重力赤方偏移

アインシュタインの一般相対性理論は等価原理を前提としており、これは様々な形で表現できます。その一つは、重力の影響は自由落下する観測者にとっては局所的に検出不可能であるというものです。したがって、地球表面での実験室実験では、すべての重力の影響は、実験室が宇宙空間を重力加速度gで加速していた場合に観測されるであろう影響と等価であるはずです。その結果の一つが重力赤方偏移です。実験室の床から光パルスが放出された場合、自由落下する観測者は、光が天井に到達するまでに天井が自分から遠ざかるように加速していると考えます。そのため、天井に固定された検出器で観測すると、光はスペクトルの赤色側にドップラーシフトしていることが観測されます。自由落下する観測者はこれを運動学的ドップラーシフトとみなしますが、実験室の観測者はこれを重力赤方偏移とみなします。このような効果は1959年のパウンド・レブカ実験で検証された。重力場が一様であるこのような場合、波長の変化は次のように表される。

${\displaystyle z={\frac {\Delta \lambda }{\lambda }}\approx {\frac {g\Delta y}{c^{2}}},}$

どこ${\displaystyle \Delta y}$これは高さの変化である。この予測は等価原理から直接導かれるため、一般相対性理論の数学的装置を一切必要とせず、また、その検証によって、等価原理を取り入れた他の理論よりも一般相対性理論が優れていると明確に支持されるわけではない。

地球表面（または1gで加速する宇宙船内）では、重力赤方偏移は約 1.1 × 10 ⁻¹⁶は、  高度1mごとに3.3 × 10⁻⁸m /sの^{ドップラーシフトが生じる。}

場が一様でない場合、最も単純で有用なケースは球対称場の場合である。バーコフの定理によれば、このような場は一般相対性理論ではシュワルツシルト計量によって記述される。${\displaystyle d\tau ^{2}=\left(1-r_{\text{S}}/R\right)dt^{2}+\ldots }$、 どこ${\displaystyle d\tau }$は中心から距離Rにいる観測者の時計時刻です。${\displaystyle dt}$は無限遠にいる観測者によって測定された時間であり、${\displaystyle r_{\text{S}}}$はシュヴァルツシルト半径です${\displaystyle 2GM/c^{2}}$、"..." は、観測者が静止している場合に消滅する項を表します。${\displaystyle G}$はニュートンの重力定数です。${\displaystyle M}$重力体の質量、そして${\displaystyle c}$光速。その結果、周波数と波長は比率に応じてシフトする。

${\displaystyle 1+z={\frac {\lambda _{\infty }}{\lambda _{\text{e}}}}=\left(1-{\frac {r_{\text{S}}}{R_{\text{e}}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$

どこ

• ${\displaystyle \lambda _{\infty }\,}$は、無限遠にいる観測者によって測定された光の波長です。
• ${\displaystyle \lambda _{\text{e}}\,}$は発光源で測定された波長であり、
• ${\displaystyle R_{\text{e}}}$これは光子が放出される半径です。

これは、従来定義されてきた赤方偏移パラメータと関連付けることができる。${\displaystyle z=\lambda _{\infty }/\lambda _{\text{e}}-1}$。

発信者も観測者も無限遠にない場合、ドップラーシフトの推移性により、結果を一般化することができます。${\displaystyle \lambda _{1}/\lambda _{2}=\left[\left(1-r_{\text{S}}/R_{1}\right)/\left(1-r_{\text{S}}/R_{2}\right)\right]^{1/2}}$周波数の赤方偏移式${\displaystyle \nu =c/\lambda }$は${\displaystyle \nu _{o}/\nu _{\text{e}}=\lambda _{\text{e}}/\lambda _{o}}$。 いつ${\displaystyle R_{1}-R_{2}}$が小さい場合、これらの結果は、等価原理に基づいて上記の式と一致します。

赤方偏移比は、（ニュートン力学に基づく）脱出速度を用いて表すこともできる。${\displaystyle v_{\text{e}}}$で${\displaystyle R_{\text{e}}=2GM/v_{\text{e}}^{2}}$その結果、対応するローレンツ因子は次のようになる。

