ガウスの補題（多項式）

代数学において、カール・フリードリヒ^・ガウスにちなんで名付けられたガウスの補題[ ^{1 ]}は、^整数上の多項式、あるいはより一般的には一意因数分解領域（つまり、算術の基本定理と同様の一意因数分解特性を持つ環）上の多項式に関する定理^{[注1 ]}である。ガウスの補題は、そのような多項式の因数分解と最大公約数に関するすべての理論の基礎となっている。

ガウスの補題は、彼の著書『算術研究』の第42条に初めて登場し、 PとQが有理係数を持つ単項式多項式であり、係数がすべて整数でない場合、それらの積PQの係数もすべて整数にはなり得ない、という記述である。

現代において、ガウスの補題は、2つの原始多項式の積は原始多項式であると主張する。（係数が整数である多項式は、その係数の最大公約数が1である場合に原始多項式である。 ^{[注2 ]}）

ガウスの補題の系（ガウスの補題とも呼ばれる）は、原始多項式が整数上で既約であるのは、それが有理数上で既約である場合に限る、というものである。より一般的には、原始多項式は整数上と有理数上で同じ完全な因数分解を持つ。一意因数分解領域Rの係数の場合、「有理数」は「 Rの分数体」に置き換えられる。これは、R が体、整数環、または一意因数分解領域のいずれかである場合、 R上のすべての多項式環（1 個または複数の不定元を含む）が一意因数分解領域であることを意味する。もう 1 つの帰結は、整数または有理係数を持つ多項式の因数分解と最大公約数の計算は、整数と原始多項式に対する同様の計算に還元できるということである。これは、実装されているすべてのアルゴリズムで体系的に使用されています（多項式の最大公約数と多項式の因数分解を参照）。

ガウスの補題、および完全因数分解の存在を伴わないその帰結は、任意のGCD 領域(最大公約数が存在する整域) 上で真であり続けます。特に、GCD 領域上の多項式環は、GCD 領域でもあります。係数が単位イデアルを生成するような多項式を原始的と呼ぶ場合、ガウスの補題はすべての可換環上で真です。^{[ 2 ]}ただし、この原始的の定義を使用する際には注意が必要です。主イデアル領域ではない一意因数分解領域上では、上記の意味では原始的であるが、この新しい意味では原始的ではない多項式が存在するからです。

もし${\displaystyle F(X)=a_{0}+a_{1}X+\dots +a_{n}X^{n}}$は整数係数の多項式である。${\displaystyle F}$すべての係数の最大公約数が原始的である場合、それは原始的と呼ばれます。${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}}$は 1 です。つまり、すべての係数を割り切る素数は存在しません。

証明: 明らかに、2 つの原始多項式の積f ( x ) g ( x ) は整数係数を持ちます。したがって、原始的でない場合、そのすべての係数の共通約数となる素数pが存在しなければなりません。しかし、 p はf ( x ) またはg ( x )のどちらの係数も割り切れません(そうでなければ、それらは原始的ではありません)。f ( x ) で p で割り切れない最初の項を a r x r とし、g ( x )で_pで^割り切れない最初の項を b s x s とします。ここで、積の項_x r ⁺ s を考え^{ます。その}係数は

${\displaystyle \cdots +a_{r+2}b_{s-2}+a_{r+1}b_{s-1}+a_{r}b_{s}+a_{r-1}b_{s+1}+a_{r-2}b_{s+2}+\cdots .}$

項a _r b _{s は}pで割り切れません( pは素数であるため)。しかし、残りの項はすべて割り切れるため、全体の和はpで割り切れません。仮定により、積のすべての係数はpで割り切れるため、矛盾が生じます。したがって、積の係数は共通の約数を持たず、原始数となります。${\displaystyle \square }$

より一般的な場合の証明を以下に示します。Zの既約要素(素数)は、 Z [ X ] の定数多項式として見ても依然として既約であることに注意してください。これが、この記述で「非定数」が必要となる理由です。

ガウスの補題は、任意の一意因数分解領域においてより一般的に成り立つ。そこでは、多項式Pの内容c ( P )は、 Pの係数の最大公約数として定義できる(最大公約数と同様に、内容は実際には関連する要素の集合である)。係数が UFD Rに含まれる多項式P は、 Pのすべての係数を一度に割り切るRの要素がRの可逆要素のみである場合、すなわち係数の最大公約数が 1 である場合に、原始的であると言われる。

