計量経済学 および統計学 における一般化モーメント法 （GMM ）は、 統計モデル におけるパラメータ を推定するための汎用的な手法です。通常、GMMはセミパラメトリックモデル の文脈で適用されます。セミパラメトリックモデルでは、対象となるパラメータは有限次元ですが、データの分布関数の完全な形状が不明な場合があり、そのため最尤推定法 は適用できません。
この手法では、モデルに対して一定数のモーメント条件を指定する必要があります。これらのモーメント条件は、モデルパラメータとデータの関数であり、パラメータの真の値ではその 期待 値がゼロになります。GMM法は、モーメント条件の標本平均の特定のノルムを最小化するため、 最小距離推定 の特殊なケース と考えることができます。[ 1 ]
GMM推定量は 、モーメント条件に含まれる情報以外に余分な情報を使用しないすべての推定量のクラスの中で、一致性 、漸近正規性 、および最も効率性が高い ことが知られています。GMMは、1894年にカール・ピアソン によって導入されたモーメント法 [ 2 ] ラース・ピーター・ハンセン によって提唱されました。しかし、これらの推定量は、「直交条件」(Sargan、1958、1959)または「不偏推定方程式 」(Huber、1967; Wang et al.、1997)に基づく推定量と数学的に同等です。
説明 利用可能なデータは、T 個の 観測値{ Y t } t = 1,..., T から構成されているとします。ここで、各観測値Y t はn 次元多変量確率変数 です。データは、未知のパラメータ θ ∈ Θ を除いて定義された特定の統計モデル から得られたものと仮定します。推定問題の目標は、このパラメータθ 0 の「真の」値、または少なくとも妥当な近似値を見つけることです。
GMMの一般的な仮定は、データY tが 弱定常 エルゴード 確率過程 によって生成されることである。（独立同分布 （iid）変数Y t の場合、この条件の特殊なケースとなる。）
GMMを適用するには、「モーメント条件」が必要です。つまり、次のようなベクトル値関数 g ( Y , θ )を知る必要があります。
m （ θ 0 ） ≡ E [ g （ Y t 、 θ 0 ） ] = 0 、 {\displaystyle m(\theta _{0})\equiv \operatorname {E} [\,g(Y_{t},\theta _{0})\,]=0,} ここで、E は期待値 を表し、Y tは一般的な観測値です。さらに、 θ ≠ θ 0 m ( θ ) はゼロと異なる必要があります。そうでない場合、パラメータθは点 識別 されません。
GMMの基本的な考え方は、理論的な期待値E[⋅]を、その経験的な類似物である標本平均に置き換えることです。
m ^ （ θ ） ≡ 1 T ∑ t = 1 T g （ Y t 、 θ ） {\displaystyle {\hat {m}}(\theta )\equiv {\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}g(Y_{t},\theta )} そして、この式のノルムをθ に関して最小化します。最小化するθの値が 、 θ₀ の推定値となります。
大数の法則 により、m ^ （ θ ） ≈ E [ g （ Y t 、 θ ） ] = m （ θ ） {\displaystyle \scriptstyle {\hat {m}}(\theta )\,\approx \;\operatorname {E} [g(Y_{t},\theta )]\,=\,m(\theta )} T の値が大きい場合、したがって、m ^ （ θ 0 ） ≈ m （ θ 0 ） = 0 \displaystyle \scriptstyle {\hat {m}}(\theta _{0})\;\approx \;m(\theta _{0})\;=\;0} θ ^ {\displaystyle \scriptstyle {\hat {\theta }}} m ^ （ θ ^ ） {\displaystyle \scriptstyle {\hat {m}}(\;\!{\hat {\theta }}\;\!)} m ^ （ θ ） {\displaystyle \scriptstyle {\hat {m}}(\theta )} m のノルムは || m || と表記され、 m とゼロの間の距離を測定します）。結果として得られる推定量の特性は、ノルム関数の特定の選択に依存するため、GMM の理論では、次のように定義されるノルムの族全体を考慮します。
‖ m ^ （ θ ） ‖ W 2 = m ^ （ θ ） T W m ^ （ θ ） 、 {\displaystyle \|{\hat {m}}(\theta )\|_{W}^{2}={\hat {m}}(\theta )^{\mathsf {T}}\,W{\hat {m}}(\theta ),} ここで、W は正定値 重み行列であり、m T {\displaystyle m^{\mathsf {T}}} は転置 を表します。実際には、重み行列Wは利用可能な データセット に基づいて計算され、それは次のように表されます。W ^ {\displaystyle \scriptstyle {\hat {W}}}