${\displaystyle 1+z=\gamma _{\text{e}}={\frac {1}{\sqrt {1-(v_{\text{e}}/c)^{2}}}}}$。

事象の地平線を持つほどコンパクトな物体の場合、信号が地平線の内部から脱出できないことと、前述のように放射体のような物体が地平線の内部に静止できないことの両方から、シュワルツシルト半径内で放出された光子の赤方偏移は定義されません。したがって、この式は、次の場合にのみ適用されます。${\displaystyle R_{\text{e}}}$より大きい${\displaystyle r_{\text{S}}}$光子がシュワルツシルト半径に等しい距離で放出される場合、赤方偏移は無限大となり、光子はシュワルツシルト球から有限の距離まで逃げることはありません。光子が無限大の距離で放出される場合、赤方偏移は発生しません。

エルンスト・エーピックが1916年に視覚連星の密度を推定した際、40 エリダニ Bの密度が100万個以上であることを発見した。太陽の25,000倍 という、あまりにも高い密度は「ありえない」とまで言われた。^{[ 16 ]}エディントンが1924年に指摘したように、この程度の密度は、一般相対性理論によれば、シリウスBからの光が重力赤方偏移するはずである ことを意味していた。 ^{[ 17 ]} 当初、多くの実験者が天文学的測定を用いてこの効果を特定したと主張し、1925 年にW.S. アダムスによって恒星シリウス Bのスペクトル線で最終的に特定されたと考えられていました。 ^{[ 18 ] [ 19 ]}しかし、アダムスの測定値は低すぎると批判されており^{[ 19 ] [ 20 ]}、これらの観測は、主星シリウス A からの散乱光のために使用できないスペクトルの測定値であると考えられています。^{[ 20 ]}白色矮星の重力赤方偏移の最初の正確な測定は、1954 年にポッパーによって行われ、40 エリダニBの重力赤方偏移を 21 km/s と測定しました。 ^{[ 20 ]}シリウス Bの赤方偏移は最終的にグリーンスタインらによって測定されました。 1971年に重力赤方偏移の値が89±16 km/sと得られ、ハッブル宇宙望遠鏡によるより正確な測定では80.4±4.8 km/sを示した。 ^{[ 21 ] [ 22 ]}    

プリンストン大学のロバート・ディッケの大学院生であったジェームズ・W・ブラウルトは、1962年に光学的方法を用いて太陽の重力赤方偏移を測定した。^{[ 23 ]} 2020年、科学者チームは、月によって反射された太陽光中の鉄スペクトル線を分析することによって行われた、これまでで最も正確な太陽重力赤方偏移の測定結果を発表した。彼らの平均グローバル線シフト638±6m/sの測定は、理論値の633.1m /sと一致している。^{[ 24 ] [ 25 ]}太陽赤方偏移の測定は、重力効果と同程度の大きさの太陽表面の動きによって引き起こされるドップラーシフトによって複雑になる。^{[ 25 ]}  

2011年、コペンハーゲン大学ニールス・ボーア研究所のラデク・ウォイタクの研究グループは、8000個の銀河団からデータを収集し、銀河団の中心から来る光は銀河団の端から来る光に比べて赤方偏移する傾向があることを発見し、重力によるエネルギー損失を確認した。^{[ 26 ]}

2018年、恒星S2は、天の川銀河の中心にある太陽質量の400万倍の超大質量ブラックホールSgr A*に最も接近し、ブラックホールからわずか120 AU （シュワルツシルト半径1400 ）の距離を通過する際に、光速の約2.5%にあたる7650 km/sの速度に達しました。GRAVITYコラボレーション^{[ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]} （ラインハルト・ゲンツェルが率いる）とKECK/UCLA銀河中心グループ^{[ 31 ] [ 32 ]} （アンドレア・ゲズが率いる^）による独立した解析では、一般相対性理論の予測と一致する、最大200 km/s/cの横方向ドップラーおよび重力赤方偏移が明らかになりました。  

2021年、Mediavilla（IAC、スペイン）とJiménez-Vicente（UGR 、スペイン）は、宇宙論的赤方偏移z ≈ 3までのクエーサーの重力赤方偏移の測定を利用して、アインシュタインの等価原理の予測と宇宙論的進化の欠如を13%以内で確認することができた。^{[ 33 ]}

