区間有限要素法

区間パラメータを用いた平面応力問題における最大フォンミーゼス応力（勾配法を用いて計算）。

数値解析において、区間有限要素法（区間FEM）は、区間パラメータを使用する有限要素法です。区間FEMは、構造物の信頼できる確率的特性を得ることができない状況に適用できます。これは、コンクリート構造物、木造構造物、地盤力学、複合構造物、生体力学、その他多くの分野で重要です。^{[ 1 ]}区間有限要素法の目的は、モデルのさまざまな特性（応力、変位、降伏面など）の上限と下限を見つけ、これらの結果を設計プロセスで使用することです。これは、いわゆる最悪ケース設計であり、限界状態設計と密接に関連しています。

最悪ケース設計は確率的設計よりも情報量が少ないが、結果はより保守的である[Köylüoglu and Elishakoff 1998]。

区間パラメータの不確実性モデリングへの応用

次の式を考えてみましょう。 $ax=b$ ここで、aとbは実数であり、 $x={\frac {b}{a}}$ 。

多くの場合、パラメータaとbの正確な値は不明です。

と仮定しましょう $a\in [1,2]=\mathbf {a}$ そして $b\in [1,4]=\mathbf {b}$ この場合、次の式を解く必要がある。 $[1,2]x=[1,4]$

区間パラメータを用いたこの方程式の解集合には、いくつかの定義が存在する。

統一ソリューションセット

このアプローチでは、解は次のセットになります。 $\mathbf {x} =\left\{x:ax=b,a\in \mathbf {a} ,b\in \mathbf {b} \right\}={\frac {\mathbf {b} }{\mathbf {a} }}={\frac {[1,4]}{[1,2]}}=[0.5,4]$

これは区間方程式の最も一般的な解集合であり、この記事ではこの解集合を適用します。

多次元の場合、統合された解集合ははるかに複雑になります。次の線形区間方程式系の解集合 ${\begin{bmatrix}{[-4,-3]}&{[-2,2]}\\{[-2,2]}&{[-4,-3]}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{[-8,8]}\\{[-8,8]}\end{bmatrix}}$ 次の図に示されています $\sum {_{\exists \exists }}(\mathbf {A} ,\mathbf {b} )=\{x:Ax=b,A\in \mathbf {A} ,b\in \mathbf {b} \}$

正確な解集合は非常に複雑なので、正確な解集合を含む最小の区間を見つける必要がある。 $\diamondsuit \left(\sum {_{\exists \exists }}(\mathbf {A} ,\mathbf {b} )\right)=\diamondsuit \{x:Ax=b,A\in \mathbf {A} ,b\in \mathbf {b} \}$ または単に $\displaystyle \diamondsuit \left(\sum {_{\exists \exists }}(\mathbf {A} ,\mathbf {b} )\right)=[{\underline {x}}_{1},{\overline {x}}_{1}]\times [{\underline {x}}_{2},{\overline {x}}_{2}]\times \dots \times [{\underline {x}}_{n},{\overline {x}}_{n}]}$ どこ ${\underline {x}}_{i}=\min\{x_{i}:Ax=b,A\in \mathbf {A} ,b\in \mathbf {b} \},\ \ {\overline {x}}_{i}=\max\{x_{i}:Ax=b,A\in \mathbf {A} ,b\in \mathbf {b} \}$ $x_{i}\in \{x_{i}:Ax=b,A\in \mathbf {A} ,b\in \mathbf {b} \}=[{\underline {x}}_{i},{\overline {x}}_{i}]$ 関連項目

区間線形システムのパラメトリック解集合

区間有限要素法では、パラメータに依存する連立方程式（通常は対称正定値行列）を解く必要があります。一般的なパラメータ依存連立方程式の解集合の例を以下に示します。

${\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}\\p_{2}+1&p_{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {p_{1}+6p_{2}}{5.0}}\\2p_{1}-6\end{bmatrix}},\ \ {\text{for}}\ \ p_{1}\in [2,4],p_{2}\in [-2,1].$ 下の図に示されています。^{[ 2 ]}

パラメータ依存型連立方程式の解集合

代数解法

このアプローチでは、x は方程式を満たす区間数です。 $[1,2]x=[1,4]$ が満たされます。言い換えれば、等式の左辺は等式の右辺と等しくなります。この場合の解は $x=[1,2]$ なぜなら $ax=[1,2][1,2]=[1,4]$

不確実性が大きい場合、つまり $a=[1,4]$ 、それから $x=[1,1]$ なぜなら $ax=[1,4][1,1]=[1,4]$

不確実性がさらに大きい場合、つまり $a=[1,8]$ そうでなければ、解は存在しない。代数的区間解集合の物理的な解釈を見つけるのは非常に複雑である。そのため、応用においては、通常、統一解集合が用いられる。

