ディスディアキス十二面体

幾何学において、ディスダイアキス十二面体（六八面体、^{[ 1 ]}六角八面体、八角立方体、八角六面体、キズ菱形十二面体^{[ 2 ]}とも呼ばれる）またはd48は、 48面を持つカタラン立体であり、アルキメデス切頂立方八面体の双対である。そのため、面推移的であるが、面の多角形は不規則である。拡大菱形十二面体に似ている。菱形十二面体の各面を平らなピラミッドに置き換えると、菱形十二面体のクリートープが得られ、これはディスダイアキス十二面体とほぼ同じように見え、位相的にもそれと等価である。^{[ a ]}菱形十二面体ピラミッドのネットも同じ位相を共有する。

これは正八面体対称性を持ちます_。その辺の集合は、対称性の鏡面を表しています。また、正立方体と正八面体、および菱形十二面体の角と辺の中間の三角形分割にも見られます。

球状二倍二面体十二面体の辺は、9 つ​​の大円に属します。そのうち 3 つは球状八面体 (下の画像では灰色) を形成します。残りの 6 つは 3 つの正方形ホソヘドラ(下の画像では赤、緑、青) を形成します。これらはすべて鏡面に対応しており、前者は二面体[2,2] 対称、後者は四面体[3,3] 対称です。球状二倍二面体十二面体は、球状立方体または球状八面体の重心分割と考えることができます。^{[ 3 ]}

させて${\displaystyle ~a={\frac {1}{1+2{\sqrt {2}}}}~{\color {Gray}\approx 0.261},~~b={\frac {1}{2+3{\sqrt {2}}}}~{\color {Gray}\approx 0.160},~~c={\frac {1}{3+3{\sqrt {2}}}}~{\color {Gray}\approx 0.138}}$ すると、原点を中心とする二倍十二面体の頂点のデカルト座標は次のようになります。

● (± a , 0, 0)の順列(正八面体の頂点) ● (± b , ± b , 0)の順列(立方八面体の頂点) ● (± c , ± c , ± c ) (立方体の頂点)      

最小辺の長さがaの場合、表面積と体積は

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {6}{7}}{\sqrt {783+436{\sqrt {2}}}}\,a^{2}\\V&={\tfrac {1}{7}}{\sqrt {3\left(2194+1513{\sqrt {2}}\right)}}a^{3}\end{aligned}}}$

面は不等辺三角形です。角度は${\displaystyle \arccos {\biggl (}{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{12}}{\sqrt {2}}{\biggr )}~{\color {Gray}\approx 87.201^{\circ }}}$、${\displaystyle \arccos {\biggl (}{\frac {3}{4}}-{\frac {1}{8}}{\sqrt {2}}{\biggr )}~{\color {Gray}\approx 55.024^{\circ }}}$そして${\displaystyle \arccos {\biggl (}{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr )}~{\color {Gray}\approx 37.773^{\circ }}}$。

切頂立方八面体とその双対であるジジアキス十二面体は、多くの対称的な直交射影方向で描画することができる。多面体とその双対の間では、頂点と面の位置が入れ替わり、辺は垂直になる。

ジジアキス十二面体は、立方体や正八面体に関連する一様な多面体の双対のファミリーの一つである。

これは、面構成V4.6.2 nによって定義される一連の多面体です。この群は、頂点ごとに偶数個の辺を持ち、多面体を通る二等分平面と平面内の無限直線を形成し、任意のn  ≥ 7に対して双曲平面に続くという点で特殊です 。

各頂点に偶数個の面を持つこれらの多面体とタイル張りは、隣接するすべての面が異なる色になるように2つの色を交互に使うことで表現できます。

これらの領域上の各面は、各三角形の面の頂点に2次、3次、n次の鏡面を持つ対称群の基本領域にも対応しています。

• 菱形十二面体の最初の星型化
• ディスディアキス三十面体
• キスロンビルタイル
• 大菱形六面体― 同じ表面トポロジーを持つ均一な双対多面体

• ウィリアムズ、ロバート（1979）。自然構造の幾何学的基礎：設計の資料集。ドーバー出版。ISBN 0-486-23729-X。

（第3-9節）

• 『物の対称性』（2008年）、ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・ブルギエル、ハイム・グッドマン＝ストラウス、ISBN 978-1-56881-220-5（第21章「アルキメデス多面体とカタロニア多面体およびタイリングの命名」、285ページ、kis菱形十二面体）

• Weisstein, Eric W.、「Disdyakis dodecahedron」（「Catalan solid」）MathWorld。
• ディスダイアキス十二面体（ヘキサキス八面体）インタラクティブ多面体モデル