シリンダー応力

力学において、円筒応力は回転対称性を持つ応力分布です。つまり、応力がかかった物体が固定軸を中心に回転しても変化しません。

シリンダーの応力パターンには次のものがあります。

• 円周方向の応力、またはフープ応力、接線方向（方位角）の法線応力。
• 軸方向応力、円筒対称軸に平行な法線応力。
• ラジアル応力、対称軸と同一平面だが垂直な方向の法線応力。

これら3つの主応力（フープ応力、縦応力、ラジアル応力）は、相互に直交する3軸応力システムを使用して解析的に計算できます。^[1]

フープ応力の典型的な例（および名前の由来）は、木製の樽の鉄の帯、つまりフープにかかる張力です。まっすぐな閉じたパイプでは、圧力差によって円筒形のパイプの壁にかかる力はすべて、最終的にフープ応力を引き起こします。同様に、このパイプに平らなエンド キャップが付いている場合、静圧によってそれらに適用される力はすべて、同じパイプの壁に垂直な軸方向応力を引き起こします。薄いセクションでは、半径方向の応力が無視できるほど小さいことがよくありますが、壁の厚い円筒形のシェルの正確なモデルでは、このような応力を考慮する必要があります。

厚壁圧力容器では、好ましい初期応力パターンを可能にする構築技術を利用できます。内面のこれらの圧縮応力は、加圧シリンダー内の全体的なフープ応力を低減します。この性質の円筒形容器は、通常、互いに収縮（または膨張）した同心円筒、つまりビルドアップシュリンクフィットシリンダーから構築されますが、厚いシリンダーのオートフレッタージュによって単一のシリンダーにすることもできます。^[2]

フープ応力は、円筒壁のすべての粒子に対して、円周方向（物体の軸と半径に垂直）に両方向に作用する領域上の力です。次のように説明できます。

${\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {F}{tl}}\ }$

どこ：

• F は、次の 2 つの長さを辺とするシリンダー壁の領域に円周方向に加えられる力です。
• tは円筒の半径方向の厚さである
• l はシリンダーの軸の長さです。

周方向応力を記述する際のフープ応力の代わりとして壁応力または壁張力（T）があり、これは通常、半径方向の厚さ全体にわたって作用する全周方向力として定義されます。^[3]

${\displaystyle T={\dfrac {F}{l}}\ }$

軸方向応力と半径方向応力とともに、円周方向応力は円筒座標における応力テンソルの成分です。

通常、回転対称の物体に作用する力を、円筒座標r、z、θに平行な成分に分解すると便利です。これらの力の成分は、それぞれ、半径方向応力、軸方向応力、および周方向応力という対応する応力を引き起こします。

薄壁仮定が有効であるためには、容器の壁厚は半径の約10分の1以下（直径/t > 20とよく言われる）でなければならない。^[4]これにより、壁を表面として扱い、その後、ヤング・ラプラス方程式を使用して、薄壁の円筒形圧力容器の内圧によって生じるフープ応力を推定することができる。

${\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{t}}\ }$ （シリンダーの場合）

${\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {Pr}{2t}}\ }$ （球の場合）

どこ

• Pは内部圧力
• tは壁の厚さ
• rは円筒の平均半径である
• ${\displaystyle \sigma _{\theta }\!}$フープのストレスです。

薄い殻のフープ応力方程式は、内部の膨圧が数気圧に達する可能性のある植物細胞や細菌などの球状の容器にもほぼ当てはまります。シリンダー（パイプやチューブ）の実際の工学的応用では、フープ応力は圧力に合わせて再調整されることが多く、バーローの式と呼ばれます。

インチ・ポンド・秒システム (IPS) のPの単位は、平方インチあたりの重量ポンド(psi)です。 t、およびdの単位はインチ (in) です。Pの SI 単位はパスカル(Pa)で、tおよびd =2 rはメートル (m) です。

容器の端が閉じている場合、内部圧力がそれらの端に作用して、円筒の軸に沿った力が発生します。これは軸方向応力と呼ばれ、通常は周方向応力よりも小さくなります。

${\displaystyle \sigma _{z}={\dfrac {F}{A}}={\dfrac {Pd^{2}}{(d+2t)^{2}-d^{2}}}\ }$

これは、

${\displaystyle \sigma _{z}={\dfrac {Pr}{2t}}\ }$

表面に対して垂直に発生する 放射状の応力もあり、薄壁シリンダーでは次のように推定できます。${\displaystyle \sigma _{r}\ }$

${\displaystyle \sigma _{r}={-P}\ }$

薄壁仮定では比率は大きいため、ほとんどの場合、この成分はフープ応力や軸方向応力に比べて無視できると考えられる。^[5]${\displaystyle {\dfrac {r}{t}}\ }$

調査対象のシリンダーの比率が 10 未満 ( とよく引用される) の場合、応力が内面と外面の間で大幅に変化し、断面を通るせん断応力を無視できなくなる ため、薄壁シリンダー方程式は成立しなくなります。${\displaystyle {\text{半径}}/{\text{厚さ}}}$${\displaystyle {\text{直径}}/{\text{厚さ}}}20}$