その方法

区間パラメータを持つ偏微分方程式を考える

どこ $p=(p_{1},\dots ,p_{m})\in {\mathbf {p} }$ これは、与えられた区間に属するパラメータのベクトルです。 $p_{i}\in [{\underline {p}}_{i},{\overline {p}}_{i}]={\mathbf {p} }_{i},$ ${\mathbf {p} }={\mathbf {p} }_{1}\times {\mathbf {p} }_{2}\times \cdots \times {\mathbf {p} }_{m}.$

例えば、熱伝達方程式 $k_{x}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+k_{y}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+q=0{\text{ for }}x\in \Omega$ $u(x)=u^{*}(x){\text{ for }}x\in \partial \Omega$ どこ $k_{x},k_{y}$ 区間パラメータ（つまり $k_{x}\in {\mathbf {k} }_{x},\ k_{y}\in {\mathbf {k} }_{y}$ )

方程式（1）の解は次のように定義できる。 ${\tilde {u}}(x):=\{u(x):G(x,u,p)=0,p\in {\mathbf {p} }\}$

例えば、熱伝達方程式の場合 ${\tilde {u}}(x)=\left\{u(x):k_{x}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+k_{y}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+q=0{\text{ for }}x\in \Omega ,u(x)=u^{*}(x){\text{ for }}x\in \partial \Omega ,k_{x}\in {\mathbf {k} }_{x},\ k_{y}\in {\mathbf {k} }_{y}\right\}$

解決 ${\tilde {u}}$ そのため非常に複雑であり、実際には正確な解集合を含む最小の区間を見つけることの方が興味深い。 ${\tilde {u}}$ 。

${\mathbf {u} }(x)=\lozenge {\tilde {u}}(x)=\lozenge \{u(x):G(x,u,p)=0,p\in {\mathbf {p} }\}$

例えば、熱伝達方程式の場合 ${\mathbf {u} }(x)=\lozenge \left\{u(x):k_{x}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+k_{y}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+q=0{\text{ for }}x\in \Omega ,u(x)=u^{*}(x){\text{ for }}x\in \partial \Omega ,k_{x}\in {\mathbf {k} }_{x},\ k_{y}\in {\mathbf {k} }_{y}\right\}$

有限要素法を用いると、以下のパラメータ依存の代数方程式系が得られる。 $K(p)u=Q(p),\ \ \ p\in {\mathbf {p} }$ ここで、 $Kは$ 剛性行列であり、 $Q$ は右辺である。

区間解は多値関数として定義できる ${\mathbf {u} }=\lozenge \{u:K(p)u=Q(p),p\in {\mathbf {p} }\}$

上記の最も単純なケースでは、システムは線形区間方程式のシステムとして扱うことができます。

区間解は、以下の最適化問題の解として定義することもできる。 ${\underline {u}}_{i}=\min\{u_{i}:K(p)u=Q(p),p\in {\mathbf {p} }\}$ ${\overline {u}}_{i}=\max\{u_{i}:K(p)u=Q(p),p\in {\mathbf {p} }\}$

多次元の場合、区間解は次のように記述できます。 $\mathbf {u} =\mathbf {u} _{1}\times \cdots \times \mathbf {u} _{n}=[{\underline {u}}_{1},{\overline {u}}_{1}]\times \cdots \times [{\underline {u}}_{n},{\overline {u}}_{n}]$

区間解と確率解の比較

区間パラメータは、一様分布の乱数とは異なる結果を生み出すことを知っておくことが重要です。

区間パラメータ $\mathbf {p} =[{\underline {p}},{\overline {p}}]$ 考えられるすべての確率分布を考慮する（ $p\in [{\underline {p}},{\overline {p}}]$ )

区間パラメータを定義するには、上限のみを知る必要がある。 ${\overline {p}}$ 下限 ${\underline {p}}$ 。

確率的特性の計算には、多くの実験結果に関する知識が必要となる。

n 個の区間数の合計は、 ${\sqrt {n}}$ 適切な正規分布に従う確率変数の合計よりも何倍も広い。

n個の区間数の合計 $\mathbf {p} =[{\underline {p}},{\overline {p}}]$ に等しい $n\mathbf {p} =[n{\underline {p}},n{\overline {p}}]$

その区間の幅は $n{\overline {p}}-n{\underline {p}}=n({\overline {p}}-{\underline {p}})=n\Delta p$