2024年、Padillaらは、8000個のクエーサーと100個のセイファート1型銀河の超大質量ブラックホール（SMBH）の重力赤方偏移を、それらの輝線の半値全幅（FWHM）から推定し、log z ≈ −4という値を得ました。これは、約10億太陽質量のSMBHと、半径約1パーセクの広輝線領域と整合しています。この同じ重力赤方偏移は、これらの著者らによって、 LINER銀河のSAMIサンプルで、中心領域と外側領域で放出された輝線の赤方偏移の差を使用して直接測定されました。^{[ 34 ]}

1925年から1955年の間、重力赤方偏移を測定する試みはほとんど行われなかった。^{[ 35 ]} この効果は現在、 1959年から1965年の間に行われたパウンド、レブカ、スナイダーの実験によって決定的に検証されたと考えられている。1959年のパウンド-レブカ実験では、地上の^57Feガンマ線源を用いて、垂直方向の高さ22.5メートルにわたってスペクトル線における重力赤方偏移を測定した。 ^{[ 36 ]}この論文は、非常に狭い線幅の放射線を生成するメスバウアー効果によって生成されたガンマ線光子の波長の変化の測定を使用した重力赤方偏移の最初の決定であった。ガンマ線測定の精度は通常1%であった。

1965年にパウンドとスナイダーによって改良された実験が行われ、1%レベルよりも高い精度が得られた。^{[ 37 ]}

1976年に非常に精度の高い重力赤方偏移実験が行われ、^{[ 38 ]}ロケットに搭載された水素 メーザー時計が高度まで打ち上げられた。10,000 kmの距離 で、地上にある同一の時計と比較した速度を測定した。重力赤方偏移を0.007%の精度で検証した。

後続のテストは、タイミングシステムで重力赤方偏移を考慮する必要がある全地球測位システム（GPS）を使用して行うことができ、物理学者はGPSからのタイミングデータを分析して他のテストを確認しました。最初の衛星が打ち上げられたとき、1日あたり38マイクロ秒の予測されたずれを示しました。このずれの速度は、考慮しないと数時間以内にGPSの機能を大幅に損なうのに十分です。GPSの設計における一般相対性理論の役割についての優れた説明は、Ashby 2003にあります。^{[ 39 ]}

2010年の実験では、2つのアルミニウムイオン量子時計を互いに近づけて配置したが、2つ目の時計を1つ目の時計 より33cm高い位置に設置し、重力赤方偏移効果を日常的な実験室規模で観測した。^{[ 40 ] [ 41 ]}

2020年、東京大学の研究グループは、2つのストロンチウム87光格子時計の重力赤方偏移を測定した。^{[ 42 ]}測定は東京スカイツリーで行われ、時計は約450m離れて 通信光ファイバーで接続されていた。重力赤方偏移は次のように表される。

${\displaystyle z={\frac {\Delta \nu }{\nu _{1}}}=(1+\alpha ){\frac {\Delta U}{c^{2}}}}$、

どこ${\displaystyle \Delta \nu =\nu _{2}-\nu _{1}}$重力赤方偏移とは、${\displaystyle \nu _{1}}$は光クロックの遷移周波数です。${\displaystyle \Delta U=U_{2}-U_{1}}$は重力ポテンシャルの差であり、${\displaystyle \alpha }$は一般相対性理論からの違反を示している。ストロンチウム87光時計遷移（429 THz、698 nm）のラムゼイ分光法により、研究グループは2つの光時計間の重力赤方偏移を21.18 Hzと決定し、これは約5 × ^{10⁻¹⁴の}z値に相当する。彼らの測定値は   ${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle (1.4\pm 9.1)\times 10^{-5}}$これは、楕円軌道上の水素メーザーで行われた最近の測定結果と一致している。^{[ 43 ] [ 44 ]}

2021年10月、物理学者ジュン・イェ率いるJILAの研究グループは、サブミリ波スケールでの重力赤方偏移の測定結果を報告した。この測定は、光学格子内の10万個のストロンチウム原子からなるミリメートル高の超低温雲の上部と下部の間の87Sr時計遷移^で行われた。^{[ 45 ] [ 46 ]}

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