毛細管長

毛細管長または毛細管定数は、重力と表面張力に関係する長さのスケーリング係数です。これは、メニスカスの挙動を支配する基本的な物理的特性であり、体積力 (重力) と表面力 (ラプラス圧) が平衡状態にあるときに見られます。

静的流体の圧力は、流体の形状、総質量、表面積には依存しません。圧力は、流体の比重（特定の体積に対して重力が及ぼす力）と垂直の高さに正比例します。ただし、流体は表面張力によって引き起こされる圧力も受けます。これは一般にヤング・ラプラス圧力と呼ばれます。^[1]表面張力は分子間の凝集力から生じ、流体の大部分では分子はあらゆる方向から引力を受けます。流体の表面が湾曲しているのは、表面に露出している分子は隣接する分子との相互作用が少なく、その結果、表面を収縮させる正味の力が生じるためです。この湾曲の両側には圧力差があり、これが重力による圧力と釣り合うと、毛細管の長さを計算できます。^[2]

流体と流体の界面の場合、例えば別の液体に浸された水滴の場合、毛細管の長さは、またはで表されるか、最も一般的には次の式で表されます。 ${\displaystyle \lambda_{\rm{c}}}$${\displaystyle l_{\rm {c}}}$

${\displaystyle \lambda _{\rm {c}}={\sqrt {\frac {\gamma }{\Delta \rho g}}}}$、

ここで、は流体界面の表面張力、は重力加速度、は流体の質量密度差です。毛細管長は、曲率の数学的表記に関連して表されることがあります。毛細管定数という用語はいくぶん誤解を招きやすいものです。なぜなら、 は可変量の合成であることを認識することが重要であり、たとえば、表面張力の値は温度によって変化し、密度差は界面相互作用に関与する流体に応じて変化するからです。しかし、これらの条件が分かっている場合、毛細管長は任意の液体に対して定数と見なすことができ、多数の流体力学問題で、導出された方程式を任意の流体に対して有効になるようにスケーリングするために使用できます。^[3]分子流体の場合、界面張力と密度差は通常、それぞれmN m ⁻¹とg mL ⁻¹のオーダーであり、地球上の室温では水と空気の毛細管長は mm になります。 ^[4]一方、月の水と空気の毛細管長は mm になります。シャボン玉の場合、表面張力を平均厚さで割ると、空気中の毛細管の長さは約メートルになります。^{[5] の}式には、毛細管の高さを正規化するときに最もよく使用される追加の項を加えることもできます。^[6]${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \Delta \rho }$${\displaystyle \kappa^{-1}}$${\displaystyle \lambda_{\rm{c}}}$${\displaystyle 10-100}$${\displaystyle 0.1-1}$${\displaystyle \sim 3}$${\displaystyle {\lambda \scriptscriptstyle c}=6.68}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle \lambda_{\rm{c}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

毛細管の長さを理論的に導く 1 つの方法は、表面張力が重力と釣り合う点に液滴があると想像することです。

半径 の球状の液滴があるとします。 ${\displaystyle \lambda_{c}}$

表面張力による 特性ラプラス圧は、 ${\displaystyle P_{\gamma}}$

${\displaystyle P_{\gamma }=2{\frac {\gamma }{\lambda _{\rm {c}}}}}$、

ここで、は表面張力です。液体柱の 重力による圧力（静水圧）は次のように表されます。${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle P_{\rm {h}}}$

${\displaystyle P_{\rm {h}}=\rho gh=2\rho g\lambda _{\rm {c}}}$、

ここで、は液滴の密度、は重力加速度、は液滴の高さです。 ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h=2\lambda _{\rm {c}}}$

ラプラス圧が重力による圧力と釣り合う点では、 ${\displaystyle P_{\rm {h}}=P_{\gamma}}$

${\displaystyle \lambda _{\rm {c}}={\sqrt {\frac {\gamma }{\rho g}}}}$。

上記の導出は、液体の重力と表面張力の比率を表す無次元量であるエトヴェシュ数を扱うときに使用できます。1886 年にロラーンド・エトヴェシュによって導入されたにもかかわらず、彼はその後エトヴェシュとはかなり関係がなくなり、ウィルフリッド・ノエル・ボンドに取って代わられたため、最近の文献ではボンド数と呼ばれています。

ボンド数は、特性長さ（通常は液体の曲率半径）と毛細管長^{[7]を含むように記述することができる。}

${\displaystyle \mathrm {Bo} ={\frac {\Delta \rho \,g\,L^{2}}{\gamma }}}$、

上記で定義されたパラメータと曲率半径を使用します。 ${\displaystyle L}$

したがって、結合数は次のように表される。

${\displaystyle \mathrm {Bo} =\left({\frac {L}{\lambda _{\rm {c}}}}\right)^{2}}$、

毛細管の長さ に応じて。${\displaystyle \lambda_{\rm{c}}}$

結合数が 1 に設定されている場合、特性長さは毛細管の長さになります。

毛細管の長さは、さまざまな物理現象を操作することでも測定できます。1つの方法は、液体の表面が周囲の固体に引き寄せられる毛細管現象に注目することです。 ^[8]