正規分布に従う確率変数Xを考える。 $m_{X}=E[X]={\frac {{\overline {p}}+{\underline {p}}}{2}},\sigma _{X}={\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}={\frac {\Delta p}{6}}$

n個の正規分布する確率変数の合計は、以下の特性を持つ正規分布する確率変数です（シックスシグマを参照）。 $E[nX]=n{\frac {{\overline {p}}+{\underline {p}}}{2}},\sigma _{nX}={\sqrt {n\operatorname {Var} [X]}}={\sqrt {n}}\sigma ={\sqrt {n}}{\frac {\Delta p}{6}}$

確率的結果の幅は6シグマに等しいと仮定できます（シックスシグマを参照）。 $6\sigma _{nX}=6{\sqrt {n}}{\frac {\Delta p}{6}}={\sqrt {n}}\Delta p$

これで、区間結果の幅と確率結果の幅を比較できます。 ${\frac {{\text{width of }}n{\text{ intervals}}}{{\text{width of }}n{\text{ random variables}}}}={\frac {n\Delta p}{{\sqrt {n}}\Delta p}}={\sqrt {n}}$

そのため、区間有限要素法（または一般的には最悪ケース解析）の結果は、確率的有限要素法解析と比較して過大評価される可能性があります（不確実性の伝播も参照）。ただし、非確率的不確実性の場合、純粋な確率的手法を適用することはできません。なぜなら、その場合の確率的特性は正確にはわからないからです（Elishakoff 2000）。

区間パラメータ（例えば、区間平均、分散など）を持つランダム変数（およびファジーランダム変数）を考慮することが可能です。一部の研究者は、統計計算で区間（ファジー）測定値を使用します（例：（ Wayback Machineに 2010-06-16 にアーカイブされています）。このような計算の結果、いわゆる不正確な確率が得られます。

不正確な確率は非常に広い意味で理解されています。これは、明確な数値確率を用いずに偶然性や不確実性を測定するすべての数学モデルを包括する総称として用いられます。これには、定性的モデル（比較確率、部分選好順序など）と定量的モデル（区間確率、信念関数、上限予測値と下限予測値など）の両方が含まれます。不正確な確率モデルは、関連情報が乏しい、曖昧である、あるいは矛盾している推論問題や、選好が不完全な場合もある意思決定問題において必要とされます。。

簡単な例：張力、圧縮力、ひずみ、応力のモデリング）

1次元の例

張力と圧縮力の問題では、変位 $u$ と力 $P$ の関係は次の式で表されます。 ${\frac {EA}{L}}u=P$ ここで、 $L$ は長さ、 $A$ は断面積、 $Eは$ ヤング率である。

ヤング率とヤング力が不確かな場合、 $E\in [{\underline {E}},{\overline {E}}],P\in [{\underline {P}},{\overline {P}}]$

変位 $uの$ 上限値と下限値を求めるには、次の偏微分を計算します。 ${\frac {\partial u}{\partial E}}={\frac {-PL}{E^{2}A}}<0$ ${\frac {\partial u}{\partial P}}={\frac {L}{EA}}>0$

変位の極値を以下のように計算します。 ${\underline {u}}=u({\overline {E}},{\underline {P}})={\frac {{\underline {P}}L}{{\overline {E}}A}}$ ${\overline {u}}=u({\underline {E}},{\overline {P}})={\frac {{\overline {P}}L}{{\underline {E}}A}}$

以下の式を用いてひずみを計算してください。 $\varepsilon ={\frac {1}{L}}u$

変位の微分を用いて、ひずみの微分を計算します。 ${\frac {\partial \varepsilon }{\partial E}}={\frac {1}{L}}{\frac {\partial u}{\partial E}}={\frac {-P}{E^{2}A}}<0$ ${\frac {\partial \varepsilon }{\partial P}}={\frac {1}{L}}{\frac {\partial u}{\partial P}}={\frac {1}{EA}}>0$

変位の極値を以下のように計算します。 ${\underline {\varepsilon }}=\varepsilon ({\overline {E}},{\underline {P}})={\frac {\underline {P}}{{\overline {E}}A}}$ ${\overline {\varepsilon }}=\varepsilon ({\underline {E}},{\overline {P}})={\frac {\overline {P}}{{\underline {E}}A}}$

変位を用いてひずみの極値を計算することも可能である。 ${\frac {\partial \varepsilon }{\partial u}}={\frac {1}{L}}>0$ それから ${\underline {\varepsilon }}=\varepsilon ({\underline {u}})={\frac {\underline {P}}{{\overline {E}}A}}$ ${\overline {\varepsilon }}=\varepsilon ({\overline {u}})={\frac {\overline {P}}{{\underline {E}}A}}$

