ロジスティック分布

ロジスティック分布

確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle \mu ,}$ 場所（実際）規模（実際） ${\displaystyle s>0,}$
サポート	${\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}={\frac {1+\tanh {\frac {x-\mu }{2s}}} {2}}}$
クォンタイル	${\displaystyle \mu +s\log \left({\frac {p}{1-p}}\right)}$
平均	${\displaystyle \mu}$
中央値	${\displaystyle \mu}$
モード	${\displaystyle \mu}$
分散	${\displaystyle {\frac {s^{2}\pi ^{2}}{3}}}$
歪度	${\displaystyle 0}$
過剰尖度	${\displaystyle 6/5}$
エントロピ	${\displaystyle \ln s+2}$
MGF の	${\displaystyle e^{\mu t}\mathrm {B} (1-st,1+st)}$ はベータ関数である${\displaystyle t\in (-1/s,1/s)}$ ${\displaystyle \mathrm {B} }$
CF	${\displaystyle e^{it\mu }{\frac {\pi st}{\sinh(\pi st)}}}$
予想される不足額	${\displaystyle \mu +{\frac {sH(p)}{1-p}}}$ ここで、2進エントロピー関数[1]${\displaystyle H(p)}$ ${\displaystyle H(p)=-p\ln(p)-(1-p)\ln(1-p)}$

確率論と統計学において、ロジスティック分布は連続確率分布です。その累積分布関数はロジスティック関数であり、ロジスティック回帰とフィードフォワードニューラルネットワークに現れます。形状は正規分布に似ていますが、裾がより重くなっています（尖度が高い）。ロジスティック分布は、 Tukey ラムダ分布の特殊なケースです。

ロジスティック分布は、ロジスティック関数のファミリーのインスタンスである累積分布関数からその名前が付けられています。ロジスティック分布の累積分布関数は、双曲正接のスケールされたバージョンでもあります。

${\displaystyle F(x;\mu ,s)={\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {tanh} \left({\frac {x-\mu }{2s}}\right).}$

この式では、μは平均、s は標準偏差に比例する尺度パラメータです。

確率密度関数は累積分布関数の 偏微分です。

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\mu ,s)&={\frac {\partial F(x;\mu ,s)}{\partial x}}={\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}\\[4pt]&={\frac {1}{s\left(e^{(x-\mu )/(2s)}+e^{-(x-\mu )/(2s)}\right)^{2}}}\\[4pt]&={\frac {1}{4s}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x-\mu }{2s}}\right).\end{aligned}}}$

位置パラメータ μが0で尺度パラメータ sが1のとき、ロジスティック分布の 確率密度関数は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;0,1)&={\frac {e^{-x}}{(1+e^{-x})^{2}}}\\[4pt]&={\frac {1}{(e^{x/2}+e^{-x/2})^{2}}}\\[5pt]&={\frac {1}{4}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right).\end{aligned}}}$

この関数は双曲正割関数「sech」の2乗で表すことができるため、 sech-square(d)分布と呼ばれることもあります。^{[2] （}双曲正割分布も参照）。

ロジスティック分布の逆累積分布関数（分位関数）は、ロジット関数の一般化です。その導関数は分位密度関数と呼ばれます。これらは次のように定義されます。

${\displaystyle Q(p;\mu ,s)=\mu +s\ln \left({\frac {p}{1-p}}\right).}$

${\displaystyle Q'(p;s)={\frac {s}{p(1-p)}}.}$

ロジスティック分布の別のパラメータ化は、スケールパラメータ を標準偏差 で表すことにより、 を代入 （ここで ）で表すことによって導出できます。上記の関数の別の形式は、かなり単純です。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle s\,=\,q\,\sigma }$${\displaystyle q\,=\,{\sqrt {3}}/{\pi }\,=\,0.551328895\ldots }$

ロジスティック分布、およびその累積分布関数(ロジスティック関数) と分位関数(ロジット関数)の S 字型パターンは、さまざまな分野で広く使用されてきました。

最も一般的な応用例の 1 つはロジスティック回帰です。これは、標準的な線型回帰が連続変数(収入や人口など) のモデル化に使用されるのと同様に、カテゴリ 従属変数(はい/いいえの選択肢や 3 つまたは 4 つの選択肢など) のモデル化に使用されます。具体的には、ロジスティック回帰モデルは、ロジスティック分布に従う誤差変数を持つ潜在変数モデルとして表現できます。この表現は離散選択モデルの理論で一般的であり、ロジスティック回帰におけるロジスティック分布は、プロビット回帰における正規分布と同じ役割を果たします。実際、ロジスティック分布と正規分布の形状は非常に似ています。ただし、ロジスティック分布は裾が重いため、正規分布を使用する場合と比較して、ロジスティック分布に基づく分析の 堅牢性が向上することがよくあります。

