金利上限と下限

金融において、金利キャップとは、金利が合意された行使価格を超えた各期間の終わりに買い手が支払いを受け取るタイプの金利デリバティブです。キャップの例としては、 LIBORレートが 2.5% を超えた月ごとに支払いを受け取るという合意が挙げられます。

同様に、金利フロアーは、金利が合意された行使価格を下回る各期間の終了時に買い手が支払いを受け取るデリバティブ契約です。

キャップとフロアは、金利変動に対するヘッジとして使用できます。たとえば、ローンの LIBOR レートを支払っている借り手は、2.5% のキャップを購入することで、金利上昇から身を守ることができます。特定の期間に金利が 2.5% を超えた場合、デリバティブから受け取った支払いをその期間の利息支払いに充てることができます。そのため、借り手の観点からは、利息支払いは実質的に 2.5% で「上限」が設定されます。

金利キャップは、金利が合意された行使価格を超えた各期間の終了時に購入者が支払いを受け取るデリバティブです。キャップの例としては、LIBORレートが 2.5% を超えた月ごとに支払いを受け取るという合意が挙げられます。キャップは 2 年から 5 年の期間に締結されることが最も一般的ですが、これはかなり異なる場合があります。^[1]行使価格はキャップの購入者が支払うことができる最大金利を反映するため、多くの場合、5% や 7% などの整数です。^[1]これに対して、キャップの基礎となるインデックスは、多くの場合、LIBOR レート、または国債金利です。^{[1]キャップの範囲は名目プロファイルと呼ばれ、キャップの存続期間中に、たとえば、}償還ローンで借りた金額を反映するために変更されることがあります。^[1] キャップの購入価格は 1 回限りのコストであり、プレミアムと呼ばれます。^[1]

キャップの購入者は、行使価格を超える金利の上昇から利益を得続けるため、キャップは発行者にとって変動金利ローンをヘッジするための一般的な手段となっています。^[1]

金利キャップは、キャップ契約が存在する期間ごとに存在する一連の欧州コールオプション（キャプレット）として分析できます。キャップを行使するために、購入者は通常、売り手に通知する必要はありません。金利がストライク（レート）を超えるとキャップが自動的に行使されるためです。 ^[1]この自動行使機能は、他のほとんどのタイプのオプションとは異なることに注意してください。各キャプレットは、関連する期間の終了時に現金で決済されます。^[1]

数学的に言えば、 Kで設定されたレートLでのカプレットのペイオフは

${\displaystyle N\cdot \alpha \cdot \max(LK,0)}$

ここで、 N は交換される想定元本であり、L が適用される期間に対応する日数の割合です。たとえば、現在が 2007 年 1 月で、満期日が 2007 年 2 月 1 日の 6 か月USD LIBOR レートのキャプレットを2.5% で 100 万ドルの想定元本で所有しているとします。次に、2 月 1 日に USD LIBOR レートが 3% に設定された場合、次の支払いを受け取ります。 ${\displaystyle \alpha}$

${\displaystyle \$1M\cdot 0.5\cdot \max(0.03-0.025,0)=\$2500}$

通常、支払いは料金期間の終了時に行われ、この場合は 2007 年 8 月 1 日に行われます。

金利フロアとは、指定された参照レート(通常はLIBOR)に基づく一連の欧州プット オプションまたはフロアレットです。フロアレットのいずれかの満期日に参照レートがフロアの 合意された行使価格を下回った場合、フロアの購入者は資金を受け取ります。

金利カラーとは、同じ満期と名目元本額に対して、同じインデックスで金利キャップを同時に購入し、金利フロアを売却することです。

• キャップレートはフロアレートより高く設定されます。
• カラー購入者の目的は、金利上昇から身を守ることです（低金利による利益の一部を放棄することに同意します）。
• キャップの購入は金利上昇から保護し、フロアの売却はプレミアム収入を生み出します。
• カラーは、購入者の実効金利が変動するバンドを作成します。

リバース金利カラーとは、金利 フロアの同時購入と金利キャップの同時売却です。

• 目的は、金利の低下から銀行を守ることです。
• 購入者はインデックス レートを選択し、フロアとキャップの満期日と名目元本額を一致させます。
• 買い手は、許容可能なバンドを提供する同じプレミアムのフロアレートとキャップレートを見つけることができる場合、ゼロコストのリバースカラーを構築できます。

キャッププレミアムとフロアプレミアムの規模は、次のようにさまざまな要因によって影響を受けます。価格計算自体は、以下で説明するいくつかのアプローチのいずれかによって実行されます。

• ストライクレートと現行の3ヶ月LIBORの関係
  • プレミアムはイン・ザ・マネーオプションで最も高く、アット・ザ・マネーおよびアウト・オブ・マネーオプションでは低くなります。
• 保険料は満期とともに増加します。
  • オプション売り手は、より長い期間にわたって固定金利を約束することに対して、より多くの報酬を受け取る必要があります。
• 現在の経済状況、利回り曲線の形状、金利の変動性。
  • 上昇傾向にある利回り曲線— 上限金利は下限金利よりも高価になります。
  • 他の条件が同じであれば、利回り曲線の傾きが急であればあるほど、キャッププレミアムは大きくなります。
  • フロアプレミアムは逆の関係を示しています。

