オイラーは定理を次のように述べている。[ 1 ]
定理。 Quomodocunque sphaera は、中心部の最高の直径、 最高の直径、現場での翻訳、現場での最初の指示を参照します。
または（英語で）：
球をその中心軸を中心に回転させると、移動後の位置における直径の方向が、元の位置における直径の方向と同じになることが必ず可能である。
図1 ：球面上の青い大円は、点 O
証拠 オイラーの元の証明は球面幾何学 を用いて行われたため、彼が三角形について語るときは常に球面三角形 として理解されなければならない。
以前の分析 証明にたどり着くために、オイラーは定理が真である場合の状況を分析します。そのために、図1 の黄色の線が球の中心を通り、探している回転軸であると仮定し、点Oがその軸と球との2つの交点のうちの1つであるとします。次に、 O O A A A
図2 ： A α aを、 A AO ここで、A a 、 α 図 2 を参照)。次に、 α aを A αAは弧 Aa O αOAは三角形 AOa AO は ∠ αAa を二等分します。
図3 ：Oは O′ O′は O
最良候補点の構築 これまでの考察を用いて、不変となる点を構成してみましょう。まず、図1 に示すような青い大円と、その変換後の像である赤い大円から始めます。点A Aの像が同じ点であれば、 Aは変換の固定点となり、中心も固定点であるため、 A
そうでない場合は、 A a α αA Aaで A αAa を二等分する大円を作図し、弧 AO aO が Oを配置し、 O ∠ αAa 図 3 の黄色の領域です。) すると、 αA = Aa O は ∠ αAa αO = aO
ここで、 O′が O ∠ αAO = ∠ AaO′ であり、向きは保存されるので、 [ a ] 、 O′ は ∠ αAa の内部にあるはずです。ここで、AOは aO′ AO = aO′ は aO aO = aO′ ∠ AaO = ∠ aAO です。しかし、∠ αAO = ∠ aAO なので、∠ αAO = ∠ AaO であり、∠ AaO = ∠ AaO′ です。したがって、 O′は O Oは変換の固定点であり、中心も固定点なので、 O
建設に関する最終的な注意事項 オイラーの原図では、ABCは青い円、ACcは赤い円で示されている。 オイラーはまた、 Oは Aaの垂直二等分線と∠αAa の 角 の二等分線の交点によって見つけることができると指摘しており、これは実際にはより簡単に作図できるかもしれない。彼はまた、2つの平面の交点を提案した。
角度∠αAa の対称面（球の中心C を 弧Aaの対称面 (これも C 命題 ：これら2つの平面は直径で交わる。この直径こそが我々が求めている直径である。証明 。球面上のこの直径の両端点（2つある）のいずれかをO は Aa OαA OAa O 系 。これはまた、球の回転が、上述の2つの平面に関する2つの連続した鏡映として見ることができることを示している。鏡面上の点は鏡映に対して不変であり、したがってそれらの交点（直線：回転軸）上の点は両方の鏡映に対して不変であり、したがって回転に対しても不変である。回転軸を見つけるもう一つの簡単な方法は、点α A aが Cを通ります。
剛体の場合、軸を不変に保つあらゆる動きは回転であるということを考えると、任意の回転の組み合わせは、新しい軸を中心とした単一の回転と等価であることが証明される。
マトリックス証明 空間回転は、座標ベクトル x を X 3 × 3 回転行列 R Rx = X Rに対して、 Rn = n n n が 固有値 1に関連付けられたR 固有ベクトル であるという主張です。したがって、1 がR 。R n μ nになります。
回転行列には、その逆行列がその転置行列であるという基本的な性質があります。
R T R = R R T = 私 、 {\displaystyle \mathbf {R} ^{\mathsf {T}}\mathbf {R} =\mathbf {R} \mathbf {R} ^{\mathsf {T}}=\mathbf {I} ,} ここで、I 3×3の 単位行列 であり、上付き文字Tは転置行列を表す。
この関係の行列式を計算すると、回転行列の行列式 は±1であることがわかります。特に、
1 = 検出 （ 私 ） = 検出 （ R T R ） = 検出 （ R T ） 検出 （ R ） = 検出 （ R ） 2 ⟹ 検出 （ R ） = ± 1. {\displaystyle {\begin{aligned}1=\det(\mathbf {I} )&=\det \left(\mathbf {R} ^{\mathsf {T}}\mathbf {R} \right)=\det \left(\mathbf {R} ^{\mathsf {T}}\right)\det(\mathbf {R} )=\det(\mathbf {R} )^{2}\\\Longrightarrow \qquad \det(\mathbf {R} )&=\pm 1.\end{aligned}}} 行列式が+1の回転行列は適切な回転であり、行列式が-1の負の回転行列は不適切な回転 、つまり適切な回転と鏡映が組み合わさったものである。
ここで、適切な回転行列R に n Rn = n ( R − I ) n = 0を必要とするため、ベクトル n は R λ = 1の 固有ベクトル でなければならないことがわかる。したがって、これはdet( R − I ) = 0 を示すことと同等である。
2つの関係を使用する
検出 （ − A ） = （ − 1 ） 3 検出 （ A ） = − 検出 （ A ） {\displaystyle \det(-\mathbf {A} )=(-1)^{3}\det(\mathbf {A} )=-\det(\mathbf {A} )\quad } 任意の3 × 3 行列A および
