確率的設計

確率的設計は、工学設計の一分野です。主に、設計段階でのランダム変動が工学システムのパフォーマンスに与える影響を考慮し、最小限に抑えることに取り組んでいます。通常、調査および最適化されるこれらの影響は、品質と信頼性に関連しています。安全係数を使用する代わりに、故障の確率が小さいと想定する点で、従来の設計手法とは異なります。^{[2] [3]}確率的設計は、故障の可能性を評価するためにさまざまなアプリケーションで使用されます。確率的設計の原理を広範囲に使用する分野には、製品設計、品質管理、システム工学、機械設計、土木工学（特に限界状態設計で有用）、製造などがあります。

確率的アプローチを設計に用いる場合、設計者は各変数を単一の値や数字として考えることはなくなります。代わりに、各変数は確率分布を持つ連続したランダム変数としてみなされます。この観点から、確率的設計はシステムを通る変動性（または分布）の流れを予測します。^[4]

材料や構造を設計する際には、ランダムな変動や体系的な変動の原因が非常に多いため、設計者が調査対象の要因をランダム変数としてモデル化することは非常に有益です。このモデルを考慮することで、設計者はランダムな変動の流れを減らす調整を行うことができ、それによってエンジニアリングの品質を向上させることができます。確率的設計アプローチの支持者は、多くの品質の問題は設計の初期段階で予測し、大幅にコストを削減して修正できると主張しています。^{[4] [5]}

通常、確率的設計の目標は、ランダム変動の影響が最も小さい設計を特定することです。ランダム変動を最小限に抑えることは、制御不能な要因を制限すると同時に、故障確率をより正確に決定できるため、確率的設計に不可欠です。これは、いくつかの設計オプションの中で最も堅牢であることが判明した1つの設計オプションである可能性があります。または、入力変数とパラメータの最適な組み合わせを備えた、利用可能な唯一の設計オプションである可能性があります。この2番目のアプローチは、ロバスト化、パラメータ設計、またはシックスシグマ設計と呼ばれることもあります。^[4]

物理法則は、力、応力、歪み、たわみなどの測定可能な量と変数の関係を規定していますが、これらの関係を考慮すると、依然として3つの主要な変動源が存在します。^[6]

変動性の最初の発生源は統計的なものであり、降伏応力、ヤング率、真ひずみなどのパラメータを推定するためのサンプルサイズが限られていることから生じます。^[7]測定の不確実性は、分散がサンプルサイズの逆数に比例するため、これら3つの発生源の中で最も簡単に最小限に抑えることができます。

測定の不確実性による分散は補正係数 として表すことができ、これに真の平均を掛けると の測定平均が得られます。同様に、 となります。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\bar {X}}}$${\displaystyle {\bar {X}}={\bar {B}}X}$

これにより、結果 が得られ、補正係数の分散は次のように与えられます。 ${\displaystyle {\bar {B}}={\frac {\bar {X}}{X}}}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle Var[B]={\frac {Var[{\bar {X}}]}{X}}={\frac {Var[X]}{nX}}}$

ここで、は補正係数、は真の平均、は測定された平均、は測定回数です。^[6]${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\bar {X}}}$${\displaystyle n}$

変動性の 2 番目の原因は、そのようなパラメータを計算するために使用されるモデルの不正確さと不確実性から生じます。これには、材料の負荷とそれに関連する影響を理解するために使用する物理モデルが含まれます。モデルによる理論値と実験結果の両方が利用できる場合、物理的測定可能値のモデルからの不確実性を判断できます。

測定値は理論モデルの予測値にモデル誤差を乗じ、実験誤差を加えた値に等しい。^[8]同様に、 ${\displaystyle {\hat {H}}(\omega )}$${\displaystyle H(\omega )}$${\displaystyle \phi (\omega )}$${\displaystyle \varepsilon (\omega )}$

${\displaystyle {\hat {H}}(\omega )=H(\omega )\phi (\omega )+\varepsilon (\omega )}$

そしてモデル誤差は一般的に次の形式をとります。

${\displaystyle \phi (\omega )=\sum _{i=0}^{n}a_{i}\omega ^{n}}$

ここで、は実験データから決定された回帰係数である。^[8]${\displaystyle a_{i}}$

最後に、最後の変動源は、あらゆる物理的測定可能物の固有の変動性から生じます。すべての物理的現象には、基本的なランダム不確実性が伴い、この変動性を最小限に抑えることは比較的困難です。したがって、各物理的変数と測定可能量は、平均と変動性を持つランダム変数として表すことができます。

