ヤング・ラプラス方程式

物理学において、ヤング・ラプラス方程式（ / ləˈplɑːs /）は、表面張力または壁張力が表面の曲率に抗して作用する現象により、水と空気などの2つの静止流体の界面を横切って維持される毛細管圧力差を記述する方程式です（ただし、後者の使用は壁が非常に薄いと仮定した場合にのみ適用可能です）。

ヤング・ラプラス方程式は、圧力差と表面または壁の形状との関係を示し、静的毛細管表面の研究において根本的に重要です。これは、界面で出会う静的流体の法線応力平衡を表す式であり、界面は表面（厚さゼロ）として扱われます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta p&=-\gamma \nabla \cdot {\hat {n}}\\&=-2\gamma H_{f}\\&=-\gamma \left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)\end{aligned}}}$$ どこ${\displaystyle \Delta p}$ラプラス圧力とは、流体界面を挟んだ圧力差（外部圧力－内部圧力）のことです。${\displaystyle \gamma }$表面張力（または壁張力）は、${\displaystyle {\hat {n}}}$単位法線は表面から外側を向いているか、${\displaystyle H_{f}}$は平均曲率であり、${\displaystyle R_{1}}$そして${\displaystyle R_{2}}$は主曲率半径である。静的界面は接線応力がない場合にのみ可能であるため、法線応力のみが考慮されることに注意されたい。^{[ 1 ]}

この方程式は、1805年に表面張力の定性理論を開発したトーマス・ヤングと、翌年に数学的記述を完成させたピエール＝シモン・ラプラスにちなんで名付けられました。カール・フリードリヒ・ガウスが1830年にヤングとラプラスの研究を統合し、ヨハン・ベルヌーイの仮想仕事の原理を用いて微分方程式と境界条件の両方を導出したため、ヤング・ラプラス・ガウス方程式と呼ばれることもあります。^{[ 2 ]}

重力のない石鹸膜のように圧力差がゼロの場合、界面は最小曲面の形状をとる。

この方程式は、エマルジョンを生成するために必要なエネルギーも説明している。エマルジョンを構成する小さく曲率の大きい液滴を形成するには、その小さな半径によって生じる大きな圧力に打ち勝つための余分なエネルギーが必要となる。

ラプラス圧は液滴が小さいほど大きくなり、エマルション中の最小の液滴から分子が拡散する原因となり、オストワルド熟成を介してエマルションの粗大化を引き起こします。

十分に狭い（すなわち、ボンド数が低い）円形断面（半径a）の管では、2 つの流体の界面は、半径Rの球の表面の一部であるメニスカスを形成する。この表面を横切る圧力ジャンプは、半径と表面張力 γ に次の関係がある。 $${\displaystyle \Delta p={\frac {2\gamma }{R}}.}$$

これは、ヤング・ラプラス方程式を球面形式で記述し、接触角境界条件と、例えばメニスカスの底部における所定の高さ境界条件を加えることで示すことができる。解は球面の一部であり、上記の圧力差に対してのみ解が存在する。これは、圧力差を規定する別の式や法則が存在しないため重要である。圧力差の特定の値に対して解が存在することが、その圧力差を規定することになる。

球の半径は接触角θのみの関数であり、接触角θは、対象となる流体の正確な特性と、流体が接触／界面を形成する容器の材質に依存します。 $${\displaystyle R={\frac {a}{\cos \theta }}}$$

したがって、圧力差は次のように表すことができます。 $${\displaystyle \Delta p={\frac {2\gamma \cos \theta }{a}}.}$$

静水圧平衡を維持するために、誘起毛細管圧は高さの変化hによって相殺されます。この高さの変化は、濡れ角が 90° 未満か 90° より大きいかに応じて、正または負の値になります。密度ρ の流体の場合：$${\displaystyle \rho gh={\frac {2\gamma \cos \theta }{a}}.}$$ ここで、gは重力加速度です。これは、1718 年にこの効果を研究したジェームズ・ジュリンにちなんで、ジュリンの法則またはジュリンの高さとして知られています^{[ 3 ]。[ 4 ]}

海面高度の空気中に置かれた水で満たされたガラス管の場合：

• γ = 0.0728 J/m² ⁽ 20℃ )
• θ = 20° (0.35 rad )
• ρ = 1000  kg/ ^m³
• g = 9.8  m/ ^s²

