ヒルベルトの定理（微分幾何学）

微分幾何学において、ヒルベルトの定理（1901年）は、完全な正則曲面は存在しないと述べている。${\displaystyle S}$一定の負のガウス曲率${\displaystyle K}$没頭する$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$この定理は、どの曲面が$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$完全多様体を一定曲率で等長的に浸漬することによって得られる。

• ヒルベルトの定理は、David Hilbertによって「Über Flächen von konstanter Krümmung」( Trans. Amer. Math. Soc. 2 (1901), 87–99) で初めて扱われました。
• すぐ後に別の証明が E. Holmgren によって「Sur les surfaces à courbure constante negative」(1902) で与えられました。
• 1975年にニコライ・エフィモフによって、極めて優れた一般化が達成された。^{[ 1 ]}

ヒルベルトの定理の証明は複雑で、いくつかの補題を必要とする。その考え方は、等長埋め込みが存在しないことを示すことである。

${\displaystyle \varphi =\psi \circ \exp _{p}:S'\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}}$

飛行機の${\displaystyle S'}$実際の空間へ$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$この証明は基本的にヒルベルトの論文と同じだが、ド・カルモとスピヴァクの著書に基づいている。

観察: 扱いやすくするために、一般性を損なうことなく、曲率はマイナス 1 に等しいと考えることができます。${\displaystyle K=-1}$定曲率と類似性を扱うため、一般性は失われません。$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$乗算する${\displaystyle K}$定数による。指数マップ${\displaystyle \exp _{p}:T_{p}(S)\longrightarrow S}$は局所微分同相写像（実際にはカルタン＝アダマールの定理により被覆写像）であるため、の接空間に内積を誘導する。${\displaystyle S}$で${\displaystyle p}$:${\displaystyle T_{p}(S)}$。 さらに、${\displaystyle S'}$幾何学的表面を表す${\displaystyle T_{p}(S)}$この内積で。$\displaystyle \psi :S\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}}$は等角投影であり、

${\displaystyle \varphi =\psi \circ \exp _{o}:S'\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}}$。

最初の補題は他の補題とは独立しており、最後に他の補題の結果を否定するための反証として使用されます。

補題1：面積${\displaystyle S'}$無限です。 証明の概略: 証明のアイデアは、グローバル等長写像 を作成することです。${\displaystyle H}$そして${\displaystyle S'}$すると、${\displaystyle H}$無限の面積を持ち、${\displaystyle S'}$双曲平面 もそれを持つだろう。${\displaystyle H}$無限の面積を持つ は、第一基本形式の対応する係数を用いて面積分を計算することによって得られます。これらを得るために、双曲平面は、点の周りの次の内積を持つ平面として定義できます。$\displaystyle q\in \mathbb {R} ^{2}}$座標付き${\displaystyle (u,v)}$

${\displaystyle E=\left\langle {\frac {\partial }{\partial u}},{\frac {\partial }{\partial u}}\right\rangle =1\qquad F=\left\langle {\frac {\partial }{\partial u}},{\frac {\partial }{\partial v}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial }{\partial v}},{\frac {\partial }{\partial u}}\right\rangle =0\qquad G=\left\langle {\frac {\partial }{\partial v}},{\frac {\partial }{\partial v}}\right\rangle =e^{u}}$

双曲平面は無限であるため、積分範囲は無限大となり、面積は次のように計算できます。

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{u}dudv=\infty }$

次に、双曲平面からのグローバル情報を表面に転送できることを示すマップを作成する必要があります。${\displaystyle S'}$つまり、グローバルな等長変換である。${\displaystyle \varphi :H\rightarrow S'}$これは双曲平面を定義域とし、 2次元多様体を像とするマップとなる。${\displaystyle S'}$表面から内部生成物を運ぶ${\displaystyle S}$負の曲率を持つ。${\displaystyle \varphi }$指数写像、その逆写像、およびそれらの接空間間の線形等長写像によって定義される。

${\displaystyle \psi :T_{p}(H)\rightarrow T_{p'}(S')}$。

それは

${\displaystyle \varphi =\exp _{p'}\circ \psi \circ \exp _{p}^{-1}}$、

どこ${\displaystyle p\in H,p'\in S'}$つまり、出発点${\displaystyle p\in H}$接平面へ${\displaystyle H}$指数写像の逆変換を通して。次に、等長変換を通して一方の接平面からもう一方の接平面へ移動する。${\displaystyle \psi }$そして、地表へ${\displaystyle S'}$別の指数マップと共に。