材料の引張試験を実行するための従来のアプローチを考えてみましょう。材料が受ける応力は、特異値 (つまり、加えられた力を荷重軸に垂直な断面積で割った値) として与えられます。塑性変形前に材料が耐えられる最大応力である降伏応力も、特異値として与えられます。このアプローチでは、降伏応力以下では材料が破損する可能性は 0%、降伏応力以上では破損する可能性は 100% です。ただし、現実の世界ではこれらの仮定は当てはまりません。

材料の降伏応力は、多くの場合、一定の精度でしか知られていないため、不確実性があり、したがって既知の値に関連する確率分布が存在する。^{[6] [8]}降伏強度の確率分布関数を次のように表す。 ${\displaystyle f(R)}$

同様に、適用される荷重または予測される荷重も一定の精度でしか知ることができませんが、材料が受ける応力の範囲も不明です。この確率分布を とします。 ${\displaystyle f(S)}$

失敗の確率は、数学的には、次の 2 つの分布関数の間の領域に相当します。

${\displaystyle P_{f}=P(R<S)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(R)f(S)dSdR}$

または、降伏応力と適用荷重の差を第3の関数と等しくすると、次のようになります。 ${\displaystyle RS=Q}$

${\displaystyle P_{f}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(R)f(S)dSdR=\int \limits _{-\infty }^{0}f(Q)dQ}$

ここで平均差の分散は で与えられます。 ${\displaystyle Q}$${\displaystyle \sigma _{Q}^{2}={\sqrt {\sigma _{R}^{2}+\sigma _{S}^{2}}}}$

確率論的設計原理では、破損確率を正確に決定できますが、従来のモデルでは、降伏強度に達する前に破損は絶対にないと想定しています。^[9]従来の適用荷重対降伏応力モデルには限界があることは明らかなので、確率分布を使用してこれらの変数をモデル化して破損確率を計算する方が、より正確なアプローチです。確率論的設計アプローチでは、すべての荷重条件下での材料破損を決定でき、決定的な「はい」または「いいえ」の代わりに、破損の可能性に定量的な確率を関連付けることができます。

本質的に、確率的設計は変動性の影響の予測に重点を置いています。モデルの不確実性に関連する変動性を予測および計算できるようにするために、応力やひずみなどのパラメータの理論値を決定するために、さまざまな分野にわたって多くの方法が考案され、利用されてきました。確率的設計と併用される理論モデルの例には、次のものがあります。

• 有限要素解析^[10]
• 確率有限要素法^[11]
• 境界要素法
• メッシュフリー法
• 分析方法（古典的な設計原則を参照）

さらに、目的の測定対象におけるランダムな変動を定量化および予測するために使用される統計的手法は多数あります。出力のランダムな変動を予測するために使用される手法には、次のものがあります。

• モンテカルロ法（ラテン超方格法を含む）^[12]
• エラーの伝播;
• 実験計画法(DOE)
• 瞬間法
• 統計的干渉
• 品質機能の展開
• 故障モードと影響分析

• 区間有限要素
• 確率モデル
• 一次二次モーメント法
• ワイブル分布

• アンとタン (2006)工学における確率概念: 土木および環境工学への応用に重点を置いたもの。ジョン ワイリー アンド サンズ。ISBN 0-471-72064 -X 
• アッシュ (1993) 『確率の指導書: エンジニアと科学者(そしてその他すべての人)のための直感的なコース』 Wiley-IEEE 出版。 ISBN 0-7803-1051-9 
• Clausing (1994)「総合的品質開発: 世界クラスのコンカレントエンジニアリングへのステップバイステップガイド」アメリカ機械学会ISBN 0-7918-0035-0 
• ハウゲン（1980）確率的機械設計。Wiley。ISBN 0-471-05847-5 
• パプーリス (2002)確率、ランダム変数、確率過程。McGraw -Hill Publishing Co. ISBN 0-07-119981-0 
• シダル（ 1982）最適エンジニアリング設計。CRC。ISBN 0-8247-1633-7 
• Dodson, B.、Hammett, P.、Klerx, R. (2014)エンジニアのための最適化と堅牢性のための確率的設計John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-1-118-79619-1 
• Cederbaum G.、Elishakoff I.、Aboudi J.、Librescu L.、「複合構造のランダム振動と信頼性」、Technomic、Lancaster、1992、XIII + pp. 191、ISBN 0 87762 865 3 
• Elishakoff I.、Lin YK、Zhu LP、「音響励起構造の確率的および凸型モデリング」、Elsevier Science Publishers、アムステルダム、1994 年、VIII + pp. 296、ISBN 0 444 81624 0 
• エリシャコフ I.、構造理論における確率的手法：材料のランダム強度、ランダム振動、座屈、ワールドサイエンティフィック、シンガポール、ISBN 978-981-3149-84-7、2017年 

• 確率的設計
• エンジニアリングにおける非決定論的アプローチ