ファイ (z,s,1)}$

リーマンゼータ関数は上記の両方の特別な場合である: ^[3]

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\Phi (1,s,1)}$

ディリクレ・イータ関数: ^[3]

${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{s}}}=\Phi (-1,s,1)}$

ディリクレベータ関数: [ ^3]

${\displaystyle \beta (s)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)^{s}}}=2^ {-s}\ファイ (-1,s,{\tfrac {1}{2}})}$

ルジャンドルカイ関数: ^[3]

${\displaystyle \chi _{s}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{s}}} ={\frac {z}{2^{s}}}\ファイ (z^{2},s,{\tfrac {1}{2}})}$

逆正接積分：^[4]

${\displaystyle {\textrm {Ti}}_{s}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)^{s}}}={\frac {z}{2^{s}}}\Phi (-z^{2},s,{\tfrac {1}{2}})}$

正の整数nに対するポリガンマ関数: ^{[5] [6]}

${\displaystyle \psi ^{(n)}(\alpha )=(-1)^{n+1}n!\Phi (1,n+1,\alpha )}$

クラウゼン関数: ^[7]

${\displaystyle {\text{Cl}}_{2}(z)={\frac {ie^{-iz}}{2}}\Phi (e^{-iz},2,1)-{\frac {ie^{iz}}{2}}\Phi (e^{iz},2,1)}$

レルヒの超越表現には積分表現があります。

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}\,dt}$

証明はガンマ関数の積分定義を用いて次のように書く。

${\displaystyle \Phi (z,s,a)\Gamma (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+a)^{s}}}\int _{0}^{\infty }x^{s}e^{-x}{\frac {dx}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }t^{s}z^{n}e^{-(n+a)t}{\frac {dt}{t}}}$

そして、和と積分を入れ替える。結果として得られる積分表現は、Re( s )>0、Re( a )>0で収束する。これは、単位円の外側のzまで解析的に続く。積分公式は、 z = 1、Re( s )>1、Re( a )>0の場合でも成立する。フルヴィッツのゼータ関数を参照のこと。^{[8] [9]}${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus [1,\infty ),}$ ${\displaystyle \Phi (z,s,a)}$

等高線積分表現は次のように与えられる。

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=-{\frac {\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {(-t)^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}\,dt}$

ここでCは正の実軸の周りを反時計回りに回るハンケル曲線であり、積分関数の極となる点（整数kの場合）を囲まない。積分はRe( a )>0と仮定する^。[10]${\displaystyle t=\log(z)+2k\pi i}$

エルミート積分表現は次のように表される。

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {z^{t}}{(a+t)^{s}}}\,dt+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan(t)-ta\log(z))}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}}\,dt}$

のために

${\displaystyle \Re (a)>0\wedge |z|<1}$

そして

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+{\frac {\log ^{s-1}(1/z)}{z^{a}}}\Gamma (1-s,a\log(1/z))+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan(t)-ta\log(z))}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}}\,dt}$

のために

${\displaystyle \Re (a)>0.}$

同様の表現としては

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t\log z)\sin {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}-\sin(t\log z)\cos {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}}{{\big (}a^{2}+t^{2}{\big )}^{\frac {s}{2}}\tanh \pi t}}\,dt,}$

そして

${\displaystyle \Phi (-z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t\log z)\sin {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}-\sin(t\log z)\cos {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}}{{\big (}a^{2}+t^{2}{\big )}^{\frac {s}{2}}\sinh \pi t}}\,dt,}$

正のzに対して成り立つ（そしてより一般的には積分が収束するところならどこでも）。さらに、

${\displaystyle \Phi (e^{i\varphi },s,a)=L{\big (}{\tfrac {\varphi }{2\pi }},s,a{\big )}={\frac {1}{a^{s}}}+{\frac {1}{2\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-at}{\big (}e^{i\varphi }-e^{-t}{\big )}}{\cosh {t}-\cos {\varphi }}}\,dt,}$

最後の式はリプシッツ式とも呼ばれます。

λ 有理数の場合、加数は1 の根であるため、 フルビッツのゼータ関数上の有限和として表すことができます。 および と仮定します。すると、および となります。 ${\displaystyle L(\lambda ,s,\alpha )}$${\textstyle \lambda ={\frac {p}{q}}}$${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle q>0}$${\displaystyle z=\omega =e^{2\pi i{\frac {p}{q}}}}$${\displaystyle \omega ^{q}=1}$

${\displaystyle \Phi (\omega ,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\omega ^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}=\sum _{m=0}^{q-1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\omega ^{qn+m}}{(qn+m+\alpha )^{s}}}=\sum _{m=0}^{q-1}\omega ^{m}q^{-s}\zeta \left(s,{\frac {m+\alpha }{q}}\right)}$

さまざまな ID には次のものが含まれます。

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{n}\Phi (z,s,a+n)+\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {z^{k}}{(k+a)^{s}}}}$

そして

${\displaystyle \Phi (z,s-1,a)=\left(a+z{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\Phi (z,s,a)}$

そして

${\displaystyle \Phi (z,s+1,a)=-{\frac {1}{s}}{\frac {\partial }{\partial a}}\Phi (z,s,a).}$

レルヒ超越関数の級数表現は次のように与えられる。

${\displaystyle \Phi (z,s,q)={\frac {1}{1-z}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {-z}{1-z}}\right)^{n}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(q+k)^{-s}.}$

( は二項係数であることに注意してください。) ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

この級数はすべてのsに対して有効であり、Re( z )<1/2の複素数zに対しても有効である。フルヴィッツゼータ関数の同様の級数表現との一般的な類似性に注意すること。^[11]

