シューア直交関係

数学において、シューアの直交関係は、シューアの補題を通じてイッサイ・シューアによって証明され、有限群の表現に関する中心的な事実を表現している。それらは、一般にコンパクト群、特に回転群 SO(3)などのコンパクト・リー群の場合に一般化できる。

有限群Gの複素数値クラス関数の空間には自然な内積があります。

${\displaystyle \left\langle \alpha ,\beta \right\rangle :={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{g\in G}\alpha (g){\overline {\beta (g)}}}$

ここで、 はg上の の値の複素共役を表します。この内積に関して、既約指標は類関数の空間の 正規直交基底を形成し、指標表の行の直交関係が得られます。${\displaystyle {\overline {\beta (g)}}}$${\displaystyle \beta}$

${\displaystyle \left\langle \chi _{i},\chi _{j}\right\rangle ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}i\neq j,\\1&{\mbox{ if }}i=j.\end{cases}}}$

の場合、同じ内積を文字テーブルの列に適用すると、次のようになります。 ${\displaystyle g,h\in G}$

${\displaystyle \sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(h)}}={\begin{cases}\left|C_{G}(g)\right|&{\mbox{ if }}g,h{\mbox{ are conjugate }}\\0&{\mbox{ otherwise.}}\end{cases}}}$

ここで、和はの既約な指標すべてにわたっており、の中心化子の位数を表します。gとh は指標表の同じ列にある場合にのみ共役であるため、指標表の列は直交していることになります。 ${\displaystyle \chi _{i}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \left|C_{G}(g)\right|}$${\displaystyle g}$

直交関係は、次のような多くの計算に役立ちます。

• 未知の文字を既約文字の線形結合として分解する。
• 既約文字の一部のみがわかっている場合に完全な文字表を構築すること。
• グループの共役類の代表の中心化者の順序を見つけること。そして
• グループの順序を見つける。

を、位数 | G | の有限群の既約行列表現の行列要素とします。任意の有限群の任意の行列表現はユニタリ表現と同等であることが証明できるため、 はユニタリであると仮定します。 ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{mn}}$ ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}}$${\displaystyle G=\{R\}}$${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{l_{\lambda }}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nk}=\delta _{mk}\quad {\hbox{for all}}\quad R\in G,}$

ここで、は既約表現の（有限）次元である。^[1]${\displaystyle l_{\lambda }}$${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}}$

直交関係は、既約表現の行列要素に対してのみ有効であり、次のようになります。

${\displaystyle \sum _{R\in G}^{|G|}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}\;\Gamma ^{(\mu )}(R)_{n'm'}=\delta _{\lambda \mu }\delta _{nn'}\delta _{mm'}{\frac {|G|}{l_{\lambda }}}.}$

ここで はの複素共役であり、和はGのすべての要素にわたって です。行列が同じ既約表現 にある場合、クロネッカーのデルタは1 です。と が等しくない場合は 0 です。他の 2 つのクロネッカーのデルタは、ゼロにならない結果を得るためには行と列のインデックスが等しくなければならない (および) ことを示しています。この定理は、大直交定理としても知られています。 ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}}$${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}\,}$ ${\displaystyle \delta _{\lambda \mu }}$${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}=\Gamma ^{(\mu )}}$${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}}$${\displaystyle \Gamma ^{(\mu )}}$${\displaystyle n=n'}$${\displaystyle m=m'}$

あらゆる群は恒等表現（群のすべての要素が1に写像される）を持つ。これは既約表現である。大直交関係は、直ちに次のことを意味する。

${\displaystyle \sum _{R\in G}^{|G|}\;\Gamma ^{(\mu )}(R)_{nm}=0}$

および恒等表現と等しくない任意の既約表現。 ${\displaystyle n,m=1,\ldots ,l_{\mu }}$${\displaystyle \Gamma ^{(\mu )}\,}$

3 つのオブジェクトの 3! 順列は、一般にS ₃ (次数 3 の対称群) と表記される、位数 6 の群を形成します。この群は、3 倍の回転軸と 3 つの垂直鏡面からなる点群と同型です。群は 2 次元の既約表現 ( l = 2) を持ちます。S ₃の場合、この表現は通常Young タブローでラベル付けされ、 の場合は と 表記されます 。どちらの場合も、表現は次の 6 つの実行行列で構成され、それぞれが単一の群要素を表します。^[2] ${\displaystyle C_{3v}}$ ${\displaystyle \lambda =[2,1]}$${\displaystyle C_{3v}}$${\displaystyle \lambda =E}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}}$