θ ^ = 引数 ミニ θ ∈ Θ （ 1 T ∑ t = 1 T g （ Y t 、 θ ） ） T W ^ （ 1 T ∑ t = 1 T g （ Y t 、 θ ） ） {\displaystyle {\hat {\theta }}=\operatorname {arg} \min _{\theta \in \Theta }{\bigg (}{\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}g(Y_{t},\theta ){\bigg )}^{\mathsf {T}}{\hat {W}}{\bigg (}{\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}g(Y_{t},\theta ){\bigg )}} 適切な条件下では、この推定量は一致性 、漸近正規性を 持ち、重み行列を適切に選択すれば、W ^ {\displaystyle \scriptstyle {\hat {W}}} 漸近的 にも効率的である。
不動産
一貫性 一致性と は、推定量の統計的性質であり、十分な数の観測値があれば、推定量は確率的に パラメータの真の値に収束するというものである。
θ ^ → p θ 0 として T → ∞ 。 {\displaystyle {\hat {\theta }}{\xrightarrow {p}}\theta _{0}\ {\text{as}}\ T\to \infty .} GMM推定量が一致性を持つための十分条件は以下のとおりです。
W ^ T → p W 、 {\displaystyle {\hat {W}}_{T}{\xrightarrow {p}}W,} Wは 正定値半行列 であり、W E [ g （ Y t 、 θ ） ] = 0 {\displaystyle \,W\operatorname {E} [\,g(Y_{t},\theta )\,]=0} のみθ = θ 0 、 {\displaystyle \,\theta =\theta _{0},} 可能なパラメータの 空間Θ ⊂ R k {\displaystyle \Theta \subset \mathbb {R} ^{k}} コンパクト で、 g （ Y 、 θ ） {\displaystyle \,g(Y,\theta )} 各θ において確率1で連続であり、E [ すする θ ∈ Θ ‖ g （ Y 、 θ ） ‖ ] < ∞ 。 {\displaystyle \operatorname {E} [\,\textstyle \sup _{\theta \in \Theta }\lVert g(Y,\theta )\rVert \,]<\infty .} ここでの2番目の条件（いわゆるグローバル識別 条件）は、検証が特に難しい場合が多い。識別問題を検出するために使用できる、より単純な必要条件（ただし十分条件ではない）が存在する。
順序条件。モーメント関数 m(θ) の次元は、パラメータベクトルθ の次元以上でなければならない。局所識別 。g (Y,θ)が 近傍で連続微分可能であれば、θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} W E [ ∇ θ g （ Y t 、 θ 0 ） ] {\displaystyle W\operatorname {E} [\nabla _{\theta }g(Y_{t},\theta _{0})]} 列ランクが 完全である必要があります。実際には、応用計量経済学者は、グローバル識別が成り立つことを、実際に証明することなく、単純に仮定すること が多い。[ 3 ] ：
漸近正規性 漸近正規性は、推定量の 信頼区間 を構築したり、さまざまな検定を実施したりできるため、有用な性質です。GMM推定量の漸近分布について述べる前に、2つの補助行列を定義する必要があります。
G = E [ ∇ θ g （ Y t 、 θ 0 ） ] 、 Ω = E [ g （ Y t 、 θ 0 ） g （ Y t 、 θ 0 ） T ] {\displaystyle G=\operatorname {E} [\,\nabla _{\!\theta }\,g(Y_{t},\theta _{0})\,],\qquad \Omega =\operatorname {E} [\,g(Y_{t},\theta _{0})g(Y_{t},\theta _{0})^{\mathsf {T}}\,]} そして、以下の条件1～6の下では、GMM推定量は漸近的に正規分布に従い、その極限分布は 次のようになります。
T （ θ ^ − θ 0 ） → d N [ 0 、 （ G T W G ） − 1 G T W Ω W T G （ G T W T G ） − 1 ] 。 {\displaystyle {\sqrt {T}}{\big (}{\hat {\theta }}-\theta _{0}{\big )}\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {N}}{\big [}0,(G^{\mathsf {T}}WG)^{-1}G^{\mathsf {T}}W\Omega W^{\mathsf {T}}G(G^{\mathsf {T}}W^{\mathsf {T}}G)^{-1}{\big ]}.}
