ヒルベルトの第三問題

1900年に発表されたヒルベルトの数学の問題リストの3番目は、最初に解決された問題でした。この問題は、次の質問に関連しています。等しい体積の任意の2つの多面体が与えられた場合、最初の多面体を有限個の多面体に切断し、それらを再構成して2番目の多面体を生成することが常に可能ですか？カール・フリードリヒ・ガウス^[1]の以前の著作に基づいて、ダヴィド・ヒルベルトは、これが常に可能であるとは限らないと推測しました。これは、その年のうちに彼の学生マックス・デーンによって確認されました。デーンはその反例を挙げて、答えが一般に「いいえ」であることを証明しました。^[2]

2 次元の多角形に関する同様の質問に対する答えは「はい」であり、これは古くから知られていました。これがWallace-Bolyai-Gerwien の定理です。

ヒルベルトとデーンは知らなかったが、ヒルベルトの3番目の問題は、1882年にクラクフ芸術科学アカデミーが開催した数学コンテストでヴワディスワフ・クレトコフスキによっても独立に提案され、ルドヴィク・アントニ・ビルケンマイエルによってデーンとは異なる方法で解かれた。ビルケンマイエルは結果を公表せず、彼の解法を記した原稿は数年後に再発見された。^[3]

ピラミッドの体積の公式は、

${\displaystyle {\frac {{\text{底面積}}\times {\text{高さ}}}{3}},}$

ユークリッドもこの原理を知っていたが、その証明には何らかの極限過程や微積分、特に枯渇法や、より現代的な形ではカヴァリエリの原理が関わってくる。平面幾何学における同様の公式は、より初歩的な手段で証明できる。ガウスは、2つの対称四面体が等分可能であることを証明したクリスティアン・ルートヴィヒ・ゲーリングに宛てた2通の手紙の中でこの欠陥を悔いている。^[3]

ガウスの文字はヒルベルトの動機でした。基本的な「切り貼り」法を使用して体積の等式を証明することは可能でしょうか? なぜなら、そうでない場合、ユークリッドの結果の基本的な証明も不可能だからです。

デーンの証明は、幾何学における不可能性の証明に抽象代数が使用される例です。他の例としては、立方体を2倍にすることや、角度を3等分することが挙げられます。

2つの多面体は最初の多面体を有限個の多面体に切り分け、それらを再び組み立てて 2 番目の多面体を生成できる場合、はさみ合同です。はさみ合同な多面体 2 つは同じ体積を持ちます。ヒルベルトは逆について尋ねます。

デーン氏は、あらゆる多面体 に対して、現在ではデーン不変量として知られる値を定義します。この値は、が多面体 に切断される場合、 となるという性質を持ちます 。特に、2 つの多面体がはさみ合同である場合、それらは同じデーン不変量を持ちます。次に、あらゆる立方体のデーン不変量はゼロであるのに対し、あらゆる正四面体のデーン不変量はゼロではないことを示します。したがって、これら 2 つの図形ははさみ合同ではありません。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {D} (P)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P_{1},P_{2},\dots P_{n}}$$${\displaystyle \operatorname {D} (P)=\operatorname {D} (P_{1})+\operatorname {D} (P_{2})+\cdots +\operatorname {D} (P_{n}).}$$

多面体の不変量は、辺の長さと面の間の角度に基づいて定義されます。多面体を 2 つに切断すると、いくつかの辺が 2 つに切断されるため、デーン不変量への対応する寄与は、辺の長さに加算されるはずです。同様に、多面体を辺に沿って切断すると、対応する角度が 2 つに切断されます。多面体を切断すると、通常、新しい辺と角度も導入されますが、それらの寄与は打ち消される必要があります。切断が面を通過するときに導入される角度は に加算され、多面体の内部にある辺の周囲に導入される角度は に加算されます。したがって、デーン不変量は、 の角度の整数倍が正味の寄与を 0 にする ように定義されます。${\displaystyle \pi}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \pi}$

上記の要件はすべて、実数（辺の長さを表す）と商空間（角度を表し、 のすべての有理倍数がゼロに置き換えられた）のテンソル積の要素として定義することで満たすことができます。いくつかの目的のために、この定義は上の加群（または同等のアーベル群）のテンソル積を使用して行うことができますが、このトピックの他の側面では、 2 つの因子とを上のベクトル空間と見なし、 上のベクトル空間のテンソル積を取ることで得られる不変量上のベクトル空間構造を使用します。定義におけるこの構造の選択は、どちらの方法で定義された 2 つのデーン不変量が等しいか等しくないかに影響しません。 ${\displaystyle \operatorname {D} (P)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /(\mathbb {Q} \pi )}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} /(\mathbb {Q} \pi )}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

多面体 の任意の辺について、をその長さとし、を で交わるの 2 つの面の二面角とし、 をラジアンで測定し、 の有理倍数を法として考えるものとします。デーン不変量は と定義され 、その合計は多面体 の すべての辺にわたって求められます。これは評価です。 ${\displaystyle e}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \ell (e)}$${\displaystyle \theta (e)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle e}$${\displaystyle \pi}$$${\displaystyle \operatorname {D} (P)=\sum _{e}\ell (e)\otimes \theta (e)}$$${\displaystyle e}$${\displaystyle P}$

上記のデーンの定理を踏まえると、「どの多面体がはさみ合同なのか」と疑問に思う人もいるかもしれない。シドラー（1965）は、2つの多面体がはさみ合同であるためには、それらの体積とデーン不変量が同じである必要があることを示した。 ^[4]後に ボーゲ・イェッセンがシドラーの結果を4次元に拡張した。^[5] 1990年にデュポンとサーは、シドラーの結果を特定の古典群のホモロジー に関する定理として再解釈することで、より簡単な証明を行った。^[6]

デブルンナーは1980年に、 3次元空間全体を周期的に敷き詰めることができる多面体のデーン不変量はゼロであることを示した。^[7]

ジェッセンはまた、ジェッセンの結果の類似が球面幾何学と双曲幾何学にも当てはまるかどうかという疑問を提起した。これらの幾何学では、デーンの方法は引き続き機能し、2つの多面体がはさみ合同である場合、それらのデーン不変量は等しいことを示している。しかし、これらの幾何学において、同じ体積と同じデーン不変量を持つ多面体のペアが常にはさみ合同であるかどうかは未解決の問題である。^[8]

ヒルベルトの元々の疑問はもっと複雑でした。底面積と高さが等しい（したがって体積が等しい）2 つの四面体 T ₁とT _{2 が}与えられたとき、これらの四面体を何らかの方法でT _{1に接着し、さらに}T ₂にも接着すると、結果として得られる多面体がはさみ合同になるような有限個の四面体を見つけることは常に可能でしょうか。

デーン不変量を使用すると、このより強い質問に対しても否定的な答えを得ることができます。

• ヒル四面体
• オノラート・ニコレッティ

• Benko, D. (2007). 「ヒルベルトの第3問題への新しいアプローチ」.アメリカ数学月刊誌. 114 (8): 665–676. doi :10.1080/00029890.2007.11920458. S2CID  7213930.
• Schwartz, Rich (2010) 「デーン・シドラー定理の説明」(PDF)。
• 滋賀県小路市。砂田敏和（2005）。数学的贈り物、III: トポロジー、関数、幾何学、代数の間の相互作用。アメリカ数学協会。

• Everything2 におけるデーンの定理の証明
• Weisstein、Eric W.「Dehn 不変量」。MathWorld。
• Everything2 の Dehn Invariant
• Hazewinkel, M. (2001) [1994]、「デーン不変量」、数学百科事典、EMS Press