(1,1)要素の正規化:

${\displaystyle \sum _{R\in G}^{6}\;\Gamma (R)_{11}^{*}\;\Gamma (R)_{11}=1^{2}+1^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=3.}$

同様の方法で、他の行列要素（2,2）、（1,2）、（2,1）の正規化を示すことができます。（1,1）要素と（2,2）要素の直交性：

${\displaystyle \sum _{R\in G}^{6}\;\Gamma (R)_{11}^{*}\;\Gamma (R)_{22}=1^{2}+(1)(-1)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)\left({\tfrac {1}{2}}\right)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)\left({\tfrac {1}{2}}\right)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=0.}$

同様の関係は、要素 (1,1) と (1,2) などの直交性にも当てはまります。例では、与えられた既約表現と恒等表現の直交性により、対応する行列要素の合計がすべて消えることが簡単に確認できます。

行列のトレースは対角行列要素の合計で あり、

${\displaystyle \operatorname {Tr} {\big (}\Gamma (R){\big )}=\sum _{m=1}^{l}\Gamma (R)_{mm}.}$

トレースの集合は表現の性格 である。行列のトレースは性格を持つ既約表現で表すことが多い。 ${\displaystyle \chi \equiv \{\operatorname {Tr} {\big (}\Gamma (R){\big )}\;|\;R\in G\}}$${\displaystyle \chi ^{(\lambda )}}$

${\displaystyle \chi ^{(\lambda )}(R)\equiv \operatorname {Tr} \left(\Gamma ^{(\lambda )}(R)\right).}$

この表記法では、いくつかの文字式を書くことができます。

${\displaystyle \sum _{R\in G}^{|G|}\chi ^{(\lambda )}(R)^{*}\,\chi ^{(\mu )}(R)=\delta _{\lambda \mu }|G|,}$

これにより、表現が既約かどうかを確認できます。（この式は、任意の文字テーブル内の行が直交ベクトルでなければならないことを意味します。）そして

${\displaystyle \sum _{R\in G}^{|G|}\chi ^{(\lambda )}(R)^{*}\,\chi (R)=n^{(\lambda )}|G|,}$

これは、既約表現が特性 を持つ既約表現内に含まれる頻度を決定するのに役立ちます。 ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}}$${\displaystyle \Gamma \,}$${\displaystyle \chi (R)}$

例えば、

${\displaystyle n^{(\lambda )}\,|G|=96}$

そしてグループの順序は

${\displaystyle |G|=24\,}$

与えられた簡約表現内に含まれる 回数は ${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}\,}$${\displaystyle \Gamma \,}$

${\displaystyle n^{(\lambda )}=4\,.}$

グループ キャラクターの詳細については、 キャラクター理論を参照してください。

有限群からコンパクト群（SO(3)のようなコンパクトリー群を含む）への直交関係の一般化は基本的に単純です。群上の和を群上の積分に置き換えます。

すべてのコンパクト群は一意の双不変ハール測度を持ち、そのため群の体積は 1 です。この測度を と表記します。を の既約表現の完全な集合とし、を表現 の行列係数とします。直交関係は 2 つの部分で表すことができます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle dg}$${\displaystyle (\pi ^{\alpha })}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \phi _{v,w}^{\alpha }(g)=\langle v,\pi ^{\alpha }(g)w\rangle }$${\displaystyle \pi ^{\alpha }}$

1) もし、 ${\displaystyle \pi ^{\alpha }\ncong \pi ^{\beta }}$

${\displaystyle \int _{G}\phi _{v,w}^{\alpha }(g)\phi _{v',w'}^{\beta }(g)dg=0}$

2) が表現空間の正規直交基底である場合、 ${\displaystyle \{e_{i}\}}$${\displaystyle \pi ^{\alpha }}$

${\displaystyle \int _{G}\phi _{e_{i},e_{j}}^{\alpha }(g){\overline {\phi _{e_{m},e_{n}}^{\alpha }(g)}}dg=\delta _{i,m}\delta _{j,n}{\frac {1}{d^{\alpha }}}}$