これらの応力とひずみは、フランスの数学者ガブリエル・ラメによって開発された一連の方程式であるラメ方程式^[6]を使用して計算できます。

${\displaystyle \sigma _{r}=A-{\dfrac {B}{r^{2}}}\ }$

${\displaystyle \sigma _{\theta }=A+{\dfrac {B}{r^{2}}}\ }$

どこ：

${\displaystyle A}$およびは 積分定数であり、境界条件から求められる。${\displaystyle B}$

${\displaystyle r}$関心のあるポイント（たとえば、内壁または外壁）の半径です。

境界条件のあるシリンダーの場合:

${\displaystyle p(r=a)=P_{a}}$（すなわち、内面における内部圧力）、${\displaystyle P_{a}}$

${\displaystyle p(r=b)=P_{b}}$（すなわち、外表面における外圧）、${\displaystyle P_{b}}$

次の定数が得られます。

${\displaystyle A={\dfrac {P_{a}a^{2}-P_{b}b^{2}}{b^{2}-a^{2}}}\ }$、

${\displaystyle B={\dfrac {a^{2}b^{2}(P_{a}-P_{b})}{b^{2}-a^{2}}}\ }$。

これらの定数を使用すると、半径方向応力とフープ応力の次の式がそれぞれ得られます。

${\displaystyle \sigma _{r}={\dfrac {P_{a}a^{2}-P_{b}b^{2}}{b^{2}-a^{2}}}-{\dfrac {a^{2}b^{2}(P_{a}-P_{b})}{(b^{2}-a^{2})r^{2}}}\ }$、

${\displaystyle \sigma _{\theta }={\dfrac {P_{a}a^{2}-P_{b}b^{2}}{b^{2}-a^{2}}}+{\dfrac {a^{2}b^{2}(P_{a}-P_{b})}{(b^{2}-a^{2})r^{2}}}\ }$。

これらの応力の結果が正の値の場合は張力を示し、負の値の場合は圧縮を示すことに注意してください。

固体シリンダーの場合:であり、固体シリンダーは内部圧力を持つことができないため です。 ${\displaystyle R_{i}=0}$${\displaystyle B=0}$${\displaystyle A=P_{o}}$

厚肉円筒の場合、この比率は10 未満であるため、他の応力に比例した半径方向の応力は無視できなくなり (つまり、P は Pr/t および Pr/2t よりも大幅に小さくなくなり)、壁の厚さが設計の主要な考慮事項になります (Harvey、1974、pp. 57)。 ${\displaystyle {\dfrac {r}{t}}\ }$

圧力容器理論では、壁の任意の要素は三軸応力システムで評価され、3つの主な応力はフープ、縦、および放射状です。したがって、定義上、横方向、接線方向、または放射状の平面にはせん断応力は存在しません。^[1]

厚肉円筒の場合、任意の点における最大せん断応力は、最大応力と最小応力の代数差の半分で表され、したがって、これはフープ応力とラジアル応力の差の半分に等しくなります。せん断応力は内面で最大に達しますが、これは厚肉円筒の実際の破断試験とよく相関するため、破損の基準として役立ちます (Harvey、1974、p. 57)。

破壊は、他の外部荷重がない場合には、最大の主応力であるフープ応力によって決まります。フープは、その内部で最大の応力を受けることに注意してください (外側と内側は、異なる円周に分散された同じ総ひずみを受けます)。したがって、パイプの亀裂は、理論的にはパイプの内側から始まるはずです。地震後のパイプ検査では通常、亀裂を検査するためにパイプ内にカメラを送り込むのがこのためです。降伏は、フープ応力と、存在しない場合は縦方向または半径方向の応力を含む等価応力によって決まります。

血管壁や胃腸壁の病理学では、壁張力は血管壁の筋肉の張力を表します。ラプラスの法則の結果、血管壁に動脈瘤が形成されると、血管の半径が増加します。これは、血管への内向きの力が減少することを意味し、したがって動脈瘤は破裂するまで拡大し続けます。同様の論理が腸の憩室の形成にも当てはまります。^[7]

シリンダー内の応力に関する最初の理論的分析は、19世紀半ばの技術者ウィリアム・フェアベアンが数学分析家のイートン・ホジキンソンの助けを借りて開発しました。彼らの最初の関心は、蒸気ボイラーの設計と故障の研究でした。^[9]フェアバーンは、フープ応力が縦応力の2倍であることを認識しました。これは、リベットで接合された圧延鋼板からボイラーシェルを組み立てる際の重要な要素です。その後、この研究は橋の建設と箱桁の発明に応用されました。チェプストウ鉄道橋では、鋳鉄製の柱は外部の錬鉄製バンドで強化されています。垂直の縦方向の力は圧縮力であり、鋳鉄はこれに十分耐えることができます。フープ応力は引張力であるため、鋳鉄よりも引張強度に優れた材料である錬鉄が追加されました。

• シリンダーのストレスによって発生する可能性があります:
  • ボストン糖蜜災害
  • ボイラー爆発
  • 沸騰した液体が膨張して蒸気が爆発する
• 関連するエンジニアリングトピック:
  • 応力集中
  • 水圧試験
  • 座屈
  • 血圧#壁の張力との関係
  • 配管#応力解析
• このストレスの影響を最も受けやすいデザイン:
  • 圧力容器
    • ロケットエンジン
  • フライホイール
  • フィレンツェ大聖堂のドーム

• 薄壁圧力容器。2008 年 6 月 19 日。 {{cite book}}:|work=無視されました (ヘルプ)