検出 （ R − 1 ） = 1 {\displaystyle \det \left(\mathbf {R} ^{-1}\right)=1\quad } （ det( R ) = 1 なので）
検出 （ R − 私 ） = 検出 （ （ R − 私 ） T ） = 検出 （ R T − 私 ） = 検出 （ R − 1 − R − 1 R ） = 検出 （ R − 1 （ 私 − R ） ） = 検出 （ R − 1 ） 検出 （ − （ R − 私 ） ） = − 検出 （ R − 私 ） ⟹ 0 = 検出 （ R − 私 ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}&\det(\mathbf {R} -\mathbf {I} )=\det \left((\mathbf {R} -\mathbf {I} )^{\mathsf {T}}\right)\\{}={}&\det \left(\mathbf {R} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {I} \right)=\det \left(\mathbf {R} ^{-1}-\mathbf {R} ^{-1}\mathbf {R} \right)\\{}={}&\det \left(\mathbf {R} ^{-1}(\mathbf {I} -\mathbf {R} )\right)=\det \left(\mathbf {R} ^{-1}\right)\,\det(-(\mathbf {R} -\mathbf {I} ))\\{}={}&-\det(\mathbf {R} -\mathbf {I} )\\[3pt]\Longrightarrow \ 0={}&\det(\mathbf {R} -\mathbf {I} ).\end{aligned}}} これは、λ = 1が特性方程式 の根（解）であることを示している。
検出 （ R − λ 私 ） = 0 のために λ = 1. {\displaystyle \det(\mathbf {R} -\lambda \mathbf {I} )=0\quad {\hbox{for}}\quad \lambda =1.} 言い換えれば、行列R − I 核 を持ちます。つまり、少なくとも 1 つの非ゼロベクトル、例えばn
（ R − 私 ） n = 0 ⟺ R n = n 。 {\displaystyle (\mathbf {R} -\mathbf {I} )\mathbf {n} =\mathbf {0} \quad \Longleftrightarrow \quad \mathbf {R} \mathbf {n} =\mathbf {n} .} 実数μ に対する直線μn は Rの μn は
R は det( R ) =1 は 3 つの固有値の積であるため、それらすべてが 1 であるか、または 1 つだけが 1 であるかのいずれかになります。そうでない場合、固有値は {-1,-1,-1} または {-1,1,1} または {-1, e^{\pm i\theta}} となり、 det( R ) =-1 となりますが、これはdet( R ) =1 と矛盾します。したがって、 R n n n
私
直交行列と回転行列の等価性 2つの行列（線形写像を表す）は、基底変換 によって一方が他方と等しくなる場合、等価であると言われます。真の直交行列は 、常に（この意味で）次の行列、またはその垂直方向の鏡像のいずれかと等価です。
R ～ （ コス ϕ − 罪 ϕ 0 罪 ϕ コス ϕ 0 0 0 1 ） 、 0 ≤ ϕ ≤ 2 π 。 {\displaystyle \mathbf {R} \sim {\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}},\qquad 0\leq \phi \leq 2\pi .} すると、任意の直交行列は回転行列か不適切回転行列 のいずれかになります。一般的な直交行列は、+1 または -1 のいずれかの実固有値を 1 つだけ持ちます。固有値が +1 の場合、行列は回転行列です。固有値が -1 の場合、行列は不適切回転行列です。
R が φ = 0R = I 任意のベクトルは I
行列理論への探求 前述の等式を証明するためには、行列理論におけるいくつかの事実を思い出す必要がある。
m × m Aが m 個 A 正規行列 、すなわちA † A = AA † [ b ] この結果は、
A U = U 診断 （ α 1 、 … 、 α m ） ⟺ U † A U = 診断 （ α 1 、 … 、 α m ） 、 {\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {U} =\mathbf {U} \;\operatorname {diag} (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m})\quad \Longleftrightarrow \quad \mathbf {U} ^{\dagger }\mathbf {A} \mathbf {U} =\operatorname {diag} (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m}),} また、U
U † = U − 1 。 {\displaystyle \mathbf {U} ^{\dagger }=\mathbf {U} ^{-1}.} 固有値α 1 , ..., α m A
