ゼロ速度面

ゼロ速度面は、重力のN体問題に関連する概念です。これは、与えられたエネルギーの物体が表面上で速度がゼロになるため、通過できない表面を表します。これは、ジョージ・ウィリアム・ヒルによって初めて導入されました。^{[2]ゼロ速度面は、}軌道を回る物体間の弱い重力相互作用を扱うときに特に重要です。

円形制限三体問題では、2 つの重い質量が一定の半径距離と角速度で互いの周りを回り、無視できる質量の粒子が重力の影響を受けます。質量が静止している回転座標系に移行すると、遠心力が発生します。この座標系ではエネルギーと運動量は別々に保存されませんが、ヤコビ積分は一定のままです。

${\displaystyle C=\omega ^{2}(x^{2}+y^{2})+2\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\right)-\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)}$

ここで、は回転速度、回転座標系における粒子の位置、物体までの距離、および物体の質量と重力定数の積です。^[3]${\displaystyle \omega}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle r_{1},r_{2}}$${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}}$

の値が与えられた場合、表面上の点 ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C=\omega ^{2}(x^{2}+y^{2})+2\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\right)}$

となる。つまり、粒子はこの表面を横切ることができない（速度の二乗が負になるため）。これが問題のゼロ速度表面である。^[4]${\displaystyle {\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}=0}$

これは回転フレームでは速度がゼロであることを意味することに注意してください。非回転フレームでは、粒子は他の物体とともに回転しているように見えます。また、表面はどの領域に入ることができないかを予測するだけで、表面内の軌道の形状は予測しません。^[3]

この概念は、楕円軌道上の質量の問題、^[5]一般的な平面三体問題、^[6]太陽風の抵抗による四体問題、^[7]リングの問題など、より複雑な問題に一般化することができます。^[8]

ゼロ速度面もラグランジュ点を見つける上で重要なパラメータです。これらの点は、回転座標系における見かけのポテンシャルが極値となる場所に対応しています。これは、ゼロ速度面が変化すると挟まれて穴が開く場所に対応しています。^{[9]軌道は面によって制限されるため、最小エネルギーで領域から脱出（または進入）しようとする軌道は通常、}低エネルギー移行軌道計画で使用されるラグランジュ点の近くを通過します。 ${\displaystyle C}$

重力相互作用する銀河群を考えると、ゼロ速度面はどの天体が重力で束縛されているか（つまりハッブル膨張によって克服されないか）、そして局所銀河群などの銀河団の一部であるかを決定するために使用されます。^[10]

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