ランダウの問題

1912 年の国際数学者会議で、エドモンド・ランダウは素数に関する 4 つの基本的な問題を挙げました。これらの問題は、彼の演説で「現在の数学の状態では解決不可能」と特徴づけられ、現在ではランダウの問題として知られています。これらの問題は次のとおりです。

1. ゴールドバッハの予想: 2 より大きいすべての偶数は、2 つの素数の和として表すことができますか?
2. 双子素数予想: p  + 2 が素数となるような素数p は無限に存在するか?
3. ルジャンドルの予想: 連続する完全平方数の間には常に少なくとも 1 つの素数が存在するか?
4. p − 1 が完全な平方数となるような素数p は無限に存在するか ? 言い換えれば、n ²  + 1 の形式の素数は無限に存在するか?

2024年現在^{[アップデート]}、4つの問題はすべて未解決です。

5より大きい奇数はすべて3つの素数の和として表せるというゴールドバッハの弱い予想は、ゴールドバッハの予想の結果である。イヴァン・ヴィノグラードフは1937年に十分に大きなnに対してこれを証明し（ヴィノグラードフの定理）、 2013年にハラルド・^{ヘルフゴット}はこれをゴールドバッハの弱い予想の完全な証明にまで拡張した。^{[2] [3] [4]}

チェンの定理は、ゴールドバッハの予想を弱めた別の定理で、十分に大きいすべてのn（ただしpは素数、qは素数または半素数）に対して、が成り立つことを証明しています。^{[注 1]}ボルディニョン、ジョンストン、スタリチコワ^{[5] は、山田[6]}を修正および改良して、チェンの定理の明示的なバージョンを証明しました。 より大きいすべての偶数は、素数と最大で 2 つの素数の積の和です。 ボルディニョンとスタリチコワ^[7]は、これをディリクレ L 関数に対する一般化リーマン予想(GRH)の仮定に簡略化しました。 ジョンソンとスタリチコワは、最大で 369 個の素数の積である数を素数または半素数ではなく使用するというコストで、 n ≥ 4すべてに機能するバージョンを示しています。GRH の下では、369 が 33 に改善されています。^[8]${\displaystyle 2n=p+q}$${\displaystyle e^{e^{32,7}}\approx 1.4\cdot 10^{69057979807814}}$${\displaystyle e^{e^{15.85}}\approx 3.6\cdot 10^{3321634}}$

モンゴメリとヴォーンは、 2つの素数の和として表せない偶数の例外集合は、有限集合であることは証明されていないものの、密度がゼロであることを示した。^[9]例外集合の現在の最良の境界は、（十分に大きいxに対して）ピンツ^[10] [ ^11]によるものであり、RHの下ではゴールドストン^[12]によるものである。${\displaystyle E(x)<x^{0.72}}$${\displaystyle E(x)\ll x^{0.5}\log ^{3}x}$

リンニクは、十分に大きな偶数は2つの素数と2の累乗の定数Kの和として表せることを証明した。 [ 13 ]^多くの進歩（概要についてはピンツ^{[14]を参照）を受けて、}ピンツとルザ^{[15]はこれを}K = 8に改良した。GRHを仮定すると、これはK = 7に改良できる。^[16]

2013年にYitang Zhangは、ギャップが7000万を超える素数ペアは無限に存在することを示しました^{[17] 。この結果は、} Polymath Projectの共同作業によって、ギャップの長さが246に改善されました。^[18]一般化されたエリオット-ハルバースタム予想では、これは6に改善され、メイナード^[19]とゴールドストン、ピンツ、ユルドゥルムによる以前の研究を拡張しました。^[20]

1966 年に陳は、p  + 2 が素数または半素数となる ような素数p (後に陳素数と呼ばれる)が無限に存在することを示しました。

pから始まる各素数ギャップがより小さいことを確認するだけで十分です。最大素数ギャップの表は、この予想が2 ⁶⁴ ≈ 1.8 × 10まで成り立つことを示しています。${\displaystyle 2{\sqrt {p}}}$¹⁹ . ^[21]そのサイズに近い反例では、平均ギャップの1億倍の大きさの素数ギャップが必要になります。

^{ヤルヴィニエミ[22]}は、ヒース・ブラウン^[23]とマトマキ^[24]を改良して、最大でより大きいギャップに続く例外的な素数が存在することを示している。特に、 ${\displaystyle x^{7/100+\varepsilon }}$${\displaystyle {\sqrt {2p}}}$

${\displaystyle \sum _{\stackrel {p_{n+1}-p_{n}>{\sqrt {p_{n}}}^{1/2}}{p_{n}\leq x}}p_{n+1}-p_{n}\ll x^{0.57+\varepsilon }.}$

インガムの結果によれば、十分に大きいnに対して、との間には素数が存在することが分かった。^[25]${\displaystyle n^{3}}$${\displaystyle (n+1)^{3}}$

ランダウの第4の問題は、整数nに対して の形をとる素数が無限に存在するかどうかを問うものでした。(この形の既知の素数のリストは A002496 です。) このような素数が無限に存在することは、ブニャコフスキー予想やベイトマン・ホーン予想などの他の数論的予想の結果として生じます。2024 年現在、この問題は未解決です。 ${\displaystyle p=n^{2}+1}$^[update]

ほぼ平方の素数の一例はフェルマー素数です。ヘンリク・イワニエツは、最大で 2 つの素因数を持つ形式の数が無限に存在することを示しまし た。 ^{[26] [27]}アンケニー^[28]とクビリウス^{[29] は}、ヘッケ指標上のL関数に対する拡張リーマン予想を仮定すると、を持つ形式の素数が無限に存在することを証明しました。ランダウ予想は、より強い に対するものです。最良の無条件結果はハーマンとルイス^[30]によるもので、 となります。 ${\displaystyle n^{2}+1}$ ${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$${\displaystyle y=O(\log p)}$${\displaystyle y=1}$${\displaystyle y=O(p^{0.119})}$

メリコスキ^[31]は、以前の研究^{[32] [33] [34] [35] [36]}を改良して、最大素因数が少なくともである形の数は無限に存在することを示した。^[注2]指数を2に置き換えると、ランダウの予想が得られる。 ${\displaystyle n^{2}+1}$${\displaystyle n^{1.279}}$

フリードレンダー・イワニエツの定理は、無限個の素数が の形をしていることを示しています。^[37]${\displaystyle x^{2}+y^{4}}$

BaierとZhao ^[38]は、の形の素数が無限に存在することを証明している。指数は、L関数の一般化リーマン予想の下では まで改善でき、特定のエリオット・ハルバースタム型予想の下では まで改善できる。 ${\displaystyle p=an^{2}+1}$${\displaystyle a<p^{5/9+\varepsilon }}$${\displaystyle 1/2+\varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$

ブルンふるいは、という形式を持つ素数の密度に上限を設定します。つまり、 という形式を持つ素数は まで存在します。したがって、という形式のほぼすべての数は合成数です。 ${\displaystyle p=n^{2}+1}$${\displaystyle O({\sqrt {x}}/\log x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n^{2}+1}$

• 数学の未解決問題の一覧
• ヒルベルトの問題

• ワイスタイン、エリック・W.「ランダウの問題」。マスワールド。