原始性に関する記述: Rが UFD である場合、 R [ X ]の原始多項式の集合は乗法に関して閉じている。より一般的には、積の内容は${\displaystyle fg}$多項式の積は${\displaystyle c(f)c(g)}$それぞれの内容について。

既約性の記述: R を一意分解領域とし、F をその分数の体とする。非定数多項式${\displaystyle f}$で${\displaystyle R[x]}$還元不可能${\displaystyle R[x]}$かつそれが両方とも既約である場合に限る${\displaystyle F[x]}$そして原始的${\displaystyle R[x]}$。

（証明については、下記の「一般版」を参照してください。）

させて${\displaystyle R}$分数の体を持つ一意の因数分解領域である${\displaystyle F}$。 もし${\displaystyle f\in F[x]}$は多項式である${\displaystyle F}$そして何人かのために${\displaystyle d}$で${\displaystyle R}$、${\displaystyle df}$係数を持つ${\displaystyle R}$、そして、最大公約数を因数分解すると${\displaystyle q}$係数については、次のように書くことができます。${\displaystyle df=qf'}$ある原始多項式に対して${\displaystyle f'\in R[x]}$確認できるように、この多項式は${\displaystyle f'}$は単位による乗算を除いて一意であり、の原始部分（または原始代表）と呼ばれます。${\displaystyle f}$そして、で表されます。${\displaystyle \operatorname {pp} (f)}$この手順は、以下の製品と互換性があります。${\displaystyle \operatorname {pp} (fg)=\operatorname {pp} (f)\operatorname {pp} (g)}$。

この構文は、次の文を示すために使用できます。

• UFD上の多項式環はUFDである。

実際、帰納法によって、以下を示すだけで十分である。${\displaystyle R[x]}$UFD の場合${\displaystyle R}$UFD です。${\displaystyle f\in R[x]}$ゼロでない多項式とする。さて、${\displaystyle F[x]}$は一意分解領域であり（主イデアル領域であるため）、したがって、 の多項式として${\displaystyle F[x]}$、${\displaystyle f}$次のように因数分解できます。

${\displaystyle f=g_{1}g_{2}\dots g_{r}}$

どこ${\displaystyle g_{i}}$は既約多項式である${\displaystyle F[x]}$さあ、私たちは書きます${\displaystyle f=cf'}$最大公約数${\displaystyle c}$係数の${\displaystyle f}$（そして${\displaystyle f'}$（これは原始的な部分です）そして：

${\displaystyle f=cf'=c\operatorname {pp} (g_{1})\operatorname {pp} (g_{2})\cdots \operatorname {pp} (g_{r}).}$

今、${\displaystyle c}$は、​${\displaystyle R}$（以来${\displaystyle R}$は UFD であり、${\displaystyle R}$は、${\displaystyle R[x]}$、 として${\displaystyle R[x]/(p)\cong R/(p)[x]}$は整域である。したがって、${\displaystyle c}$素因数分解（または既約数への一意の因数分解）が可能である。次に、${\displaystyle f'=\operatorname {pp} (g_{1})\cdots \operatorname {pp} (g_{r})}$は、既約要素への一意的な因数分解である。${\displaystyle R[x]}$（１）それぞれ${\displaystyle \operatorname {pp} (g_{i})}$既約性ステートメントにより既約であり、(2) の因数分解により一意である。${\displaystyle f'}$は、${\displaystyle F[x]}$そして、その因数分解は一意です。${\displaystyle c}$そして${\displaystyle f'}$は、${\displaystyle f}$単位要素まで、上記の因数分解${\displaystyle f}$これは既約要素への一意的な因数分解である。${\displaystyle \square }$

「 Rは一意分解領域である」という条件は、この環のすべての既約要素が素元でもあることを意味し、さらにRのすべての非ゼロ要素は、順序と関連関係を除いて、既約要素と単位の積への分解が最大で 1 つであることを意味するため、冗長ではありません。分解が一意でない環、たとえばpとqがもう一方の側のどの因子も割り切れない既約要素であるpa = qbの場合、積( p + qX )( a + qX ) = pa + ( p + a ) qX + q ² X ² = q ( b + ( p + a ) X + qX ² )は、原始性ステートメントの失敗を示します。具体的な例として、 R = Z [ i √5]、p = 1 + i √5、a = 1 − i √5、q = 2、b = 3を取ることができます。この例では、多項式3 + 2 X + 2 X ² (右辺をq = 2で割って得られる) は、既約性の主張が成り立たない例を示しています (これはR上では既約ですが、分数体Q [ i √5]上では既約です)。もう 1 つのよく知られた例は、多項式X ² − X − 1です。その根は黄金比φ = (1 + √5)/2とその共役(1 − √5)/2であり、これは体Q [√5]上では既約であることを示していますが、分数体としてQ [√5]を持つ非 UFD Z [√5]上では既約です。後者の例では、 Q [ ^√5 ] (ディリクレ整数環) におけるその整数閉包 Z [φ] を取ることで、環をUFDにすることができます。− 1 は可約になるが、前の例ではRはすでに整閉である。