条件：
θ ^ {\displaystyle {\hat {\theta }}} 可能なパラメータのセットΘ ⊂ R k {\displaystyle \Theta \subset \mathbb {R} ^{k}} コンパクト で、 g （ Y 、 θ ） {\displaystyle \,g(Y,\theta )} N において連続的に微分可能であるθ 0 {\displaystyle \theta _{0}} E [ ‖ g （ Y t 、 θ ） ‖ 2 ] < ∞ 、 {\displaystyle \operatorname {E} [\,\lVert g(Y_{t},\theta )\rVert ^{2}\,]<\infty ,} E [ すする θ ∈ N ‖ ∇ θ g （ Y t 、 θ ） ‖ ] < ∞ 、 {\displaystyle \operatorname {E} [\,\textstyle \sup _{\theta \in N}\lVert \nabla _{\theta }g(Y_{t},\theta )\rVert \,]<\infty ,} マトリックスG ′ W G {\displaystyle G'WG}
相対効率 これまで、行列W の選択については、正半定値行列でなければならないということ以外何も述べてきませんでした。実際、そのような行列であればどれでも、一致性があり漸近的に正規分布に従う GMM 推定量が得られます。唯一の違いは、その推定量の漸近分散です。
W ∝ Ω − 1 {\displaystyle W\propto \ \Omega ^{-1}} これにより、すべての（一般化）モーメント法推定量のクラスの中で最も効率的な推定量が得られます。無限個の直交条件のみが最小の分散、クラメール・ラオ限界 を得ます。
この場合、GMM推定量の漸近分布の式は次のように簡略化されます。
T （ θ ^ − θ 0 ） → d N [ 0 、 （ G T Ω − 1 G ） − 1 ] {\displaystyle {\sqrt {T}}{\big (}{\hat {\theta }}-\theta _{0}{\big )}\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {N}}{\big [}0,(G^{\mathsf {T}}\,\Omega ^{-1}G)^{-1}{\big ]}} このような重み行列の選択が実際に局所的に最適であるという証明は、他の推定量の効率を確立する際に、わずかな修正を加えて採用されることが多い。経験則として、重み行列は、クラメール・ラオ限界 に近い式になるにつれて、最適性に近づいていく。
範囲 他の多くの一般的な推定手法も、GMM最適化の観点から捉えることができる。
最小二乗法 （OLS）は、モーメント条件付きのGMMと同等である。 E [ x t （ y t − x t T β ） ] = 0 {\displaystyle \operatorname {E} [\,x_{t}(y_{t}-x_{t}^{\mathsf {T}}\beta )\,]=0} 重み付き最小二乗法 （WLS） E [ x t （ y t − x t T β ） / σ 2 （ x t ） ] = 0 {\displaystyle \operatorname {E} [\,x_{t}(y_{t}-x_{t}^{\mathsf {T}}\beta )/\sigma ^{2}(x_{t})\,]=0} 操作変数 回帰（IV） E [ z t （ y t − x t T β ） ] = 0 {\displaystyle \operatorname {E} [\,z_{t}(y_{t}-x_{t}^{\mathsf {T}}\beta )\,]=0} 非線形最小二乗法 （NLLS）： E [ ∇ β g （ x t 、 β ） ⋅ （ y t − g （ x t 、 β ） ） ] = 0 {\displaystyle \operatorname {E} [\,\nabla _{\!\beta }\,g(x_{t},\beta )\cdot (y_{t}-g(x_{t},\beta ))\,]=0} 最尤 推定法（MLE）： E [ ∇ θ ln f （ x t 、 θ ） ] = 0 {\displaystyle \operatorname {E} [\,\nabla _{\!\theta }\ln f(x_{t},\theta )\,]=0}
GMMの代替案 モーメント法 では、元の（一般化されていない）モーメント法（MoM）の代替法が説明され、いくつかの応用例と、従来の方法に対する理論的な利点と欠点のリストが提供されています。このベイズライクMoM（BL-MoM）は、GMMに含まれる上記の関連法すべてとは異なります。[ 5 ] [ 6 ]
実装 Rプログラミングのウィキブック、モーメント法 R Stata EViews SAS グレテル
