投影法（流体力学）

数値流体力学において、投影法（ Chorinの投影法とも呼ばれる）は、時間依存の非圧縮性流体の流れの問題を数値的に解く効果的な手段です。この方法は、非圧縮性ナビエ・ストークス方程式 を解く効率的な手段として、 1967年にAlexandre Chorinによって最初に導入されました^{[1] [2] 。投影法の主な利点は、}速度場と圧力場 の計算が分離されていることです。

投影法のアルゴリズムは、任意のベクトル場をソレノイド部分と非回転部分に分割するヘルムホルツ分解(ヘルムホルツ-ホッジ分解と呼ばれることもあります) に基づいています。通常、アルゴリズムは 2 つの段階から構成されます。最初の段階では、非圧縮性制約を満たさない中間速度が各時間ステップで計算されます。2 番目の段階では、圧力を使用して中間速度を発散のない速度場の空間に投影し、速度と圧力の次の更新を取得します。

射影型法の理論的背景は、ヘルムホルツ・ホッジ分解または単にホッジ分解とも呼ばれるレディジェンスカヤの分解定理である。これは、単連結領域上で定義されたベクトル場は、発散のない（ソレノイド）部分と非回転部分に一意に分解できることを述べている。 ^[3]${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{sol}}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{irrot}}}$

したがって、

${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{\text{sol}}+\mathbf {u} _{\text{irrot}}=\mathbf {u} _{\text{sol}} +\nabla \phi }$

なぜなら、あるスカラー関数に対して、 となるからである。方程式の発散をとると、 ${\displaystyle \nabla \times \nabla \phi =0}$${\displaystyle \,\phi }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =\nabla ^{2}\phi \qquad ({\text{since,}}\;\nabla \cdot \mathbf {u} _{\text{sol} }=0)}$

これはスカラー関数 のポアソン方程式です。ベクトル場が分かっ​​ている場合、上記の方程式はスカラー関数 について解くことができ、 の発散のない部分は次の関係式を使って抽出できます。 ${\displaystyle \,\phi }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \,\phi }$${\displaystyle \mathbf {u} }$

${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{sol}}=\mathbf {u} -\nabla \phi }$

これが非圧縮ナビエ・ストークス方程式を解くためのソレノイド投影法の本質です。

非圧縮ナビエ・ストークス方程式（運動量方程式の微分形式）は次のように表される。

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho } }\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} }$

コリンの投影法のオリジナルバージョンでは、まず圧力勾配項を無視して運動量方程式を明示的に使用して中間速度 を計算します。 ${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}}$

${\displaystyle \quad (1)\qquad {\frac {\mathbf {u} ^{*}-\mathbf {u} ^{n}}{\Delta t}}=-(\mathbf {u} ^{ n}\cdot \nabla )\mathbf {u} ^{n}+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} ^{n}}$

ここで、 は^時間ステップでの速度です。アルゴリズムの後半の投影ステップでは、中間速度を補正して時間ステップの最終解を取得します。 ${\displaystyle \mathbf {u} ^{n}}$${\displaystyle \,n}$${\displaystyle \mathbf {u} ^{n+1}}$

${\displaystyle \quad (2)\qquad \mathbf {u} ^{n+1}=\mathbf {u} ^{*}-{\frac {\Delta t}{\rho }}\,\nabla p ^{n+1}}$

この式を時間ステップの形で書き直すと、

${\displaystyle {\frac {\mathbf {u} ^{n+1}-\mathbf {u} ^{*}}{\Delta t}}=-{\frac {1}{\rho }}\, \nbla p^{n+1}}$

このアルゴリズムは実際には、粘性力 (最初の半ステップ) と圧力力 (2 番目の半ステップ) を別々に考慮する 演算子分割アプローチにすぎないことを明確にします。

2番目の半ステップの右辺を計算するには、時間レベルでの圧力 を知る必要があります。これは、発散を取り、発散（連続）条件である を要求することで得られ、これにより に対する次のポアソン方程式が導かれます。 ${\displaystyle \,p}$${\displaystyle \,(n+1)}$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} ^{n+1}=0}$${\displaystyle \,p^{n+1}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}p^{n+1}={\frac {\rho }{\Delta t}}\,\nabla \cdot \mathbf {u} ^{*}}$

次のように書かれた式に注目すると、

${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}=\mathbf {u} ^{n+1}+{\frac {\Delta t}{\rho }}\,\nabla p^{n+1}}$

は、領域境界上のに対する境界条件が である場合の標準的なホッジ分解です。実際には、この条件が、この方法が領域の境界近くで示す誤差の原因となります。これは、実際の圧力（つまり、ナビエ・ストークス方程式の正確な解における圧力）がこのような境界条件を満たさないためです。 ${\displaystyle \,p}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle \nabla p^{n+1}\cdot \mathbf {n} =0}$

明示的手法では、式(1)の に対する境界条件は自然である。 に対して が規定されている場合、発散のないベクトル場の空間は非回転ベクトル場の空間と直交し、式(2)から次の式が得られる。 ${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}}$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {n} =0}$${\displaystyle \partial \Omega }$

${\displaystyle {\frac {\partial p^{n+1}}{\partial n}}=0\qquad {\text{on}}\quad \partial \Omega }$

境界条件の明示的な処理は、スタッガード グリッドを使用し、境界に隣接する圧力ノードで境界条件が消えることを要求することで回避できます。 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} ^{n+1}}$

Chorin の投影法の特徴は、速度場が各時間ステップの終わりに離散連続性制約を満たすように強制されることです。

通常、投影法は 2 段階の分数ステップ方式として動作します。この方式では、数値時間ステップごとに複数の計算ステップが使用されます。多くの投影アルゴリズムでは、ステップは次のように分割されます。

1. まず、システムは時間的に中間の時間ステップの位置まで進み、適切な移流法を使用して、質量と運動量に関する上記の輸送方程式を解きます。これは予測ステップと呼ばれます。
2. この時点で、中間タイムステップの速度場が発散フリーとして強制されるように初期投影を実装できます。
3. 次に、アルゴリズムの補正部分が進行します。補正部分は、速度、密度などの時間中心の推定値を使用して、最終的な時間ステップの状態を形成します。
4. 次に、最終的な投影を適用して、速度場の発散制限を強制します。これで、システムは新しい時間に完全に更新されました。