させて${\displaystyle R}$可換環である。${\displaystyle f}$は多項式である${\displaystyle R[x_{1},\dots ,x_{n}]}$すると、${\displaystyle \operatorname {cont} (f)}$理想のために${\displaystyle R}$すべての係数によって生成される${\displaystyle f}$; それは内容と呼ばれます${\displaystyle f}$。 ご了承ください${\displaystyle \operatorname {cont} (af)=a\operatorname {cont} (f)}$各${\displaystyle a}$で${\displaystyle R}$次の命題は、より実質的な性質を述べている。

多項式${\displaystyle f}$原始的であると言われるのは、${\displaystyle \operatorname {cont} (f)}$単位は理想的ですか${\displaystyle (1)}$[ ^{4 ]の}場合${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$（あるいはもっと一般的に言えば、${\displaystyle R}$はベズー領域である）、これは原始多項式の通常の定義と一致する。（ただし、${\displaystyle R}$これは単なる UFD であり、この定義は#一意因数分解ドメインのステートメントにおける原始性の定義と矛盾しています。)

証明:これは事実^{[ 5 ]}を使えば簡単である。${\displaystyle {\sqrt {I}}=(1)}$暗示する${\displaystyle I=(1).}$${\displaystyle \square }$

証拠：（${\displaystyle \Rightarrow }$まず、係数の最大公約数は${\displaystyle f}$そうでなければ、いくつかの要素を因数分解できるので、1 になります。${\displaystyle c\in R}$係数から${\displaystyle f}$書く${\displaystyle f=cf'}$還元不可能性と矛盾する${\displaystyle f}$次に、${\displaystyle f=gh}$定数でない多項式の場合${\displaystyle g,h}$で${\displaystyle F[x]}$そして、${\displaystyle d\in R}$多項式${\displaystyle dg}$係数を持つ${\displaystyle R}$したがって、最大公約数を因数分解することで${\displaystyle q}$係数については、次のように書きます。${\displaystyle dg=qg'}$. 同じようにして${\displaystyle h}$そして私たちは書くことができる${\displaystyle f=cg'h'}$一部の人にとって${\displaystyle c\in F}$さあ、${\displaystyle c=a/b}$一部の人にとって${\displaystyle a,b\in R}$。 それから${\displaystyle bf=ag'h'}$これから、命題を用いると、次の式が得られる。

${\displaystyle (b)\supset \operatorname {gcd} (\operatorname {cont} (bf))=(a)}$。

つまり、${\displaystyle b}$分ける${\displaystyle a}$。 したがって、${\displaystyle c\in R}$そして因数分解${\displaystyle f=cg'h'}$還元不可能性と矛盾する${\displaystyle f}$。

（${\displaystyle \Leftarrow }$） もし${\displaystyle f}$は還元不可能である${\displaystyle F}$ならば、それは既約である${\displaystyle R}$または定数多項式を因数として含む場合、仮定により2番目の可能性は除外されます。${\displaystyle \square }$

命題の証明：明らかに、${\displaystyle \operatorname {cont} (fg)\subset \operatorname {cont} (f)\operatorname {cont} (g)}$。 もし${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$素イデアルを含む${\displaystyle \operatorname {cont} (fg)}$、 それから${\displaystyle fg\equiv 0}$モジュロ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$。 以来${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}[x_{1},\dots ,x_{n}]}$は整域上の多項式環であり、したがって整域である。これは以下を意味する。${\displaystyle f\equiv 0}$または${\displaystyle g\equiv 0}$モジュロ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$したがって、${\displaystyle \operatorname {cont} (f)}$または${\displaystyle \operatorname {cont} (g)}$に含まれる${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$。 以来${\displaystyle {\sqrt {\operatorname {cont} (fg)}}}$は、すべての素イデアルの共通部分であり、${\displaystyle \operatorname {cont} (fg)}$そして選択${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$恣意的であった、${\displaystyle \operatorname {cont} (f)\operatorname {cont} (g)\subset {\sqrt {\operatorname {cont} (fg)}}}$。