ジュリンの法則は、毛細管内の液体が到達できる最大の高さは、管の直径に反比例することを示す定量的な法則です。この法則は、毛細管内の液体の高さを測定する従来の実験である毛細管上昇中に数学的に説明できます。毛細管を液体に挿入すると、圧力の不均衡により、液体は管内で上昇または下降します。特性高さは、メニスカスの底からベースまでの距離であり、ラプラス圧と重力による圧力が均衡しているときに存在します。再構成して、毛細管の長さを表面張力と重力の関数として示すことができます。

${\displaystyle \lambda _{\rm {c}}^{2}={\frac {hr}{2\cos \theta }}}$、

液体の高さ、毛細管の半径、接触角によって異なります。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta}$

接触角は、液体-固体界面と液体-蒸気界面の交差によって形成される角度として定義されます。^[2]角度の大きさは、液体の濡れ性、つまり液体と固体表面間の相互作用を定量化します。接触角が の場合、完全な濡れと見なすことができます。 ${\displaystyle \theta =0}$

${\displaystyle \lambda _{\rm {c}}^{2}={\frac {hr}{2}}}$。

したがって、 はを伴う循環的な 3 因子方程式を形成します。 ${\displaystyle \lambda_{\rm{c}}^{2}}$${\displaystyle r,h}$

この特性は、物理学者が実験を必要とせずに、半径がわかっている特定の毛細管内で液体が上昇する高さを推定するためによく使用されます。液体の特性高さが毛細管の長さよりも十分に小さい場合、重力による静水圧の影響は無視できます。^[9]

毛細管上昇の同じ前提を使用して、毛細管の長さを体積増加の関数として、毛細管壁の濡れ周囲長として求めることができます。^[10]

毛細管の長さを求める別の方法は、静置液滴内の異なる圧力点（各点に曲率半径がある）を使用し、それらをラプラス圧力方程式に当てはめることです。今度は、メニスカス レベルの高さについて方程式を解き、これも毛細管の長さを求めるのに使用できます。

静置液滴の形状は、半径が毛細管の長さより大きいか小さいかに正比例します。マイクロ液滴は、毛細管の長さよりも小さい半径を持つ液滴であり、その形状は表面張力によってのみ制御され、球状のキャップ形状を形成します。液滴の半径が毛細管の長さより大きい場合、それらはマクロ液滴と呼ばれ、重力が支配的になります。マクロ液滴は重力によって「平ら」になり、液滴の高さは低くなります。^[11]

毛細管現象の研究はレオナルド・ダ・ヴィンチの時代まで遡りますが、毛細管長という考え方はずっと後になってから生まれました。基本的に毛細管長はトーマス・ヤングとピエール・ラプラスの研究の成果です。彼らは2人とも、表面張力が粒子間の凝集力から生じ、液体表面の形状はこれらの力の到達範囲が短いことを反映していることを理解していました。19世紀初頭に彼らは独立して圧力方程式を導き出しましたが、表記法や表現の都合上、ラプラスの功績とされることが多いです。この方程式は、2つの静止した流体間の曲面内の圧力は常に曲面外の圧力よりも大きいが、半径が無限大に近づくにつれて圧力はゼロに減少することを示していました。力は表面に対して垂直で曲率の中心に向かって作用するため、表面が凹面の場合は液体が上昇し、凸面の場合は液体が下降します。^{[12]これは1719年に}ジェームズ・ジュリンが発表した研究の数学的説明であり、^[13]毛細管内の液体の最大高さとその直径の関係を定量化したジュリンの法則である。^[10]毛細管の長さは、重力による圧力と釣り合う点でのラプラス圧力方程式の使用から発展し、1806年にラプラスによって導入されて以来、ラプラス毛細管定数と呼ばれることもある。 ^[14]

泡が丸いのは、凝集力が分子を可能な限り密集させて球状にするためである。泡の中に閉じ込められた空気のため、表面積がゼロになることは不可能であり、そのため泡の内部の圧力は外部の圧力よりも高くなる。なぜなら、圧力が同じであれば、泡は単に崩壊するからである。^[15]この圧力差はラプラスの圧力方程式から計算できる。

${\displaystyle \Delta P={\frac {2\gamma }{R}}}$。

シャボン玉の場合、内部と外部の2つの境界面が存在するため、過剰圧力への寄与は2つあり、ラプラスの公式は2倍になり、

${\displaystyle \Delta P={\frac {4\gamma }{R}}}$^[16 ]

毛細管の長さは、同じ方法で計算できますが、膜の厚さを考慮する必要があります。泡は中空の中心を持ち、固体である液滴とは異なります。上記の導出のように各辺がである液滴を考える代わりに、泡は ${\displaystyle e_{0}}$${\displaystyle \lambda_{c}}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle m=\Delta \rho R^{2}e_{0}}$、

それぞれバブルの半径と厚さ です。${\displaystyle R}$${\displaystyle e_{0}}$

上記のように、ラプラス圧力と静水圧は等しく、結果として

${\displaystyle R={\frac {\gamma }{\Delta \rho ge_{0}}}={\frac {\lambda _{\rm {c}}^{2}}{e_{0}}}}$。

このように毛細管の長さは、シャボン玉が取れる最大の大きさを決定する物理化学的限界に寄与する。^[5]

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