Yeoh 超弾性モデル

Yeoh超弾性材料モデル^[1]は、ゴム などのほぼ非圧縮性の非線形弾性材料の変形に関する現象論的モデルです。このモデルは、ゴムの弾性特性は、コーシー・グリーン変形テンソルのひずみ不変量のべき級数であるひずみエネルギー密度関数を使用して記述できるというRonald Rivlin の観察に基づいています。^[2]非圧縮性ゴムの Yeoh モデルは のみの関数です。圧縮性ゴムの場合は、 への依存性が に追加されます。ひずみエネルギー密度関数の多項式形式が使用されますが、左コーシー・グリーン変形テンソルの 3 つの不変量すべてが使用されるわけではないため、Yeoh モデルは簡約多項式モデルとも呼ばれます。 ${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3}}$${\displaystyle I_{1}}$${\displaystyle I_{3}}$

Yeohが提案した元のモデルは、依存性のみを持つ立方体形状で、純粋に非圧縮性の材料に適用できます。このモデルのひずみエネルギー密度は次のように表されます。 ${\displaystyle I_{1}}$

${\displaystyle W=\sum _{i=1}^{3}C_{i}~(I_{1}-3)^{i}}$

ここで、 は材料定数です。 この量は初期せん断弾性係数として解釈できます。 ${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle 2C_{1}}$

現在では、ヨーモデルのもう少し一般化されたバージョンが使われている。^[3] このモデルには項が含まれており、次のように記述される。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle W=\sum _{i=1}^{n}C_{i}~(I_{1}-3)^{i}~.}$

Yeoh モデルが非圧縮性材料のneo-Hookean モデルに縮小される場合。 ${\displaystyle n=1}$

線形弾性との整合性のために、Yeohモデルは次の条件を満たす必要がある。

${\displaystyle 2{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}(3)=\mu ~~(i\neq j)}$

ここで、 は材料のせん断弾性係数です。 では、${\displaystyle \mu}$${\displaystyle I_{1}=3(\lambda _{i}=\lambda _{j}=1)}$

${\displaystyle {\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}=C_{1}}$

したがって、Yeohモデルの整合性条件は

${\displaystyle 2C_{1}=\mu \,}$

非圧縮性ヨーモデルのコーシー応力は次のように表される。

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {B}}~;~~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}=\sum _{i=1}^{n}i~C_{i}~(I_{1}-3)^{i-1}~.}$

-方向の一軸伸張の場合、主な伸びは です。非圧縮性から です。したがって です。したがって、 ${\displaystyle \mathbf {n} _{1}}$${\displaystyle \lambda_{1}=\lambda ,~\lambda_{2}=\lambda_{3}}$${\displaystyle \lambda_{1}~\lambda_{2}~\lambda_{3}=1}$${\displaystyle \lambda _{2}^{2}=\lambda _{3}^{2}=1/\lambda }$

${\displaystyle I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=\lambda ^{2}+{\cfrac {2}{\lambda }}~.}$

左コーシー・グリーン変形テンソルは次のように表される。

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+{\cfrac {1}{\lambda }} ~(\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3})~.}$

主伸張の方向が座標基底ベクトルと一致する場合、

${\displaystyle \sigma _{11}=-p+2~\lambda ^{2}~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~;~~\sigma _{22}=-p+{\cfrac {2}{\lambda }}~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}=\sigma _{33}~.}$

以来、 ${\displaystyle \sigma _{22}=\sigma _{33}=0}$

${\displaystyle p={\cfrac {2}{\lambda }}~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~.}$

したがって、

${\displaystyle \sigma _{11}=2~\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~.}$

工学的ひずみは工学的応力は ${\displaystyle \lambda -1\,}$

${\displaystyle T_{11}=\sigma _{11}/\lambda =2~\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~.}$

および方向の等二軸伸張の場合、主な伸張は です。非圧縮性から です。したがって です。したがって、 ${\displaystyle \mathbf {n} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {n} _{2}}$${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda \,}$${\displaystyle \lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1}$${\displaystyle \lambda _{3}=1/\lambda ^{2}\,}$