次に「さらに」の部分を証明する。係数から最大公約数をくくり出すと、次のように書ける。${\displaystyle f=af'}$そして${\displaystyle g=bg'}$ここで、係数の最大公約数は${\displaystyle f',g'}$両方とも1です。明らかに、主張を証明するには、${\displaystyle f,g}$に置き換えられる${\displaystyle f',g'}$;したがって、係数の最大公約数は${\displaystyle f,g}$両方とも1です。残りの証明は簡単で分かりやすいです。${\displaystyle R}$は一意の因数分解領域であるため、ここではその場合の証明を示します（最大公約数の場合の証明については^{[注4 ]を参照してください）。}${\displaystyle \gcd(\operatorname {cont} (fg))=(1)}$ならば、証明すべきことは何もない。では、そうでないと仮定すると、 の係数を割り切る非単位元が存在する。${\displaystyle fg}$その要素を素数の積に因数分解すると、その要素は素数であることがわかります。${\displaystyle \pi }$さあ、これで次のようになります。

${\displaystyle (\pi )={\sqrt {(\pi )}}\supset {\sqrt {\operatorname {cont} (fg)}}\supset \operatorname {cont} (f)\operatorname {cont} (g)}$。

したがって、${\displaystyle (\pi )}$含まれる${\displaystyle \operatorname {cont} (f)}$または${\displaystyle \operatorname {cont} (g)}$係数の最大公約数に矛盾する${\displaystyle f,g}$両方とも1です。${\displaystyle \square }$

• 注記：GCD ドメイン (例えば、一意の因数分解ドメイン) 上では、多項式のすべての係数の最大公約数は${\displaystyle f}$単位要素まで一意であり、内容とも呼ばれる${\displaystyle f}$。

ガウスの補題から、各一意の因数分解領域に対して次のことが導かれる。${\displaystyle R}$多項式環${\displaystyle R[X_{1},X_{2},...,X_{n}]}$は一意の因数分解領域でもあります（一意の因数分解領域については「#Statements」を参照）。ガウスの補題は、アイゼンシュタインの既約性判定条件を示すためにも使用できます。最後に、円分多項式（整数係数を持つ単位元）が既約であることを示すためにも使用できます。

ガウスの補題は、次の命題を示唆する。

• もし${\displaystyle f(x)}$は、一意の因数分解領域に係数を持つ、1変数の単項式多項式である。${\displaystyle R}$（またはより一般的にはGCDドメイン）のルートは${\displaystyle f}$それは分数の分野です${\displaystyle F}$の${\displaystyle R}$は${\displaystyle R}$[^{注5 ]}

もし${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$すると、整数上の単項式の有理根は整数であると述べられます（有理根定理を参照）。この記述を確認するには、${\displaystyle a/b}$根源となる${\displaystyle f}$で${\displaystyle F}$そして仮定する${\displaystyle a,b}$互いに素である。${\displaystyle F[x]}$私たちは書くことができます${\displaystyle f=(x-a/b)g}$と${\displaystyle cg\in R[x]}$一部の人にとって${\displaystyle c\in R}$。 それから

${\displaystyle cbf=(bx-a)cg}$

は因数分解である${\displaystyle R[x]}$。 しかし${\displaystyle bx-a}$は原始的であり（UFDの意味において）、したがって${\displaystyle cb}$係数を割る${\displaystyle cg}$ガウスの補題により、

${\displaystyle f=(bx-a)h}$

と${\displaystyle h}$で${\displaystyle R[x]}$。 以来${\displaystyle f}$モニックである場合、これは次の場合にのみ可能です。${\displaystyle b}$単位です。

同様の議論は以下を示している。

• させて${\displaystyle R}$分数の体を持つ最大公約数領域である${\displaystyle F}$そして${\displaystyle f\in R[x]}$。 もし${\displaystyle f=gh}$ある多項式に対して${\displaystyle g\in R[x]}$それはUFDの意味では原始的であり、${\displaystyle h\in F[x]}$、 それから${\displaystyle h\in R[x]}$。

既約性の条件は、代数的整数の有理数上の最小多項式が整数係数を持つことも意味する。

• Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1969), Introduction to Commutative Algebra , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
• アイゼンバッド、デイビッド（1995）、『可換代数』、大学院数学テキスト、第 150巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、doi：10.1007/978-1-4612-5350-1、ISBN 978-0-387-94268-1MR 1322960、ISBN​  978-0-387-94269-8