手足の黒ずみ

周縁減光は恒星（太陽を含む）や惑星に見られる光学効果であり、円盤の中心部が周縁部よりも明るく見える。 [ ^{1]この現象の理解により、初期の太陽天文学者はこのような勾配を持つモデルを構築する機会を得た。これにより、}放射伝達理論の発展が促進された。

光学的厚さは、物体または物体の一部の不透明度の尺度であり、恒星内部の有効温度勾配と組み合わさって、周縁暗化を引き起こします。見える光は、観察者に対する光学的厚さによって変調された視線に沿ったすべての放射の積分とほぼ等しくなります (つまり、1 光学的厚さでの放射の 1/e 倍、2 光学的厚さでの放射の 1/e ²倍など)。恒星の中心付近では、光学的厚さは実質的に無限大であるため、明るさはほぼ一定です。ただし、半径が大きくなるにつれてガス密度が低下し、恒星を通る視線距離が短くなるため、有効光学的厚さは減少し、徐々に暗くなり、恒星の見かけの端でゼロになります。

光球の有効温度も、星の中心からの距離が増すにつれて低下します。ガスから放出される放射線はほぼ黒体放射であり、その強度は温度の 4 乗に比例します。したがって、光学的深さが実質的に無限である視線方向でも、放出されるエネルギーは光球のより低温の部分から来るため、観察者に届く総エネルギーは少なくなります。

恒星の大気の温度は、高度が上昇するにつれて必ずしも低下するわけではありません。特定のスペクトル線では、光学的厚さは温度が上昇する領域で最大になります。このシナリオでは、代わりに「周縁部の増光」という現象が見られます。太陽では、温度最小領域が存在するため、遠赤外線または電波の波長で周縁部の増光が優勢になり始めます。下層大気の上、温度最小領域よりはるかに高いところでは、太陽は 100 万ケルビンの 太陽コロナに囲まれています。ほとんどの波長では、この領域は光学的に薄く、つまり光学的厚さが小さいため、球対称であれば周縁部が増光するはずです。

この図では、観測者が点 P にいる限り、方向 θ で見られる強度は入射角ψのみの関数になります。これは、 cos  ψの多項式として最も簡単に近似できます。 ここで、 I ( ψ )は、星の半径に対して角度ψを形成する視線に沿って P で見られる強度であり、 I (0)は中心強度です。 ψ = 0に対して比率が 1 になるためには、次の式が必要です。 $${\displaystyle {\frac {I(\psi )}{I(0)}}=\sum _{k=0}^{N}a_{k}\cos ^{k}\psi ,}$$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{N}a_{k}=1.}$$

例えば、ランバート放射体（周辺減光なし）では、 a ₁ = 1 を除いてすべてk ₌ 0となる。別の例として、550ナノメートル（5.5 × 10 ^{−7 m）の}太陽の場合、周辺減光はN = 2 と よく表現される^[2]。$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=1-a_{1}-a_{2}=0.3,\\a_{1}&=0.93,\\a_{2}&=-0.23\end{aligned}}}$$

周辺減光の式は、次のようにより便利に記述されることがあります 。これは、合計が 1 になる N + 1個の係数ではなく、N 個の独立した係数を持ちます。$${\displaystyle {\frac {I(\psi )}{I(0)}}=1+\sum _{k=1}^{N}A_{k}(1-\cos \psi )^{k},}$$

a _k定数はA _k定数と関連している。N = 2の場合、 $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=-(a_{1}+2a_{2}),\\A_{2}&=a_{2}.\end{aligned}}}$$

550nmの 太陽の場合、$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=-0.47,\\A_{2}&=-0.23.\end{aligned}}}$$

このモデルでは、太陽の円盤の端の強度は円盤の中心の強度のわずか 30% になります。

これらの式は、 Ωを観測者から星の縁までの角度 とすると 、 θの関数に変換することができます。θが 小さい場合、$${\displaystyle \cos \psi ={\frac {\sqrt {\cos ^{2}\theta -\cos ^{2}\Omega }}{\sin \Omega }}={\sqrt {1-\left({\frac {\sin \theta }{\sin \Omega }}\right)^{2}}},}$$$${\displaystyle \cos \psi \approx {\sqrt {1-\left({\frac {\theta }{\sin \Omega }}\right)^{2}}}.}$$

cos ψ の導関数は端で無限大であることがわかります。

上記の近似値を使用して、平均強度と中心強度の比を表す解析式を導き出すことができます。平均強度I _mは、星の円盤上の強度の積分を円盤の立体角で割ったものです。 $${\displaystyle I_{m}={\frac {\int I(\psi )\,d\omega }{\int d\omega }},}$$

ここで、dω = sin  θ dθ dφ は立体角要素であり、積分は円板上で行われます: 0 ≤ φ ≤ 2 πおよび0 ≤ θ ≤ Ωこれを次のように書き直すことができます。 $${\displaystyle I_{m}={\frac {\int _{\cos \Omega }^{1}I(\psi )\,d\cos \theta }{\int _{\cos \Omega }^{1}d\cos \theta }}={\frac {\int _{\cos \Omega }^{1}I(\psi )\,d\cos \theta }{1-\cos \Omega }}.}$$

この方程式は解析的に解くことができますが、かなり面倒です。しかし、星から無限遠の観測者の場合、は に置き換えることができるので、 となり 、 ${\displaystyle d\cos \theta }$${\displaystyle \sin ^{2}\Omega \cos \psi \,d\cos \psi }$$${\displaystyle I_{m}={\frac {\int _{0}^{1}I(\psi )\cos \psi \,d\cos \psi }{\int _{0}^{1}\cos \psi \,d\cos \psi }}=2\int _{0}^{1}I(\psi )\cos \psi \,d\cos \psi ,}$$$${\displaystyle {\frac {I_{m}}{I(0)}}=2\sum _{k=0}^{N}{\frac {a_{k}}{k+2}}.}$$

550 nm の太陽の場合、平均強度は中心の強度の 80.5% になります。