表面放射交換の積分方程式を解くカーネル関数

物理学と工学では、ある表面から別の表面への放射熱伝達は、最初の表面からの入射放射と出射放射の差に等しくなります。一般に、表面間の熱伝達は、温度、表面放射率特性、および表面の形状によって決まります。熱伝達の関係は、表面条件に基づく境界条件を持つ積分方程式として表すことができます。カーネル関数は、この積分方程式を近似して解くのに役立ちます。

放射熱交換は、筐体の局所的な表面温度と表面の特性に依存しますが、媒体には依存しません。媒体は放射を吸収、放出、散乱しないからです。

2つの表面A _iと A _j 間の熱伝達の支配方程式 。ここで $${\displaystyle {\begin{aligned}q(r_{i})={}&\int _{\lambda =0}^{\infty }\int _{\psi _{i}=0}^{2\pi }\int _{\theta _{i}=0}^{\frac {\pi }{2}}\varepsilon _{\lambda ,i}(\lambda ,\psi _{i},\theta _{i},r_{i})I_{b\lambda ,i}(\cos \theta _{i}\sin \theta _{i})\,d\theta _{i}\,d\psi _{i}\,d\lambda \\&-\sum _{j=1}^{N}\int _{\lambda =0}^{\infty }\rho _{\lambda ,i}(\lambda ,\psi _{r,j},\theta _{r,j},\psi _{j},\theta _{j},r_{i})I_{\lambda ,k}(\lambda ,\psi _{k},\theta _{k},r_{i}){\frac {\cos \theta _{j}\cos \theta _{k}}{|r_{k}-r_{j}|^{2}}}\,dA_{k}\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle \lambda}$放射線の波長である。
• ${\displaystyle I}$放射線の強度は
• ${\displaystyle \epsilon }$放射率です。
• ${\displaystyle r}$反射率です。
• ${\displaystyle \theta}$表面の法線と放射交換方向の間の角度であり、
• ${\displaystyle \psi}$方位角は

筐体の表面が灰色の拡散面として近似される場合、上記の式は解析手順の後、 と書くことができます。 ここで は黒体放射電力で、黒体の温度の関数として与えられます。 ここで はシュテファン・ボルツマン定数です。 $${\displaystyle q(r)+\varepsilon (r)E_{b}=\varepsilon (r)\oint K(r,r')\left[E_{b}(r')+1-{\frac {\varepsilon (r')}{\varepsilon (r)}}d\Gamma (r')\right]}$$${\displaystyle E_{b}}$ $${\displaystyle E_{b}(r)=\sigma T^{4}(r)}$$${\displaystyle \sigma }$

カーネル関数は、元の空間でデータを操作することによって、データが高次元空間に投影されているかのようにデータを操作する方法を提供します。これにより、高次元空間のデータはより簡単に分離可能になります。カーネル関数は、表面放射交換の積分方程式でも使用されます。カーネル関数は、筐体の形状とその表面特性の両方に関係します。カーネル関数は、物体の形状に依存します。

上記の式で、K ( r , r′ ) は積分のカーネル関数であり、 3-D 問題では次の形式になります。 ここで、F は、表面要素I が表面要素J を見ているときに値 1 を取り、それ以外の場合、光線がブロックされている場合は 0 になります。また、θr は点rでの角度、θr ′ は点r ′ での角度です。パラメーターF は物体の幾何学的構成に依存するため、幾何学的に複雑な囲みではカーネル関数は非常に不規則になります。 $${\displaystyle K(r,r')=-{\frac {n(r-r')n'(r-r')}{\pi |r-r'|^{4}}}F={\frac {\cos \theta _{r}\cos \theta _{r}'}{\pi |r-r'|^{4}}}F}$$

2次元および軸対称構成の場合、カーネル関数はz方向またはθ方向に沿って解析的に積分できます。カーネル関数の積分は $${\displaystyle K(r,r')=-\iint F{\frac {n(r-r')n'(r-r')}{\pi |r-r'|^{4}}}\,dz'\,dz={\frac {n(r-r')n'(r-r')}{\pi |r-r'|^{4}}}F}$$

ここで、n は方位角ϕ ′ がゼロの要素 I の単位法線を表し、n ′ は任意の方位角 ϕ ′ の要素Jの単位法線を指します。nとn ′の数式は次のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}n&=(\cos \theta ,0,\sin \theta )\\n'&=(\cos \theta '\sin \phi ',\cos \theta '\sin \phi ',\sin \theta ')\end{aligned}}}$$

これらの項を式に代入すると、カーネル関数は方位角ϕ'に関して再構成され 、ここで $${\displaystyle K(\phi ')={\frac {(c'+d\cos \phi ')(c''+d\cos \phi ')}{\pi (c+d\cos \phi ')^{2}}}F}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}c&=r_{i}^{2}+r_{j}^{2}+Z_{j}^{2}\\d&=-2r_{i}r_{j}\\c'&=Z_{j}\sin \theta -r_{i}\cos \theta \\d'&=r_{j}\cos \theta \\c''&=Z_{j}\sin \theta '+r_{j}\cos \theta '\\d''&=-r_{i}\cos \theta '\end{aligned}}}$$

この特定のケースでは関係 が成立します。 $${\displaystyle {\frac {d\left\{\arctan \left({\sqrt {\frac {c-d}{c+d}}}\tan {\frac {\phi }{2}}\right)\right\}}{dx}}={\frac {\sqrt {c^{2}-d^{2}}}{2(c+d\cos \phi )}}}$$

カーネル関数の最終的な式は 、 $${\displaystyle {\bar {k}}(\phi )=2\int _{0}^{\phi }k(\phi ')\,d\phi '=-{\frac {2}{\pi }}\left[A\phi +b\arctan \left({\sqrt {\frac {c-d}{c+d}}}\tan {\frac {\phi }{2}}\right)+C{\frac {\sin \phi }{c+d\cos \phi }}\right]}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {d'd''}{d^{2}}}\\B&=2{\frac {(c^{2}-d^{2})(d'f+ed'')+cdef}{d(c^{2}-d^{2}){\sqrt {c^{2}-d^{2}}}}}\\C&={\frac {def}{d^{2}-c^{2}}}\\e&={\frac {dc'-cd'}{d}}\\f&={\frac {dc''-cd''}{d}}\end{aligned}}}$$

• ロバート・シーゲル『熱放射伝熱』第 4 版
• Ben Q. Li、「流体力学と熱伝達における不連続有限要素」
• JR マハン放射熱伝達: 統計的アプローチ、第 1 巻
• リチャード・M・グッディ・ユク・リンヨン大気放射線
• KG テリー・ホランズ「簡易フレドホルム積分方程式ソルバーと熱放射におけるその使用」
• マイケル F. モデスト放射熱伝達

• http://crsouza.blogspot.in/2010/03/kernel-functions-for-machine-learning.html
• http://mathworld.wolfram.com/IntegralKernel.html
• http://www.thermalfluidscentral.org/e-books/book-viewer.php?b=37&s=11