したがって、水柱の高さは次のように表されます。 $${\displaystyle h\approx {{1.4\times 10^{-5}}\mathrm {m} ^{2} \over a}.}$$ したがって、 幅2mm（ 半径1mm）の管の場合、水位は14mm上昇します 。しかし、半径0.1mmの毛細管の場合 、水位は14cm  （約6インチ）上昇します。

重力の影響も考慮に入れると、自由表面で、流体間の圧力差がh=0のレベルでΔpに等しい場合、界面が平衡状態にあるとき、静水圧Δpと表面張力の影響の間にはバランスが保たれる。ヤング・ラプラス方程式は次のようになる。 $${\displaystyle \Delta p=\rho gh-\gamma \left[{\frac {1}{R_{1}(h)}}+{\frac {1}{R_{2}(h)}}\right]}$$流体-流体界面の平均曲率はhに依存する ことに注意してください。

この方程式は、その特徴的な長さスケールである毛細管長を用いて無次元化することができる。 $${\displaystyle L_{c}={\sqrt {\frac {\gamma }{\rho g}}},}$$ および特性圧力$${\displaystyle p_{c}={\frac {\gamma }{L_{c}}}={\sqrt {\gamma \rho g}}.}$$

標準温度と圧力のきれいな水の場合、毛細管の長さは約2mmです。

すると、無次元化された方程式は次のようになる。 $${\displaystyle h^{*}-\Delta p^{*}=\left[{\frac {1}{{R_{1}}^{*}(h)}}+{\frac {1}{{R_{2}}^{*}(h)}}\right].}$$

したがって、表面形状は流体の過圧 Δ p ^*という 1 つのパラメータのみによって決定され、表面のスケールは毛細管長によって与えられます。この方程式を解くには、位置の初期条件と、開始点における表面の勾配が必要です。

^{過剰圧力Δp *} =3、初期条件r ₀ =10 ⁻⁴、z ₀ =0、dz / dr =0の場合に懸滴が生成される。

過圧Δp ^* =3.5、初期条件r ₀ =0.25 ⁻⁴、z ₀ =0、dz / dr =0の場合に液橋が生成される。

医学では、心血管生理学の文脈でラプラスの法則と呼ばれることが多いが^{[ 6 ]}、呼吸生理学の文脈でも用いられるが、後者の使用はしばしば誤りである^{[ 7 ] 。}

フランシス・ホークスビーは1709年に初期の観察と実験を行い^{[ 8 ]}、1718年にジェームズ・ジュリンが毛細管柱内の流体の高さは柱の他の寸法ではなく、表面の断面積のみの関数であることを観察した^{[ 4 ] [ 9 ] 。}

トーマス・ヤングは、 1804年の論文「流体の凝集力に関するエッセイ」^{[ 10 ]}で、流体間の接触を支配する原理（および流体挙動の他の多くの側面）を記述的に説明したことで、この方程式の基礎を築きました。 ピエール・シモン・ラプラスは、この後に「天体力学」^{[ 11 ]}で、ヤングが先に説明した関係を記号で再現した上記の形式的な数学的記述を行いました。

ラプラスは、ハウクスビーが著書『物理力学的実験』（1709年）で提唱した、この現象は知覚できる距離では知覚できない引力によるものであるという考えを受け入れた。^{[ 12 ] [ 13 ]}固体が液体に及ぼす作用と2つの液体の相互作用を扱う部分は徹底的に研究されなかったが、最終的にはカール・フリードリヒ・ガウスによって完成された。^{[ 14 ]}フランツ・エルンスト・ノイマン（1798-1895）は後にいくつかの詳細を補足した。^{[ 15 ] [ 9 ] [ 16 ]}

• マックスウェル、ジェームズ・クラーク、ストラット、ジョン・ウィリアム（1911）。「毛細管現象」 。チザム、ヒュー編『ブリタニカ百科事典』第5巻 （第11 版）。ケンブリッジ大学出版局、256～ 275頁。 
• バチェラー、GK（1967）流体力学入門、ケンブリッジ大学出版局
• Jurin, J. (1716). 「王立協会で発表されたいくつかの実験の報告、および毛細管内の水の上昇と滞留の原因に関する調査」 . Philosophical Transactions of the Royal Society . 30 ( 351– 363): 739– 747. doi : 10.1098/rstl.1717.0026 . S2CID 186211806 . 
• Tadros TF (1995)農薬中の界面活性剤、界面活性剤科学シリーズ、第54巻、Dekker