次のステップでは極座標を使用します。${\displaystyle (\rho ,\theta )}$そして${\displaystyle (\rho ',\theta ')}$、 その周り${\displaystyle p}$そして${\displaystyle p'}$それぞれ。要件は、軸が互いにマッピングされていることです。${\displaystyle \theta =0}$行く${\displaystyle \theta '=0}$。 それから${\displaystyle \varphi }$最初の基本形式を保持します。 測地線極座標系では、ガウス曲率${\displaystyle K}$次のように表現できます

${\displaystyle K=-{\frac {({\sqrt {G}})_{\rho \rho }}{\sqrt {G}}}}$。

さらに、Kは定数であり、次の微分方程式を満たす。

$\displaystyle ({\sqrt {G}})_{\rho \rho }+K\cdot {\sqrt {G}}=0}$

以来${\displaystyle H}$そして${\displaystyle S'}$同じ定数ガウス曲率を持つならば、それらは局所的に等長である（ミンディングの定理）。つまり、${\displaystyle \varphi }$は、${\displaystyle H}$そして${\displaystyle S'}$さらに、アダマールの定理から、${\displaystyle \varphi }$はカバーマップでもあります 。${\displaystyle S'}$単純に接続されています。${\displaystyle \varphi }$は同相写像であり、したがって（大域的）等長写像である。したがって、${\displaystyle H}$そして${\displaystyle S'}$グローバルに等長であり、${\displaystyle H}$無限の面積を持つ場合、${\displaystyle S'=T_{p}(S)}$面積も無限である。${\displaystyle \square }$

補題2：各${\displaystyle p\in S'}$パラメータ化が存在する${\displaystyle x:U\subset \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow S',\qquad p\in x(U)}$座標曲線が${\displaystyle x}$漸近曲線は${\displaystyle x(U)=V'}$そしてチェビシェフ網を形成する。

補題3：${\displaystyle V'\subset S'}$座標近隣である${\displaystyle S'}$座標曲線が漸近曲線となるように${\displaystyle V'}$すると、座標曲線によって形成される任意の四角形の面積 A は、$2π$。

次の目標は、${\displaystyle x}$は、${\displaystyle S'}$。

補題4：固定された${\displaystyle t}$曲線${\displaystyle x(s,t),-\infty <s<+\infty }$は漸近曲線であり、${\displaystyle s}$弧の長さとして。

以下の2つの補題と補題8は、パラメータ化の存在を証明する。${\displaystyle x:\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow S'}$

補題5：${\displaystyle x}$これは局所微分同相写像である。

補題6：${\displaystyle x}$全射である。

補題7：${\displaystyle S'}$漸近曲線に接する、微分可能な線形独立なベクトル場が 2 つ存在する。${\displaystyle S'}$。

補題8：${\displaystyle x}$単射である。

ヒルベルトの定理の証明：まず、完全な曲面 からの等長埋め込みが${\displaystyle S}$負の曲率を持つものが存在する：$\displaystyle \psi :S\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}}$

観察結果にもあるように、接平面${\displaystyle T_{p}(S)}$指数写像によって誘導される計量が備わっている${\displaystyle \exp _{p}:T_{p}(S)\longrightarrow S}$。 さらに、${\displaystyle \varphi =\psi \circ \exp _{p}:S'\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}}$これは等長埋め込みであり、補題5、6、8はパラメータ化の存在を示している。${\displaystyle x:\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow S'}$全体の${\displaystyle S'}$座標曲線が${\displaystyle x}$漸近曲線は${\displaystyle S'}$この結果は補題4によって得られた。したがって、${\displaystyle S'}$「座標」四角形の和集合で覆うことができる${\displaystyle Q_{n}}$と${\displaystyle Q_{n}\subset Q_{n+1}}$補題3より、各四角形の面積は以下より小さい。$2π$一方、補題1により、${\displaystyle S'}$は無限である。したがって、境界を持たない。これは矛盾であり、証明は完了する。${\displaystyle \square }$

• ナッシュ埋め込み定理は、すべてのリーマン多様体は、あるユークリッド空間に等長的に埋め込むことができると述べている。

• マンフレド・ド・カルモ著、『曲線と曲面の微分幾何学』、プレンティス・ホール、1976年。
• スピヴァク、マイケル、『微分幾何学への包括的な入門』、Publish or Perish、1999年。