金利キャプレットの最も単純で一般的な評価は、ブラックモデルによるものです。このモデルでは、原資産金利がボラティリティとともに対数正規分布していると仮定します。このモデルでは、tに満期を迎えTに支払われるLIBORのキャプレットの現在価値は ${\displaystyle \sigma}$

${\displaystyle V=P(0,T)\left(FN(d_{1})-KN(d_{2})\right),}$

どこ

P (0, T )はTの今日の割引率である。

Fは金利の先物価格です。LIBOR金利の場合、これは次の式に等しくなります。${\displaystyle {1 \over \alpha }\left({\frac {P(0,t)}{P(0,T)}}-1\right)}$

Kはストライク

N は標準正規 CDF です。

${\displaystyle d_{1}={\frac {\ln(F/K)+0.5\sigma ^{2}t}{\sigma {\sqrt {t}}}}}$

そして

${\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {t}}}$

ボラティリティとオプションの現在価値の間には 1 対 1 のマッピングがあることに注目してください。方程式に現れる他のすべての項は議論の余地がないため、ボラティリティを引用するだけでキャプレットの価格を引用しても曖昧さはありません。これが市場で起きていることです。ボラティリティは「ブラック ボラティリティ」またはインプライド ボラティリティとして知られています。

量的緩和の頃に多くの国でマイナス金利が実現可能となり、ブラックモデルはますます不適切になっていった（マイナス金利の確率がゼロであることを示唆するため）。シフト対数正規分布、正規分布、マルコフ関数分布など、多くの代替手法が提案されているが、新しい標準はまだ現れていない。^[2]

tからTまでの LIBOR のキャップは、T満期債券のt満期プットの倍数に等しいことが示されています。したがって、債券プットを評価できる金利モデルがあれば、金利キャップを評価できます。同様に、フロアは特定の債券コールに相当します。ハル-ホワイト モデルなどのいくつかの一般的な短期金利モデルには、この程度の扱いやすさがあります。したがって、これらのモデルでキャップとフロアを評価できます。

基礎レート (定常満期スワップ レートなど) に基づくキャップは、上記の単純な手法では評価できません。CMS キャップとフロアの評価方法については、より高度な論文を参照してください。

• 重要な考慮事項は、キャップとフロア（いわゆるブラック）のボラティリティです。キャップは、対応するフォワード LIBOR レートに依存するボラティリティを持つキャプレットで構成されています。ただし、キャップは「フラット ボラティリティ」で表すこともできます。これは、各キャプレットを評価するための式に入力すると、キャップの価格が回復する単一の数値です。つまり、キャプレットの純額は依然として同じになります。例: (ブラック ボラティリティ) → (フラット ボラティリティ) : (15%、20%、....、12%) → (16.5%、16.5%、....、16.5%)
  • したがって、1 つのキャップは 1 つのボラティリティで価格設定できます。これは、問題の次元を大幅に削減するため、市場の専門家にとって非常に便利です。n 個のキャップレット ブラック ボラティリティを追跡する代わりに、フラット ボラティリティの 1 つだけを追跡すれば済みます。
• もう 1 つの重要な関係は、固定スワップレートがキャップとフロアの行使価格に等しい場合、プットコール パリティは次のようになるということです: キャップ-フロア = スワップ。
• キャップとフロアも、特定のストライクに対して同じインプライド ボラティリティを持ちます。
  • 20% のボリュームのキャップと 30% のボリュームのフロアを想像してください。キャップをロングし、フロアをショートすると、ボリュームのないスワップができます。ここで、ボリュームを交換します。キャップの価格は上がり、フロアの価格は下がります。しかし、スワップの純価格は変わりません。したがって、キャップのボリュームが x の場合、フロアのボリュームは x に強制され、そうでない場合は裁定取引が発生します。
• レートがマイナスになることはないと仮定すると、ボラティリティ キャップに関係なく、ストライク 0% のキャップはフローティング レッグ価格に等しくなります (ストライク 0 のコールが株式を保有することと同等であるのと同じです)。

• 金利スワップ

• Damiano Brigo、Fabio Mercurio (2001)。『金利モデル - 理論と実践、Smile、インフレーション、クレジット』（第 2 版、2006 年）。Springer Verlag。ISBN 978-3-540-22149-4。
• David F. Babbel (1996)。金利感応型金融商品の評価: SOAモノグラフM-FI96-1 (第1版)。John Wiley & Sons。ISBN 978-1883249151。
• フランク・ファボッツィ（1998年）。固定利付証券およびデリバティブの評価（第3版）。ジョン・ワイリー。ISBN 978-1-883249-25-0。

• 基本的な固定収入デリバティブヘッジ - Financial-edu.com の記事。
• パトリック・ハーガンによる凸性の難問
• マルチンゲールと尺度: ブラックのモデル ジャクリーン・ヘン・オーバーベック博士、バーゼル大学
• 債券オプション、キャップ、そして黒人モデルテキサス大学オースティン校のミリカ・クディナ博士
• オンライン カプレットおよびフロアレット計算機 Dr. Shing Hing Man、Thomson Reuters Risk Management