（ U † A U ） † = 診断 （ α 1 * 、 … 、 α m * ） = U † A − 1 U = 診断 （ 1 α 1 、 … 、 1 α m ） {\displaystyle \left(\mathbf {U} ^{\dagger }\mathbf {A} \mathbf {U} \right)^{\dagger }=\operatorname {diag} \left(\alpha _{1}^{*},\ldots ,\alpha _{m}^{*}\right)=\mathbf {U} ^{\dagger }\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} =\operatorname {diag} \left({\frac {1}{\alpha _{1}}},\ldots ,{\frac {1}{\alpha _{m}}}\right)} したがって、ユニタリ行列 の固有値は複素平面上の単位円上にある。
α k * = 1 α k ⟺ α k * α k = | α k | 2 = 1 、 k = 1 、 … 、 m 。 {\displaystyle \alpha _{k}^{*}={\frac {1}{\alpha _{k}}}\quad \Longleftrightarrow \quad \alpha _{k}^{*}\alpha _{k}=\left|\alpha _{k}\right|^{2}=1,\qquad k=1,\ldots ,m.} また、直交行列（実数ユニタリ行列）は複素平面上の単位円上に固有値を持つ。さらに、その特性方程式（λに関する m 次多項式）の係数は実数であるため、その根は複素共役のペアで現れる。つまり、α が根であれば、 α *も根
行列理論におけるこれらの一般的な事実を想起した後、回転行列Rに戻ります。その実数性と直交性から、次の条件を満たす U を
R U = U （ e 私 ϕ 0 0 0 e − 私 ϕ 0 0 0 ± 1 ） {\displaystyle \mathbf {R} \mathbf {U} =\mathbf {U} {\begin{pmatrix}e^{i\phi }&0&0\\0&e^{-i\phi }&0\\0&0&\pm 1\\\end{pmatrix}}} 上記の形式を与える行列U R {\displaystyle \mathbf {R} } × 3 行列Uの 3 番目の列は、不変ベクトル n 、 式 は の よう
R u 1 = e 私 ϕ u 1 そして R u 2 = e − 私 ϕ u 2 。 {\displaystyle \mathbf {R} \mathbf {u} _{1}=e^{i\phi }\,\mathbf {u} _{1}\quad {\hbox{and}}\quad \mathbf {R} \mathbf {u} _{2}=e^{-i\phi }\,\mathbf {u} _{2}.} u 1 の φ = 0u 2 R = I （ R − e 私 ϕ 私 ） u 1 = 0 {\displaystyle (\mathbf {R} -e^{i\phi }\mathbf {I} )\mathbf {u} _{1}=0} （ R − e − 私 ϕ 私 ） u 1 * = 0 {\displaystyle (\mathbf {R} -e^{-i\phi }\mathbf {I} )\mathbf {u} _{1}^{*}=0} u 2 = u 1 * {\displaystyle \mathbf {u} _{2}=\mathbf {u} _{1}^{*}} u 2 {\displaystyle \mathbf {u} _{2}} （ R − 私 ） u 3 = 0 {\displaystyle (\mathbf {R} -\mathbf {I} )\mathbf {u} _{3}=0} u 3 {\displaystyle \mathbf {u} _{3}} R {\displaystyle \mathbf {R} }
R U （ 1 2 私 2 0 1 2 − 私 2 0 0 0 1 ） = U （ 1 2 私 2 0 1 2 − 私 2 0 0 0 1 ） （ 1 2 1 2 0 − 私 2 私 2 0 0 0 1 ） ⏟ = 私 （ e 私 ϕ 0 0 0 e − 私 ϕ 0 0 0 1 ） （ 1 2 私 2 0 1 2 − 私 2 0 0 0 1 ） {\displaystyle \mathbf {R} \mathbf {U} {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}=\mathbf {U} \underbrace {{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {-i}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}} _{=\;\mathbf {I} }{\begin{pmatrix}e^{i\phi }&0&0\\0&e^{-i\phi }&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}} これにより
U ′ † R U ′ = （ コス ϕ − 罪 ϕ 0 罪 ϕ コス ϕ 0 0 0 1 ） と U ′ = U （ 1 2 私 2 0 1 2 − 私 2 0 0 0 1 ） 。 {\displaystyle \mathbf {U'} ^{\dagger }\mathbf {R} \mathbf {U'} ={\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\quad {\text{ with }}\quad \mathbf {U'} =\mathbf {U} {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}.} U ′u 1 {\displaystyle \mathbf {u} _{1}} u 2 {\displaystyle \mathbf {u} _{2}} u 3 {\displaystyle \mathbf {u} _{3}} u 3 = {\displaystyle \mathbf {u} _{3}=} n の場合、 U ′はn R は n を中心とした角度φ の回転と同等であること。