同じ方法論をストレスにも適用できます $\sigma =E\varepsilon$ それから ${\frac {\partial \sigma }{\partial E}}=\varepsilon +E{\frac {\partial \varepsilon }{\partial E}}=\varepsilon +E{\frac {1}{L}}{\frac {\partial u}{\partial E}}={\frac {P}{EA}}-{\frac {P}{EA}}=0$ ${\frac {\partial \sigma }{\partial P}}=E{\frac {\partial \varepsilon }{\partial P}}=E{\frac {1}{L}}{\frac {\partial u}{\partial P}}={\frac {1}{A}}>0$ そして ${\underline {\sigma }}=\sigma ({\underline {P}})={\frac {\underline {P}}{A}}$ ${\overline {\sigma }}=\sigma ({\overline {P}})={\frac {\overline {P}}{A}}$

応力をひずみの関数として扱うと、 ${\frac {\partial \sigma }{\partial \varepsilon }}={\frac {\partial }{\partial \varepsilon }}(E\varepsilon )=E>0$ それから ${\underline {\sigma }}=\sigma ({\underline {\varepsilon }})=E{\underline {\varepsilon }}={\frac {\underline {P}}{A}}$ ${\overline {\sigma }}=\sigma ({\overline {\varepsilon }})=E{\overline {\varepsilon }}={\frac {\overline {P}}{A}}$

構造は、ストレスがかかっても安全です $\sigma$ 与えられた値よりも小さい $\sigma _{0}$ つまり、 $\sigma <\sigma _{0}$ この条件が真となるのは、 ${\overline {\sigma }}<\sigma _{0}$

計算の結果、この関係が満たされるのは次の場合であることがわかります。 ${\frac {\overline {P}}{A}}<\sigma _{0}$

この例は非常に単純ですが、力学における区間パラメータの応用を示しています。区間有限要素法は、多次元の場合に非常によく似た方法論を使用します[Pownuk 2004]。

しかし、多次元の場合、不確実なパラメータと解の関係は必ずしも単調ではありません。そのような場合は、より複雑な最適化手法を適用する必要があります。^{[ 1 ]}

多次元の例

張力・圧縮問題の場合、平衡方程式は次の形式になります。 ${\frac {d}{dx}}\left(EA{\frac {du}{dx}}\right)+n=0$ ここで、 $u$ は変位、 $E$ はヤング率、 $A$ は断面積、 $n$ は分布荷重です。一意解を得るためには、適切な境界条件を追加する必要があります。 $u(0)=0$ $\left.{\frac {du}{dx}}\right|_{x=0}EA=P$

ヤング率 $E$ と $n$ が不確かな場合、区間解は次のように定義できます。

${\mathbf {u} }(x)=\left\{u(x):{\frac {d}{dx}}\left(EA{\frac {du}{dx}}\right)+n=0,u(0)=0,{\frac {du(0)}{dx}}EA=P,E\in [{\underline {E}},{\overline {E}}],P\in [{\underline {P}},{\overline {P}}]\right\}$

各FEM要素について、式にテスト関数 $vを乗じることが可能です。$ $\int _{0}^{L^{e}}\left({\frac {d}{dx}}\left(EA{\frac {du}{dx}}\right)+n\right)v=0$ どこ $x\in [0,L^{(e)}].$

部分積分を行うと、弱形式の式が得られます。 $\int _{0}^{L^{(e)}}EA{\frac {du}{dx}}{\frac {dv}{dx}}dx=\int _{0}^{L^{(e)}}nv\,dx$ どこ $x\in [0,L^{(e)}].$

グリッドポイントのセットを導入しましょう $x_{0},x_{1},\dots ,x_{Ne}$ 、どこ $Ne$ は要素の数であり、各FEM要素の線形形状関数である。 $N_{1}^{(e)}(x)=1-{\frac {1-x_{0}^{(e)}}{x_{1}^{(e)}-x_{0}^{(e)}}},\ \ N_{2}^{(e)}(x)={\frac {1-x_{0}^{(e)}}{x_{1}^{(e)}-x_{0}^{(e)}}}.$ どこ $x\in [x_{0}^{(e)},x_{1}^{(e)}].$

$x_{1}^{(e)}$ 要素の左端点、 $x_{1}^{(e)}$ 要素番号「e」の左端点。「e」番目の要素における近似解は、形状関数の線形結合である。

$u_{h}^{(e)}(x)=u_{1}^{e}N_{1}^{(e)}(x)+u_{2}^{e}N_{2}^{(e)}(x),\ \ v_{h}^{(e)}(x)=u_{1}^{e}N_{1}^{(e)}(x)+u_{2}^{e}N_{2}^{(e)}(x)$

