第三媒体接触法

第三媒体接触 （TMC）は、接触力学の暗黙的な定式化です。接触する物体は、圧縮によって剛性が増す非常に柔軟な媒体（第三媒体）に埋め込まれています。第三媒体の剛性が増すと、物体間の第三媒体が圧縮されたときに、接触する物体間で牽引力が伝達されます。この方法自体は不正確ですが、他のほとんどの接触方法とは対照的に、第三媒体アプローチは連続的で微分可能であるため、トポロジー最適化などのアプリケーションに適用できます。^{[1] [2] [3] [4] [5] [6]}

 この方法は、ピーター・リガース[de]、イェルク・シュレーダー、アレクサンダー・シュワルツによって最初に提案され、第 3 の媒体をモデル化するためにサン・ヴナン・キルヒホッフ材料が使用されました。 ^[7]このアプローチでは、表面法線の明示的な処理が必要です。 Bog らは、極限圧縮下で剛性になる固有の特性を持つヘンキー材料を適用することで、この方法を簡素化しました。^[8]この特性により、表面法線の明示的な処理が不要になり、第 3 の媒体接触法が完全に暗黙的な方法に変わりました。これは、より広く使用されているモルタル法やペナルティ法とは対照的です。 Bluhm らによる第 3 の媒体を安定化するための新しい正規化の追加により、この方法は中程度の滑りを含むアプリケーションにさらに拡張され、実際に適用可能になりました。^[1]

圧縮によって硬くなる性質を持つ材料は、正規化項によって増強される。ひずみエネルギー密度の観点から、これは次のように表現できる。

${\displaystyle \Psi (u)=W(u)+\mathbb {H} (u)\,{\boldsymbol {\scriptstyle {\vdots }}}\,\mathbb {H} (u)}$、

ここで、 は第 3 の媒体における拡張されたひずみエネルギー密度を表し、は空間ヘッセ行列自体の内積を表す正規化項、 は第 3 の媒体 (たとえば、新フック固体または別の超弾性材料) の基礎となるひずみエネルギー密度です。 この用語は一般に HuHu 正規化と呼ばれます。 ${\textstyle \Psi (u)}$${\textstyle \mathbb {H} (u)\,{\boldsymbol {\scriptstyle {\vdots }}}\,\mathbb {H} (u)}$${\textstyle W(u)}$${\textstyle \mathbb {H} (u)\,{\boldsymbol {\scriptstyle {\vdots }}}\,\mathbb {H} (u)}$