同値類 上記の実回転行列のトレース（対角要素の合計）は 1 + 2 cos φ です。トレース は直交 行列相似 変換の下で不変であるため、
T r [ A R A T ] = T r [ R A T A ] = T r [ R ] と A T = A − 1 、 {\displaystyle \mathrm {Tr} \left[\mathbf {A} \mathbf {R} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right]=\mathrm {Tr} \left[\mathbf {R} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right]=\mathrm {Tr} [\mathbf {R} ]\quad {\text{ with }}\quad \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}=\mathbf {A} ^{-1},} したがって、このような直交行列変換によってR クラス関数 です。この行列変換は明らかに同値関係 であり、つまり、このような等価なすべての行列は同値クラスを形成します。
実際、すべての適切な回転3 × 3 回転行列は、通常 SO(3) (3 次元の特殊直交群) で表される 群 を形成し、同じトレースを持つすべての行列はこの群の同値類を形成します。このような同値類のすべての要素は回転角を共有します が、すべての回転は異なる軸を中心に行われます。nが固有値 1 を持つ R Anも固有値 1 を持つ ARA T の固有ベクトルです。A = I で ない 限り、n An
アプリケーション
回転生成器 回転軸を単位ベクトル[ x , y , z ] で指定し、そのベクトルを中心とした角度Δ θ の無限小の回転 があると仮定します。回転行列を無限加算として展開し、一次近似を用いると、回転行列Δ R
Δ R = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] + [ 0 z − y − z 0 x y − x 0 ] Δ θ = 私 + A Δ θ 。 {\displaystyle \Delta R={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\,\Delta \theta =\mathbf {I} +\mathbf {A} \,\Delta \theta .} この軸を中心と した角度θ の有限回転は、同じ 軸を中心と と 、軸を中心としたθの回転は次 の 表す ます 。
R = （ 1 + A θ N ） N ≈ e A θ 。 {\displaystyle R=\left(\mathbf {1} +{\frac {\mathbf {A} \theta }{N}}\right)^{N}\approx e^{\mathbf {A} \theta }.} オイラーの定理は、基本的にすべての 回転をこの形式で表現できることを示していることがわかります。積A θ A ( x , y , z ) です。これは、回転行列と軸角 形式が指数関数によって関連付けられていることを示しています。
生成元Gの簡単な式を導出できます。まず、互いに垂直な単位ベクトル a b y x を x y G = ba T − ab T R
x = 1 コス α + b 罪 α y = − 1 罪 α + b コス α コス α = 1 T x 罪 α = b T x y = − 1 b T x + b 1 T x = （ b 1 T − 1 b T ） x x ′ = x コス β + y 罪 β = （ 私 コス β + （ b 1 T − 1 b T ） 罪 β ） x R = 私 コス β + （ b 1 T − 1 b T ） 罪 β = 私 コス β + G 罪 β G = b 1 T − 1 b T {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} &=\mathbf {a} \cos \alpha +\mathbf {b} \sin \alpha \\\mathbf {y} &=-\mathbf {a} \sin \alpha +\mathbf {b} \cos \alpha \\[8pt]\cos \alpha &=\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} \\\sin \alpha &=\mathbf {b} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} \\[8px]\mathbf {y} &=-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} +\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} =\left(\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {x} \\[8px]\mathbf {x} '&=\mathbf {x} \cos \beta +\mathbf {y} \sin \beta \\&=\left(\mathbf {I} \cos \beta +\left(\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}\right)\sin \beta \right)\mathbf {x} \\[8px]\mathbf {R} &=\mathbf {I} \cos \beta +\left(\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}\right)\sin \beta \\&=\mathbf {I} \cos \beta +\mathbf {G} \sin \beta \\[8px]\mathbf {G} &=\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}\end{aligned}}} 回転に平面外のベクトルを含めるには、空間を分割する 2 つの射影演算子 を含めることで、上記のR の式を修正する必要があります。この修正された回転行列は指数関数 として書き直すことができます。
P 1 b = − G 2 R = 私 − P 1 b + （ 私 コス β + G 罪 β ） P 1 b = e G β {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P_{ab}} &=-\mathbf {G} ^{2}\\\mathbf {R} &=\mathbf {I} -\mathbf {P_{ab}} +\left(\mathbf {I} \cos \beta +\mathbf {G} \sin \beta \right)\mathbf {P_{ab}} =e^{\mathbf {G} \beta }\end{aligned}}} 解析は、完全な回転行列を用いるよりも、これらの生成元を用いる方が容易な場合が多い。生成元を用いた解析は、回転群のリー代数として知られている。
四元数 オイラーの定理によれば、任意の2つの座標系の相対的な向きは、3つの独立した数の組で指定できる。四元数演算を簡略化するために、冗長な4番目の数が追加される場合もある。これらの数のうち3つは、固有ベクトルの向きを決定する方向余弦である。4つ目は、2つの座標系を分離する固有ベクトル周りの角度である。このような4つの数の組を四元数
上述の四元数は複素数を 含まないが、四元数を用いて連続する2つの回転を記述する場合、ウィリアム・ローワン・ハミルトン が虚数を用いて導出した非可換四元 数代数を用いてそれらを組み合わせる必要がある。
四元数を用いた回転計算は、必要な計算量を削減し、丸め誤差を最小限に抑えることができるため、航空宇宙分野では 方向余弦 の使用に取って代わるようになりました。また、コンピュータグラフィックス においても、四元数間の球面補間を比較的容易に行えることは大きな利点となります。
一般化 高次元では、 2 n 次元 または2 n + 1 次元で点を保持する任意の剛体運動は、直交する回転平面 での最大n 回の回転の合成ですが、これらの平面は一意に決定される必要はなく、剛体運動は複数の軸を固定することができます。また、2 n 2 n + 1次元で n次元の物体を張る n 回転平面 です。言い換えれば、同一の形状を持つ 2 つの剛体が、その内部で少なくともn 凸包が n 次元である場合、単一の平面回転によって、一方を2 n 次元 2 n + 1 次元で他方を正確に覆うことができます。
ねじり運動。 3次元空間において、必ずしも一点を固定しない剛体運動を「ねじ運動」と呼ぶ。これは、回転と軸に垂直な並進運動の合成は平行軸を中心とした回転運動となるのに対し、軸に平行な並進運動との合成はねじ運動となるためである（ねじ軸を参照）。このことから、 ねじ理論 が生まれた。
注記 ↑方向は、 αA が A を 中心に反時計回りに回転して OA に一致する 、 Aa は a を中心に 反時計回りに回転して O′a に一致する 必要がある という意味で保持されます。回転が時計回りの場合も同様です。 ↑ ダガー記号†は、 複素共役 の後に転置を行うことを意味します。実数行列の場合、複素共役は何も影響を与えず、実数行列にダガー記号を付けることは転置と同じです。
参考文献 ↑ Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 20、1776、pp. 189–207 (E478) この記事は、Citizendium の 記事「オイラーの定理（回転） 」の素材を取り入れています。この記事はCreative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported Licenseの下でライセンスされていますが、 GFDLの下ではライセンスされていません。 オイラーの定理とその証明は、10 月 9 日にサンクトペテルブルク アカデミーに提出さ れたL. Eulero (Leonhard Euler) の『Formulas generales pro translatione quacunque corporum richidorum (任意の剛体の翻訳のための一般式)』の付録 (Additamentum . pp. 201-203) の段落 24 ～ 26 に含まれています。 1775 年に出版され、Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 20、1776 年、189 ～ 207 ページ(E478) に初掲載され、 Theoria motus corporum richidorum 編に再版されました。 nova、1790 年、449 ～ 460 ページ(E478a)、およびその後の作品集『オペラ オムニア』 、シリーズ 2、第9 巻、84 ～ 98 ページ。 Palais, Bob; Palais, Richard; Rodi, Stephen (2009). 「回転軸に関するオイラーの定理の混乱を招く考察」. American Mathematical Monthly . 116 (10): 892–909 . doi : 10.4169/000298909x477014 .