方程式の弱形式に代入すると、次の連立方程式が得られます。

${\begin{bmatrix}{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}&-{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}\\-{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}&{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}^{(e)}\\u_{2}^{(e)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\int _{0}^{L^{(e)}}nN_{1}^{(e)}(x)dx\\\int _{0}^{L^{(e)}}nN_{2}^{(e)}(x)dx\end{bmatrix}}$ または行列形式で $K^{(e)}u^{(e)}=Q^{(e)}$

全体剛性マトリックスを構築するには、各節点における平衡方程式を考慮する必要があります。その後、方程式は次のマトリックス形式になります。 $Ku=Q$ どこ $K={\begin{bmatrix}K_{11}^{(1)}&K_{12}^{(1)}&0&\cdots &0\\K_{21}^{(1)}&K_{22}^{(1)}+K_{11}^{(2)}&K_{12}^{(2)}&\cdots &0\\0&K_{21}^{(2)}&K_{22}^{(2)}+K_{11}^{(3)}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &K_{22}^{(Ne-1)}+K_{11}^{(Ne)}&K_{11}^{(Ne)}\\0&0&\cdots &K_{21}^{(Ne)}&K_{22}^{(Ne)}\end{bmatrix}}$ はグローバル剛性行列であり、 $u={\begin{bmatrix}u_{0}\\u_{1}\\\vdots \\u_{Ne}\\\end{bmatrix}}$ は解ベクトルです。 $Q={\begin{bmatrix}Q_{0}\\Q_{1}\\\vdots \\Q_{Ne}\\\end{bmatrix}}$ 右側です。

張力圧縮問題の場合

$K={\begin{bmatrix}{\frac {E^{(1)}A^{(1)}}{L^{(1)}}}&-{\frac {E^{(1)}A^{(1)}}{L^{(1)}}}&0&\cdots &0\\-{\frac {E^{(1)}A^{(1)}}{L^{(1)}}}&{\frac {E^{(1)}A^{(1)}}{L^{(1)}}}+{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&-{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&\cdots &0\\0&-{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}+{\frac {E^{(3)}A^{(3)}}{L^{(3)}}}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\frac {E^{(Ne-1)}A^{(Ne-1)}}{L^{(Ne-1)}}}+{\frac {E^{(Ne)}A^{(Ne)}}{L^{(Ne)}}}&-{\frac {E^{(Ne)}A^{(Ne)}}{L^{(Ne)}}}\\0&0&\cdots &-{\frac {E^{(Ne)}A^{(Ne)}}{L^{(Ne)}}}&{\frac {E^{(Ne)}A^{(Ne)}}{L^{(Ne)}}}\end{bmatrix}}$

分散負荷 $nを無視すると$

$Q={\begin{bmatrix}R\\0\\\vdots \\0\\P\\\end{bmatrix}}$

境界条件を考慮すると、剛性マトリックスは次の形式になります。

$K={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&{\frac {E^{(1)}A^{(1)}}{L^{(1)}}}+{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&-{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&\cdots &0\\0&-{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}+{\frac {E^{(3)}A^{(3)}}{L^{(3)}}}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\frac {E^{(e-1)}A^{(e-1)}}{L^{(e-1)}}}+{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}&-{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}\\0&0&\cdots &-{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}&{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}\end{bmatrix}}=K(E,A)=K{\left(E^{(1)},\dots ,E^{(Ne)},A^{(1)},\dots ,A^{(Ne)}\right)}$

右側は次の形式になります

$Q={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\P\\\end{bmatrix}}=Q(P)$

ヤング率 $E$ 、断面積 $A$ 、荷重 $P$ は不確定であり、ある区間に属すると仮定します。 $E^{(e)}\in [{\underline {E}}^{(e)},{\overline {E}}^{(e)}]$ $A^{(e)}\in [{\underline {A}}^{(e)},{\overline {A}}^{(e)}]$ $P\in [{\underline {P}},{\overline {P}}]$

区間解は、以下のように計算して定義できます。

$\mathbf {u} =\lozenge \left\{u:K(E,A)u=Q(P),E^{(e)}\in [{\underline {E}}^{(e)},{\overline {E}}^{(e)}],A^{(e)}\in [{\underline {A}}^{(e)},{\overline {A}}^{(e)}],P\in [{\underline {P}},{\overline {P}}]\right\}$