${\displaystyle I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=2~\lambda ^{2}+{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}~.}$

左コーシー・グリーン変形テンソルは次のように表される。

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}~.}$

主伸張の方向が座標基底ベクトルと一致する場合、

${\displaystyle \sigma _{11}=-p+2~\lambda ^{2}~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}=\sigma _{22}~;~~\sigma _{33}=-p+{\cfrac {2}{\lambda ^{4}}}~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~.}$

以来、 ${\displaystyle \sigma _{33}=0}$

${\displaystyle p={\cfrac {2}{\lambda ^{4}}}~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~.}$

したがって、

${\displaystyle \sigma _{11}=2~\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}\right)~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}=\sigma _{22}~.}$

工学的ひずみは工学的応力は ${\displaystyle \lambda -1\,}$

${\displaystyle T_{11}={\cfrac {\sigma _{11}}{\lambda }}=2~\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{5}}}\right)~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}=T_{22}~.}$

平面伸張試験は、一方向への変形が制限された薄い試験片に対して行われます。方向が制限された方向への平面伸張の場合、主な伸びは です。非圧縮性から です。したがって です。したがって、 ${\displaystyle \mathbf {n} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {n} _{3}}$${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda ,~\lambda _{3}=1}$${\displaystyle \lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1}$${\displaystyle \lambda _{2}=1/\lambda \,}$

${\displaystyle I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=\lambda ^{2}+{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}+1~.}$

左コーシー・グリーン変形テンソルは次のように表される。

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}~.}$

主伸張の方向が座標基底ベクトルと一致する場合、

${\displaystyle \sigma _{11}=-p+2~\lambda ^{2}~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~;~~\sigma _{22}=-p+{\cfrac {2}{\lambda ^{2}}}~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~;~~\sigma _{33}=-p+2~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~.}$

以来、 ${\displaystyle \sigma _{22}=0}$

${\displaystyle p={\cfrac {2}{\lambda ^{2}}}~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~.}$

したがって、

${\displaystyle \sigma _{11}=2~\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~;~~\sigma _{22}=0~;~~\sigma _{33}=2~\left(1-{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~.}$

工学的ひずみは工学的応力は ${\displaystyle \lambda -1\,}$

${\displaystyle T_{11}={\cfrac {\sigma _{11}}{\lambda }}=2~\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{3}}}\right)~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~.}$

依存性を考慮したYeohモデルのバージョンは圧縮性ゴムに使用されます。このモデルのひずみエネルギー密度関数は次のように表されます。 ${\displaystyle I_{3}=J^{2}}$

${\displaystyle W=\sum _{i=1}^{n}C_{i0}~({\bar {I}}_{1}-3)^{i}+\sum _{k=1}^{n}C_{k1}~(J-1)^{2k}}$

ここで、、およびは材料定数です。量は初期せん断弾性係数の半分として解釈され、量は初期体積弾性係数の半分として解釈されます。 ${\displaystyle {\bar {I}}_{1}=J^{-2/3}~I_{1}}$${\displaystyle C_{i0},C_{k1}}$${\displaystyle C_{10}}$${\displaystyle C_{11}}$

圧縮性 Yeoh モデルが非圧縮性材料のneo-Hookean モデルに縮小される場合。 ${\displaystyle n=1}$

このモデルはウン・ホック・ヨーにちなんで名付けられました。ヨーはロンドン大学でグラハム・レイクの指導の下、博士課程を修了しました。^[4]ヨーはフロイデンベルグ-NOK、MRPRA（イギリス）、マレーシアゴム研究所（マレーシア）、アクロン大学、ジェンコープ・リサーチ、ロード・コーポレーション で研究職を歴任しました。^[5]ヨーはACSラバー部門から2004年のメルビン・ムーニー優秀技術賞を受賞しました。^[6]

• 超弾性材料
• ひずみエネルギー密度関数
• ムーニー・リブリン固体
• 有限ひずみ理論
• ストレス対策