外部リンク オイラーの原著論文（オイラーアーカイブ所蔵） ： E478の項目、初版発行1776年（PDF） オイラーの原文（ラテン語）と英語訳（ヨハン・ステンによる） オイラーの回転定理に関するWolfram Demonstrations Project（Tom Verhoeff著）
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\det(\mathbf {R} -\mathbf {I} )=\det \left((\mathbf {R} -\mathbf {I} )^{\mathsf {T}}\right)\\{}={}&\det \left(\mathbf {R} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {I} \right)=\det \left(\mathbf {R} ^{-1}-\mathbf {R} ^{-1}\mathbf {R} \right)\\{}={}&\det \left(\mathbf {R} ^{-1}(\mathbf {I} -\mathbf {R} )\right)=\det \left(\mathbf {R} ^{-1}\right)\,\det(-(\mathbf {R} -\mathbf {I} ))\\{}={}&-\det(\mathbf {R} -\mathbf {I} )\\[3pt]\Longrightarrow \ 0={}&\det(\mathbf {R} -\mathbf {I} ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a19bb96e6a44a0b965973b26e6afe5c63ba11407)
![{\displaystyle \mathrm {Tr} \left[\mathbf {A} \mathbf {R} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right]=\mathrm {Tr} \left[\mathbf {R} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right]=\mathrm {Tr} [\mathbf {R} ]\quad {\text{ with }}\quad \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}=\mathbf {A} ^{-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/899635016524f868479646782fb830845ff74608)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} &=\mathbf {a} \cos \alpha +\mathbf {b} \sin \alpha \\\mathbf {y} &=-\mathbf {a} \sin \alpha +\mathbf {b} \cos \alpha \\[8pt]\cos \alpha &=\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} \\\sin \alpha &=\mathbf {b} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} \\[8px]\mathbf {y} &=-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} +\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} =\left(\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {x} \\[8px]\mathbf {x} '&=\mathbf {x} \cos \beta +\mathbf {y} \sin \beta \\&=\left(\mathbf {I} \cos \beta +\left(\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}\right)\sin \beta \right)\mathbf {x} \\[8px]\mathbf {R} &=\mathbf {I} \cos \beta +\left(\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}\right)\sin \beta \\&=\mathbf {I} \cos \beta +\mathbf {G} \sin \beta \\[8px]\mathbf {G} &=\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d76b9d6b44bdc5ec71c43fbe44d67758962768e)