区間ベクトルの計算 ${\mathbf {u} }$ 一般的にはNP困難であるが、特定の場合には、多くの工学応用で使用できる解を計算することが可能である。

計算結果は区間変位です $u_{i}\in [{\underline {u}}_{i},{\overline {u}}_{i}]$

柱の変位は（安全上の理由から）ある一定の値よりも小さくなければならないと仮定しましょう。 $u_{i}<u_{i}^{\max }$

不確実なシステムは、区間解がすべての安全条件を満たす場合に安全である。

この特定のケースでは $u_{i}<u_{i}^{\max },\ \ \ u_{i}\in [{\underline {u}}_{i},{\overline {u}}_{i}]$ または単純に ${\overline {u}}_{i}<u_{i}^{\max }$

後処理では、区間応力、区間ひずみ、区間限界状態関数を計算し、これらの値を設計プロセスで使用することが可能です。

区間有限要素法は、構造物の信頼できる確率的特性を作成するのに十分な情報がない問題の解決に適用できます（Elishakoff 2000）。区間有限要素法は、不確実確率の理論にも適用できます。

エンドポイント結合法

この方程式を解くことは可能です $K(p)u(p)=Q(p)$ 区間の端点のすべての可能な組み合わせについて ${\hat {p}}$ 区間内のすべての頂点のリスト ${\hat {p}}$ 次のように書くことができます $L=\{p_{1}^{*},...,p_{n}^{*}\}$ 解の上限値と下限値は、以下の方法で計算できます。

${\underline {u}}_{i}=\min\{u_{i}(p_{k}^{*}):K(p_{k}^{*})u(p_{k}^{*})=Q(p_{k}^{*}),p_{k}^{*}\in L\}$ ${\overline {u}}_{i}=\max\{u_{i}(p_{k}^{*}):K(p_{k}^{*})u(p_{k}^{*})=Q(p_{k}^{*}),p_{k}^{*}\in L\}$

端点結合法は通常正確な解を与えるが、残念ながらこの方法は計算量が指数関数的に増加するため、多くの区間パラメータを持つ問題には適用できない。^{[ 3 ]}

テイラー展開法

機能 $u=u(p)$ テイラー級数を用いて展開することができる。最も単純な場合、テイラー級数は線形近似のみを使用する。

$u_{i}(p)\approx u_{i}(p_{0})+\sum _{j}{\frac {\partial u(p_{0})}{\partial p_{j}}}\Delta p_{j}$

解の上限値と下限値は、以下の式を用いて計算できます。

${\underline {u}}_{i}\approx u_{i}(p_{0})-\left|\sum _{j}{\frac {\partial u(p_{0})}{\partial p_{j}}}\right|\Delta p_{j}$

${\overline {u}}_{i}\approx u_{i}(p_{0})+\left|\sum _{j}{\frac {\partial u(p_{0})}{\partial p_{j}}}\right|\Delta p_{j}$

この方法は非常に効率的ですが、精度はあまり高くありません。精度を向上させるには、高次のテイラー展開を適用することが可能です[Pownuk 2004]。このアプローチは、区間有限差分法や区間境界要素法にも適用できます。

勾配法

導関数の符号が ${\frac {\partial u_{i}}{\partial p_{j}}}$ 定数の場合、関数 $u_{i}=u_{i}(p)$ 単調であり、正確な解を非常に速く計算できる。

もし

{\frac {\partial u_{i}}{\partial p_{j}}}\geq 0

それから

p_{i}^{\min }={\underline {p}}_{i},\ p_{i}^{\max }={\overline {p}}_{i}

もし

{\frac {\partial u_{i}}{\partial p_{j}}}<0

それから

p_{i}^{\min }={\overline {p}}_{i},\ p_{i}^{\max }={\underline {p}}_{i}

解の極値は次のように計算できます。

${\underline {u}}_{i}=u_{i}(p^{\min }),\ {\overline {u}}_{i}=u_{i}(p^{\max })$

多くの構造工学の応用において、この方法は正確な解を与えます。解が単調でない場合でも、通常は妥当な解です。この方法の精度を向上させるために、単調性テストと高次の感度解析を適用することができます。この方法は、計算力学の線形および非線形問題の解法に適用できます [Pownuk 2004]。土木工学の問題の解法への感度解析法の応用については、次の論文 [MV Rama Rao、A. Pownuk、I. Skalna 2008] を参照してください。このアプローチは、区間有限差分法および区間境界要素法にも適用できます。

要素ごとの方法

MuhannaとMullenは、区間パラメータを持つ有限要素方程式の解法に要素ごとの定式化を適用した。^{[ 4 ]}この方法を用いることで、トラス構造やフレーム構造の場合に精度が保証された解を得ることが可能となる。

摂動法

解決策 $u=u(p)$ 剛性マトリックス $K=K(p)$ そして荷重ベクトル $Q=Q(p)$ 摂動理論を用いることで拡張できる。摂動理論は区間解の近似値をもたらす。^{[ 5 ]}この方法は非常に効率的であり、計算力学の大きな問題に適用できる。