第一パラメータのテイラー級数はアーサー・エルデーリによって与えられた。これは次の級数として表すことができ、^[12]

${\displaystyle \left|\log(z)\right|<2\pi ;s\neq 1,2,3,\dots ;a\neq 0,-1,-2,\dots }$

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{-a}\left[\Gamma (1-s)\left(-\log(z)\right)^{s-1}+\sum _{k=0}^{\infty }\zeta (s-k,a){\frac {\log ^{k}(z)}{k!}}\right]}$

nが正の整数であれ ば、

${\displaystyle \Phi (z,n,a)=z^{-a}\left\{\sum _{{k=0} \atop k\neq n-1}^{\infty }\zeta (n-k,a){\frac {\log ^{k}(z)}{k!}}+\left[\psi (n)-\psi (a)-\log(-\log(z))\right]{\frac {\log ^{n-1}(z)}{(n-1)!}}\right\},}$

ここで、 はディガンマ関数です。 ${\displaystyle \psi (n)}$

3番目の変数のテイラー級数は次のように表さ れる。

${\displaystyle \Phi (z,s,a+x)=\sum _{k=0}^{\infty }\Phi (z,s+k,a)(s)_{k}{\frac {(-x)^{k}}{k!}};|x|<\Re (a),}$

ポッホハマー記号はどこにありますか。 ${\displaystyle (s)_{k}}$

a = − nにおける級数は次のように与えられる 。

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {z^{k}}{(a+k)^{s}}}+z^{n}\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s)_{m}\operatorname {Li} _{s+m}(z){\frac {(a+n)^{m}}{m!}};\ a\rightarrow -n}$

n = 0の特別なケースでは、次の級数が得られます。

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s)_{m}\operatorname {Li} _{s+m}(z){\frac {a^{m}}{m!}};|a|<1,}$

ここで多重対数です。 ${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)}$

漸近級数​${\displaystyle s\rightarrow -\infty }$

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{-a}\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }[2k\pi i-\log(z)]^{s-1}e^{2k\pi ai}}$

および ​ ${\displaystyle |a|<1;\Re (s)<0;z\notin (-\infty ,0)}$

${\displaystyle \Phi (-z,s,a)=z^{-a}\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }[(2k+1)\pi i-\log(z)]^{s-1}e^{(2k+1)\pi ai}}$

のために${\displaystyle |a|<1;\Re (s)<0;z\notin (0,\infty ).}$

不完全ガンマ関数の漸近級数

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+{\frac {1}{z^{a}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{-2\pi i(k-1)a}\Gamma (1-s,a(-2\pi i(k-1)-\log(z)))}{(-2\pi i(k-1)-\log(z))^{1-s}}}+{\frac {e^{2\pi ika}\Gamma (1-s,a(2\pi ik-\log(z)))}{(2\pi ik-\log(z))^{1-s}}}}$

のために${\displaystyle |a|<1;\Re (s)<0.}$

一般化された超幾何関数としての表現は^{[13]である。}

${\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )={\frac {1}{\alpha ^{s}}}{}_{s+1}F_{s}\left({\begin{array}{c}1,\alpha ,\alpha ,\alpha ,\cdots \\1+\alpha ,1+\alpha ,1+\alpha ,\cdots \\\end{array}}\mid z\right).}$

多重対数関数は次のように定義される。 ${\displaystyle \mathrm {Li} _{n}(z)}$

${\displaystyle \mathrm {Li} _{0}(z)={\frac {z}{1-z}},\qquad \mathrm {Li} _{-n}(z)=z{\frac {d}{dz}}\mathrm {Li} _{1-n}(z).}$

させて

${\displaystyle \Omega _{a}\equiv {\begin{cases}\mathbb {C} \setminus [1,\infty )&{\text{if }}\Re a>0,\\{z\in \mathbb {C} ,|z|<1}&{\text{if }}\Re a\leq 0.\end{cases}}}$

およびに対して、が大きく固定された およびに対するの漸近展開は次のように与えられる 。${\displaystyle |\mathrm {Arg} (a)|<\pi ,s\in \mathbb {C} }$${\displaystyle z\in \Omega _{a}}$${\displaystyle \Phi (z,s,a)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle s}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{1-z}}{\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{n=1}^{N-1}{\frac {(-1)^{n}\mathrm {Li} _{-n}(z)}{n!}}{\frac {(s)_{n}}{a^{n+s}}}+O(a^{-N-s})}$

ここで はポッホハマー記号である。^[14]${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\displaystyle (s)_{n}=s(s+1)\cdots (s+n-1)}$

させて

${\displaystyle f(z,x,a)\equiv {\frac {1-(ze^{-x})^{1-a}}{1-ze^{-x}}}.}$

におけるテイラー係数を とします。 と を固定すると、 ${\displaystyle C_{n}(z,a)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} ,\Re a>1}$${\displaystyle \Re s>0}$

${\displaystyle \Phi (z,s,a)-{\frac {\mathrm {Li} _{s}(z)}{z^{a}}}=\sum _{n=0}^{N-1}C_{n}(z,a){\frac {(s)_{n}}{a^{n+s}}}+O\left((\Re a)^{1-N-s}+az^{-\Re a}\right),}$

として。^[15]${\displaystyle \Re a\to \infty }$

Lerch 超越関数は、Maple と Mathematica では LerchPhi として実装され、mpmath と SymPy では lerchphi として実装されています。

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