オグデン超弾性モデル

オグデン材料モデルは、ゴム、ポリマー、生物組織などの複合材料の非線形応力-ひずみ挙動を記述するために使用される超弾性材料モデルです。このモデルは、 1972年にレイモンド・オグデンによって開発されました。 ^[1]オグデンモデルは、他の超弾性材料モデルと同様に、材料の挙動はひずみエネルギー密度関数によって記述でき、そこから応力-ひずみ関係を導き出すことができると仮定しています。

Ogden 材料モデルでは、ひずみエネルギー密度は主伸張によって次のよう に表されます。${\displaystyle \,\!\lambda _{j}}$${\displaystyle \,\!j=1,2,3}$

${\displaystyle W\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)=\sum _{p=1}^{N}{\frac {\mu _{p}}{\alpha _{p}}}\left(\lambda _{1}^{\alpha _{p}}+\lambda _{2}^{\alpha _{p}}+\lambda _{3}^{\alpha _{p}}-3\right)}$

ここで、、およびは材料定数である。非圧縮性の仮定のもとで、次のように書き直すことができる。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle \,\!\mu _{p}}$${\displaystyle \,\!\alpha _{p}}$

${\displaystyle W\left(\lambda _{1},\lambda _{2}\right)=\sum _{p=1}^{N}{\frac {\mu _{p}}{\alpha _{p}}}\left(\lambda _{1}^{\alpha _{p}}+\lambda _{2}^{\alpha _{p}}+\lambda _{1}^{-\alpha _{p}}\lambda _{2}^{-\alpha _{p}}-3\right)}$

一般的に、せん断弾性率は

${\displaystyle 2\mu =\sum _{p=1}^{N}\mu _{p}\alpha _{p}.}$

および を用いて材料パラメータをフィッティングすることで、ゴムの材料挙動を非常に正確に記述することができます。材料定数の特定の値に対して、Ogden モデルはNeo-Hookean 固体( 、) またはMooney-Rivlin 材料( 、、、制約条件) のいずれかに簡約されます。 ${\displaystyle N=3}$${\displaystyle N=1}$${\displaystyle \alpha =2}$${\displaystyle N=2}$${\displaystyle \alpha _{1}=2}$${\displaystyle \alpha _{2}=-2}$${\displaystyle \lambda_{1}\lambda_{2}\lambda_{3}=1}$

オグデン材料モデルを使用すると、コーシー応力の3つの主値は次のように計算できます。

${\displaystyle \sigma_{j}=-p+\lambda_{j}{\frac{\partialW}{\partial\lambda_{j}}}=-p+\sum_{p=1}^{N}\mu_{p}\lambda_{j}^{\alpha_{p}}}$。

ここで、一軸張力を受ける非圧縮性材料を考えます。伸張率は で与えられ、 は伸張した長さ、 は元の伸張していない長さです。圧力は非圧縮性と境界条件 から決定され、次の式が得られます。 ${\displaystyle \lambda ={\frac {l}{l_{0}}}}$${\displaystyle l}$${\displaystyle {l_{0}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \sigma _{2}=\sigma _{3}=0}$

${\displaystyle \sigma _{1}=\sum _{p=1}^{N}\mu _{p}\left(\lambda ^{\alpha _{p}}-\lambda ^{-{\frac {1}{2}}\alpha _{p}}\right)}$。

等二軸張力を受ける非圧縮性材料を考えます。圧力は非圧縮性から決定され、境界条件 により次の式が得られます。 ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}={\frac {l}{l_{0}}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \sigma _{3}=0}$

${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{2}=\sum _{p=1}^{N}\mu _{p}\left(\lambda ^{\alpha _{p}}-\lambda ^{-2\alpha _{p}}\right)}$。

ゴムや生物材料の場合、より洗練されたモデルが必要です。このような材料は、適度なひずみで非線形の応力-ひずみ挙動を示す場合もあれば、非常に大きなひずみまで弾性を示す場合もあります。これらの複雑な非線形の応力-ひずみ挙動には、特別に調整されたひずみエネルギー密度関数で対応する必要があります。

これらの超弾性モデルの中で最も単純なのは、新フック固体です。

${\displaystyle W(\mathbf {C} )={\frac {\mu }{2}}(I_{1}^{C}-3)}$

ここで、せん断弾性率は実験で決定できます。実験から、中程度のひずみが30～70%までのゴム材料の場合、Neo-Hookeanモデルが十分な精度で材料の挙動に適合することがわかっています。高ひずみのゴムをモデル化するには、1パラメータのNeo-Hookeanモデルを、ひずみエネルギーが2つの不変量の線形結合で あるMooney-Rivlin固体などのより一般的なモデルに置き換えます。${\displaystyle \mu}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle W(\mathbf {C} )={\frac {\mu _{1}}{2}}\left(I_{1}^{C}-3\right)-{\frac {\mu _{2}}{2}}\left(I_{2}^{C}-3\right)}$

Mooney-Rivlin 材料も元々はゴム用に開発されましたが、現在では (非圧縮性の) 生物組織のモデル化によく適用されています。さらに高いひずみでのゴムおよび生物材料のモデル化のために、より洗練されたOgden 材料モデルが開発されました。

• F. Cirak: 5R14 の講義ノート: 非線形固体力学、ケンブリッジ大学。
• RW オグデン:非線形弾性変形、ISBN  0-486-69648-0