応答曲面法

解を近似することは可能である $u=u(p)$ 応答曲面を使用することで、応答曲面を使用して区間解を得ることができます。^{[ 6 ]}応答曲面法を使用すると、計算力学の非常に複雑な問題を解くことができます。^{[ 7 ]}

純粋区間法

複数の著者が、区間パラメータを持つ有限要素問題の解法に純粋な区間法を適用しようと試みた。場合によっては、例えば [Popova, Iankov, Bonev 2008] のように非常に興味深い結果が得られることもある。しかし、一般的にこの方法は非常に過大評価された結果を生み出す。^{[ 8 ]}

パラメトリック区間システム

Popova ^{[ 9 ]}と Skalna ^{[ 10 ]}は、係数が区間パラメータの線形結合である線形方程式系の解法を導入しました。この場合、保証された精度で区間方程式の非常に正確な解を得ることが可能です。

参考文献

1 2 「区間方程式」。 2011年10月5日にオリジナルからアーカイブされました。2008年10月12日に取得。
↑ E. Popova、「区間線形システムのパラメトリック解集合」Wayback Machineに2010年1月27日にアーカイブ済み
↑ A. Neumaier、『方程式系の区間法』、ケンブリッジ大学出版局、ニューヨーク、1990年
↑ RL Muhanna、RL Mullen、「力学問題における不確実性 ― 区間ベースのアプローチ」、Journal of Engineering Mechanics、第127巻、第6号、2001年、557-556頁
↑ Z. Qiu およびI. Elishakoff、「区間解析による大きな不確実だが非ランダムなパラメータを持つ構造物のアンチ最適化」、Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering、第 152 巻、第 3-4 号、1998 年 1 月 24 日、361-372 ページ
↑ UO Akpan、TS Koko、IR Orisamolu、BK Gallant、「構造物の実践的なファジー有限要素解析」、Finite Elements in Analysis and Design、38、pp. 93–111、2000。
↑ M. Beer、「不整合なエンジニアリングデータの評価」、第3回信頼性エンジニアリングコンピューティングワークショップ（REC08）、ジョージア工科大学、2008年2月20～22日、米国ジョージア州サバンナ。
↑ Kulpa Z.、Pownuk A.、Skalna I.、「区間法による不確実性を伴う線形機械構造の解析」、Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences、第5巻、1998年、 443～477
↑ E. Popova、「パラメーター付き線形システムの解法について」。W. Kraemer、J. Wolff von Gudenberg (編)：科学計算、検証済み数値計算、区間法。Kluwer Acad. Publishers、2001年、pp. 127–138。
↑ I. Skalna、「区間パラメータに線形に依存する連立一次方程式の外側区間解法」、Reliable Computing、第12巻、第2号、2006年4月、 107～120

