差分積分

数学的解析の一分野である分数解析において、微分積分は微分と積分を組み合わせた演算子である 。関数ƒに適用すると、fのq微分積分は次のように表される。

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f}$

は分数微分（q > 0 の場合）または分数積分（q < 0 の場合）です。q = 0 の場合、関数のq番目の微分積分は関数自体です。分数積分と微分では、微分積分にはいくつかの定義があります。

最も一般的な 4 つの形式は次のとおりです。

• リーマン・リウヴィルの微積分
  これは最も単純で使いやすいため、最も頻繁に使用されます。これは、任意の順序での繰り返し積分に対するコーシーの公式の一般化です。ここでは、です。${\displaystyle n=\lceil q\rceil }$$${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{a}^{RL}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&={\frac {1}{\Gamma (n-q)}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\int _{a}^{t}(t-\tau )^{n-q-1}f(\tau )d\tau \end{aligned}}}$$
• グルンヴァルトとレトニコフの差分積分
  グルンワルド-レトニコフの微分積分は、微分の定義を直接一般化したものです。リーマン-リウヴィルの微分積分よりも使用が難しいですが、リーマン-リウヴィルでは解けない問題を解くために使用できる場合もあります。$${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{a}^{GL}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&=\lim _{N\to \infty }\left[{\frac {t-a}{N}}\right]^{-q}\sum _{j=0}^{N-1}(-1)^{j}{q \choose j}f\left(t-j\left[{\frac {t-a}{N}}\right]\right)\end{aligned}}}$$
• ワイル微分積分
  これは形式的にはリーマン・リウヴィルの微分積分に似ていますが、周期関数に適用され、周期にわたって積分がゼロになります。
• カプトは異なる
  リーマン-リウヴィルの微分積分とは逆に、定数のカプト微分はゼロに等しくなります。さらに、ラプラス変換の形式を使用すると、点における有限の整数次微分を計算することで、初期条件を簡単に評価できます。${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle a}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{a}^{C}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&={\frac {1}{\Gamma (n-q)}}\int _{a}^{t}{\frac {f^{(n)}(\tau )}{(t-\tau )^{q-n+1}}}d\tau \end{aligned}}}$$

リウヴィル、フーリエ、グルンワルド、レトニコフによって与えられた分数微分の定義は一致しています。^[1]これらはラプラス変換、フーリエ変換、またはニュートン級数展開によって表すことができます。

連続フーリエ変換を思い出してください。ここでは次のように表記されます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$$${\displaystyle F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt}$$

連続フーリエ変換を使用すると、フーリエ空間では微分が乗算に変換されます。 $${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=i\omega {\mathcal {F}}[f(t)]}$$

つまり、 一般化すると $${\displaystyle {\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{n}{\mathcal {F}}[f(t)]\right\}}$$$${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{q}{\mathcal {F}}[f(t)]\right\}.}$$

両側ラプラス変換（ここでは と表記しと定義）の下では、微分は乗算に変換される。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\textstyle {\mathcal {L}}[f(t)]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt}$$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=s{\mathcal {L}}[f(t)].}$$

任意の順序に一般化して を解くと、次式が得られる。 ${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(t)}$$${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{q}{\mathcal {L}}[f(t)]\right\}.}$$

ニュートン級数による表現は、連続する整数次数に対するニュートン補間です。

$${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(t)=\sum _{m=0}^{\infty }{\binom {q}{m}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}(-1)^{m-k}f^{(k)}(x).}$$

このセクションで説明する分数微分定義では、次の恒等式が成立します。

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(t^{n})={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (n+1-q)}}t^{n-q}}$

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(\sin(t))=\sin \left(t+{\frac {q\pi }{2}}\right)}$

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(e^{at})=a^{q}e^{at}}$^[2]

• 直線性のルール $${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(f+g)=\mathbb {D} ^{q}(f)+\mathbb {D} ^{q}(g)}$$

$${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(af)=a\mathbb {D} ^{q}(f)}$$

• ゼロルール $${\displaystyle \mathbb {D} ^{0}f=f}$$
• 積のルール $${\displaystyle \mathbb {D} _{t}^{q}(fg)=\sum _{j=0}^{\infty }{q \choose j}\mathbb {D} _{t}^{j}(f)\mathbb {D} _{t}^{q-j}(g)}$$

一般的に、合成（または半群）規則は望ましい特性ですが、数学的に達成することは困難であり、したがって提案された各演算子によって常に完全に満たされるわけではありません。 ^[3]これは、どれを選択するかを決定するプロセスの一部を形成します。

• ${\textstyle \mathbb {D} ^{a}\mathbb {D} ^{b}f=\mathbb {D} ^{a+b}f}$（理想的には）
• ${\textstyle \mathbb {D} ^{a}\mathbb {D} ^{b}f\neq \mathbb {D} ^{a+b}f}$（実際）

• 分数次積分器

• MathWorld – 分数計算
• MathWorld – 分数微分
• 専門誌: Fractional Calculus and Applied Analysis (1998-2014) および Fractional Calculus and Applied Analysis (2015 年以降)
• 専門誌: 分数微分方程式 (FDE)
• 専門誌: Communications in Fractional Calculus ( ISSN  2218-3892)
• 専門誌：分数微積分と応用ジャーナル（JFCA）
• ロレンゾ、カール F.、ハートレー、トム T. (2002)。「初期化された分数計算」。情報技術。Tech Briefs Media Group。
• https://web.archive.org/web/20040502170831/http://unr.edu/homepage/mcubed/FRG.html
• Igor Podlubny による関連書籍、記事、リンク、ソフトウェアなどのコレクション。
• Podlubny, I. (2002). 「分数積分と分数微分に関する幾何学的および物理的解釈」(PDF) . Fractional Calculus and Applied Analysis . 5 (4): 367– 386. arXiv : math.CA/0110241 . Bibcode :2001math.....10241P. 2006-04-07 にオリジナル(PDF)からアーカイブ。2004-05-18に取得。
• Zavada, P. (1998). 「複素平面における分数微分演算子」. Communications in Mathematical Physics . 192 (2): 261– 285. arXiv : funct-an/9608002 . Bibcode :1998CMaPh.192..261Z. doi :10.1007/s002200050299. S2CID  1201395.