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さらに読む Huber, P. (1967). 非標準条件下における最尤推定量の挙動. 第5回バークレー数理統計学・確率シンポジウム議事録 1, 221-233. Newey W.、McFadden D. (1994)。大標本推定と仮説検定 、『計量経済学ハンドブック』第36章。Elsevier Science。 Imbens, Guido W. ; Spady, Richard H.; Johnson, Phillip (1998). "情報理論的アプローチによるモーメント条件モデルにおける推論" (PDF) . Econometrica . 66 (2): 333– 357. doi : 10.2307/2998561 . JSTOR 2998561 . Sargan, JD (1958). 操作変数を用いた経済関係の推定. Econometrica, 26, 393-415. Sargan, JD (1959). 操作変数を用いた自己相関残差を持つ関係の推定. Journal of the Royal Statistical Society B, 21, 91-105. Wang, CY、Wang, S.、Carroll, R. (1997)。測定誤差とブートストラップ分析を用いた選択ベースサンプリングにおける推定。Journal of Econometrics 、77、65-86。 Bhargava, A.、および Sargan, JD (1983). 短期期間を対象としたパネルデータからの動的ランダム効果の推定。Econometrica、51、6、1635-1659。 林文雄（2000）『計量経済学 』プリンストン：プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-01018-8 。 ハンセン、ラース・ピーター（2002）。「モーメント法」。スメルサー、NJ 、ベイツ、PB（編）。『国際社会行動科学百科事典』 。オックスフォード：パーガモン。 Hall, Alastair R. (2005).一般化モーメント法 . 計量経済学上級テキスト. オックスフォード大学出版局. ISBN 0-19-877520-2 。 ファシアーネ、カービー・アダム・ジュニア（2006）。実証的および定量的ファイナンス のための統計学。HCベアード。ISBN 0-9788208-9-4 。 『Journal of Business and Economic Statistics』の特集号：第14巻第3号および第20巻第4号 [ リンク削除] 
![{\displaystyle m(\theta _{0})\equiv \operatorname {E} [\,g(Y_{t},\theta _{0})\,]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6eb50bfdb16db36faaac02093b72fb142e45d30)
![{\displaystyle \scriptstyle {\hat {m}}(\theta )\,\approx \;\operatorname {E} [g(Y_{t},\theta )]\,=\,m(\theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67c713760af39dc997d8e3ed3eeba874f29d67b2)
![{\displaystyle \,W\operatorname {E} [\,g(Y_{t},\theta )\,]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2fd2fcdfd89cc6a0be0879250b2b34232def8a8)
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![{\displaystyle G=\operatorname {E} [\,\nabla _{\!\theta }\,g(Y_{t},\theta _{0})\,],\qquad \Omega =\operatorname {E} [\,g(Y_{t},\theta _{0})g(Y_{t},\theta _{0})^{\mathsf {T}}\,]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ea2118c8bb44028895772ba13999a6ec5b1d6cc)
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![\displaystyle {\sqrt {T}}{\big (}{\hat {\theta }}-\theta _{0}{\big )}\ \xrightarrow {d} \ {\mathcal {N}}{\big [}0,(G^{\mathsf {T}}\,\Omega ^{-1}G)^{-1}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d194c7c44b4e7dd7d031e075f820ce9cdb77944c)
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