デンプスター、AP（1967）。「多値写像によって誘導される上限および下限確率」。数学統計学年報38（2）：325-339。2009年9月23日取得
土木工学における不確実性の分析、W. Fellin、H. Lessmann、M. Oberguggenberger、R. Vieider 編、Springer-Verlag、ベルリン、2005年
I. Elishakoff、「工学における確率的手法の潜在的な限界」、Applied Mechanics Reviews、第53巻、第2号、19～25ページ、2000年。
Hlavácek, I.、Chleboun, J.、Babuška, I.: 不確実な入力データの問題と最悪のシナリオ手法。エルゼビア、アムステルダム (2004)
Köylüoglu, U.、Isaac Elishakoff、「不確実な剛性特性を持つせん断フレームに適用された確率的有限要素と区間有限要素の比較」、Computers & Structures、第67巻、第1-3号、1998年4月1日、 91-98ページ
D. Moens および D. Vandepitte、「区間感度理論とその不確実構造の周波数応答包絡線解析への応用」、Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering Vol. 196、No. 21-24、2007 年 4 月 1 日、pp. 2486–2496。
Möller, B.、Beer, M.、「ファジーランダムネス - 土木工学と計算力学における不確実性」、Springer、ベルリン、2004年。
E. Popova、R. Iankov、Z. Bonev: すべてのパラメータに不確実性がある機械構造の応答の境界設定。RLMuhannah、RLMullen (編): NSF 信頼性工学計算ワークショップ (REC) 議事録、米国ジョージア州スバンナ、2006 年 2 月 22 ～ 24 日、245 ～ 265 ページ
A. Pownuk、「ファジィ偏微分方程式の数値解法とその計算力学への応用」、ファジィ偏微分方程式と関係方程式：貯留層の特性評価とモデリング（M. Nikravesh、L. Zadeh、V. Korotkikh 編）、ファジィネスとソフトコンピューティングの研究、Physica-Verlag、2004年、 308～347ページ
A. Pownuk、「感度分析に基づく区間パラメータを持つ大規模工学問題の効率的な解法」、NSF信頼性工学計算ワークショップ議事録、2004年9月15～17日、米国ジョージア州サバンナ、pp. 305～ 316
MV Rama Rao、A. Pownuk、I. Skalna、「構造パラメータが不確実な単筋コンクリート梁の応力解析」、NSF信頼性工学計算ワークショップ、2008年2月20～22日、米国ジョージア州サバンナ、pp. 459～478
ベルナルディーニ、アルベルト、トノン、フルヴィオ、『土木工学における不確実性の境界設定』、スプリンガー、2010年
Ben-Haim Y.、Elishakoff I.、1990年、『応用力学における不確実性の凸モデル』、Elsevier Science Publishers、ニューヨーク
Valliappan S.、Pham TD、1993、「弾性土壌媒体上の基礎のファジー有限要素解析」、International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics、第17巻、 771～789ページ
Elishakoff I.、Li YW、Starnes JH、1994、「未知だが境界のある弾性係数が複合構造の座屈に及ぼす影響を予測する決定論的方法」、Computer methods in applied mechanics and engineering、Vol.111、pp. 155–167
Valliappan S. Pham TD、1995年、「ファジーパラメータを用いた弾塑性有限要素解析」、International Journal for Numerical Methods in Engineering、38巻、 531～548ページ。
Rao SS、Sawyer JP、1995、「不正確に定義されたシステムの解析のためのファジー有限要素法」、AIAA Journal、第33巻、第12号、pp. 2364–2370
Köylüoglu HU、Cakmak A.、Nielsen SRK、1995年、「構造力学における区間マッピング」。Spanos編『計算確率力学』125-133頁。Balkema、ロッテルダム
Muhanna, RL および RL Mullen (1995)「連続体力学におけるファジー性のための区間ベース手法の開発」第 3 回国際不確実性モデリングおよび解析シンポジウムおよび北米ファジー情報処理学会年次会議 (ISUMA–NAFIPS '95) 議事録、IEEE、705–710

外部リンク

信頼性工学コンピューティング、ジョージア工科大学、サバンナ、アメリカ合衆国
区間計算（2008年9月20日アーカイブ、 Wayback Machine）
信頼性コンピューティング（学術誌）
区間方程式（参照の集合）
区間有限要素ウェブアプリケーション
E. ポポワ、区間線形システムのパラメトリック解集合
不確実確率学会：理論と応用

[apcie-1] 1 2 「区間方程式」。 2011年10月5日にオリジナルからアーカイブされました。2008年10月12日に取得。

[2] E. Popova、「区間線形システムのパラメトリック解集合」Wayback Machineに2010年1月27日にアーカイブ済み

[Neumaier1990-3] A. Neumaier、『方程式系の区間法』、ケンブリッジ大学出版局、ニューヨーク、1990年

[MuhannaMullen2001-4] RL Muhanna、RL Mullen、「力学問題における不確実性 ― 区間ベースのアプローチ」、Journal of Engineering Mechanics、第127巻、第6号、2001年、557-556頁

[QiuElishakoff1998-5] Z. Qiu およびI. Elishakoff、「区間解析による大きな不確実だが非ランダムなパラメータを持つ構造物のアンチ最適化」、Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering、第 152 巻、第 3-4 号、1998 年 1 月 24 日、361-372 ページ

[Akpan2000-6] UO Akpan、TS Koko、IR Orisamolu、BK Gallant、「構造物の実践的なファジー有限要素解析」、Finite Elements in Analysis and Design、38、pp. 93–111、2000。

[Beer2008-7] M. Beer、「不整合なエンジニアリングデータの評価」、第3回信頼性エンジニアリングコンピューティングワークショップ（REC08）、ジョージア工科大学、2008年2月20～22日、米国ジョージア州サバンナ。

[KulpaPownukSkalna1998-8] Kulpa Z.、Pownuk A.、Skalna I.、「区間法による不確実性を伴う線形機械構造の解析」、Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences、第5巻、1998年、 443～477

[Popova2001-9] E. Popova、「パラメーター付き線形システムの解法について」。W. Kraemer、J. Wolff von Gudenberg (編)：科学計算、検証済み数値計算、区間法。Kluwer Acad. Publishers、2001年、pp. 127–138。

[Skalna2006-10] I. Skalna、「区間パラメータに線形に依存する連立一次方程式の外側区間解法」、Reliable Computing、第12巻、第2号、2006年4月、 107～120

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]