ここで はの次元です。これらの直交関係と、すべての表現が有限次元を持つという事実は、ピーター・ワイルの定理の結果です。 ${\displaystyle d^{\alpha }}$${\displaystyle \pi ^{\alpha }}$

r = 3 パラメータ群の例としては、単位行列式を持つすべての 3 × 3直交行列からなる行列群 SO(3) があります。この群の可能なパラメータ化は、オイラー角によるものです。(オイラー角による SO(3) の元の明示的な形式については、たとえばこの記事を参照してください)。境界はおよびです。 ${\displaystyle \mathbf {x} =(\alpha ,\beta ,\gamma )}$${\displaystyle 0\leq \alpha ,\gamma \leq 2\pi }$${\displaystyle 0\leq \beta \leq \pi }$

体積要素の計算方法は選択されたパラメータに依存するだけでなく、最終結果、つまり重み関数（測定値）の解析形式も依存します。 ${\displaystyle \omega (\mathbf {x} )\,dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{r}}$${\displaystyle \omega (\mathbf {x} )}$

例えば、SO(3)のオイラー角パラメータ化は重みを与え、n, ψパラメータ化は重みを与える 。${\displaystyle \omega (\alpha ,\beta ,\gamma )=\sin \!\beta \,,}$${\displaystyle \omega (\psi ,\theta ,\phi )=2(1-\cos \psi )\sin \!\theta \,}$${\displaystyle 0\leq \psi \leq \pi ,\;\;0\leq \phi \leq 2\pi ,\;\;0\leq \theta \leq \pi .}$

コンパクトリー群の既約行列表現は有限次元であり、ユニタリになるように選択できることが示される。

${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(R^{-1})=\Gamma ^{(\lambda )}(R)^{-1}=\Gamma ^{(\lambda )}(R)^{\dagger }\quad {\hbox{with}}\quad \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{mn}^{\dagger }\equiv \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}.}$

速記表記では

${\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(\mathbf {x} )=\Gamma ^{(\lambda )}{\Big (}R(\mathbf {x} ){\Big )}}$

直交関係は次の形をとる。

${\displaystyle \int _{x_{1}^{0}}^{x_{1}^{1}}\cdots \int _{x_{r}^{0}}^{x_{r}^{1}}\;\Gamma ^{(\lambda )}(\mathbf {x} )_{nm}^{*}\Gamma ^{(\mu )}(\mathbf {x} )_{n'm'}\;\omega (\mathbf {x} )dx_{1}\cdots dx_{r}\;=\delta _{\lambda \mu }\delta _{nn'}\delta _{mm'}{\frac {|G|}{l_{\lambda }}},}$

グループのボリューム:

${\displaystyle |G|=\int _{x_{1}^{0}}^{x_{1}^{1}}\cdots \int _{x_{r}^{0}}^{x_{r}^{1}}\omega (\mathbf {x} )dx_{1}\cdots dx_{r}.}$

例として、SO(3)の既約表現はウィグナーD行列 であり、次元は であることに注目する。 ${\displaystyle D^{\ell }(\alpha \beta \gamma )}$${\displaystyle 2\ell +1}$

${\displaystyle |\mathrm {SO} (3)|=\int _{0}^{2\pi }d\alpha \int _{0}^{\pi }\sin \!\beta \,d\beta \int _{0}^{2\pi }d\gamma =8\pi ^{2},}$

彼らは満足する

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }D^{\ell }(\alpha \beta \gamma )_{nm}^{*}\;D^{\ell '}(\alpha \beta \gamma )_{n'm'}\;\sin \!\beta \,d\alpha \,d\beta \,d\gamma =\delta _{\ell \ell '}\delta _{nn'}\delta _{mm'}{\frac {8\pi ^{2}}{2\ell +1}}.}$

群論に関する物理的または化学的な本では、直交関係について言及されています。以下のより高度な本では、証明が示されています。

• M. Hamermesh, Group Theory and its Applications to Physical Problems、Addison-Wesley、Reading (1962)。(Dover より再版)。
• W.ミラー・ジュニア著『対称群とその応用』、アカデミック・プレス、ニューヨーク（1972年）。
• JF コーンウェル、「物理学における群論」（全3巻）、第1巻、アカデミック プレス、ニューヨーク (1997)。

以下の書籍では、より数学的な扱い方を説明しています。

• ジャン・ピエール・セール (1977)。有限群の線形表現。ニューヨーク: Springer-Verlag。 13-20ページ。ISBN 0387901906. ISSN  0072-5285. OCLC  2202385.
• セングプタ、アンバー・N. (2012)。有限群の表現、半単純入門。Springer。ISBN 978-1-4614-1232-8. OCLC  875741967.