この分布のPDFは、フェルミ関数の導関数と同じ関数形式を持ちます。半導体と金属の電子特性の理論では、この導関数は、電子輸送への寄与におけるさまざまな電子エネルギーの相対的な重みを設定します。分布の「平均」（フェルミレベル）に最も近いエネルギーを持つエネルギーレベルは、温度によって誘発される多少の不鮮明さはあるものの、電子伝導などのプロセスを支配します。^{[3] ：34}ただし、フェルミ-ディラック統計の適切な確率分布は、実際にはフェルミ関数によって与えられる確率係数を持つ単純なベルヌーイ分布です。

ロジスティック分布は、連続した速度変化の間のランダムな時間が線形に増加するパラメータを持つ独立した指数分布を持つ電信プロセスによって記述される有限速度減衰ランダム運動の極限分布として発生します。^[4]

水文学では、長期間の河川流量と降雨量（例えば、30 日間の値と 360 日間の値の合計からなる月間合計と年間合計）の分布は、中心極限定理^[5]に従ってほぼ正規分布になると考えられることが多い。しかし、正規分布には数値近似が必要である。解析的に解くことができるロジスティック分布は正規分布に似ているため、代わりにこれを使用することができる。青い図は、ほぼ正規分布している順位付けされた 10 月の降雨量にロジスティック分布を当てはめる例を示しており、二項分布に基づく90%信頼帯を示している。降雨量データは、累積頻度分析の一部として位置をプロットすることによって表される。

米国チェス連盟と FIDE は、チェスのレーティングを計算するための式を正規分布からロジスティック分布に変更しました。Eloレーティング システム(それ自体は正規分布に基づいています) に関する記事を参照してください。

• ロジスティック分布はsech 分布を模倣しますが、これらはChampernowne 分布の異なるケースです。
• もしそうなら。${\displaystyle X\sim \mathrm {Logistic} (\mu ,s)}$${\displaystyle kX+\ell \sim \mathrm {Logistic} (k\mu +\ell ,|k|s)}$
• U(0, 1)の場合、はロジット関数です。${\displaystyle X\sim }$ ${\displaystyle \mu +s\cdot {\text{logit}}(X)\sim \mathrm {Logistic} (\mu ,s)}$${\displaystyle {\text{logit}}(X)=\log X-\log(1-X)}$
• および が独立に である場合、 となります。${\displaystyle X\sim \mathrm {Gumbel} (\mu _{X},\beta )}$${\displaystyle Y\sim \mathrm {Gumbel} (\mu _{Y},\beta )}$${\displaystyle X-Y\sim \mathrm {Logistic} (\mu _{X}-\mu _{Y},\beta )\,}$
• ならば（合計はロジスティック分布ではありません）。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y\sim \mathrm {Gumbel} (\mu ,\beta )}$${\displaystyle X+Y\nsim \mathrm {Logistic} (2\mu ,\beta )\,}$${\displaystyle E(X+Y)=2\mu +2\beta \gamma \neq 2\mu =E\left(\mathrm {Logistic} (2\mu ,\beta )\right)}$
• X ~ Logistic( μ , s )の場合、 exp( X ) ~ LogLogistic、 exp( X ) + γ ~シフトされた log-logistic です。${\displaystyle \left(\alpha =e^{\mu },\beta ={\frac {1}{s}}\right)}$${\displaystyle \left(\alpha =e^{\mu },\beta ={\frac {1}{s}},\gamma \right)}$
• Xが指数関数( 1)ならば

${\displaystyle \mu +s\log(e^{X}-1)\sim \operatorname {Logistic} (\mu ,s).}$

• X、Y ~ Exponential(λ) が独立に成り立つ場合、

${\displaystyle \mu +s\log \left({\frac {X}{Y}}\right)\sim \operatorname {Logistic} (\mu ,s).}$

• メタログ分布はロジスティック分布の一般化であり、 によるべき級数展開がロジスティックパラメータおよびに置き換えられます。結果として得られるメタログ分位関数は形状の柔軟性が高く、単純な閉じた形式を持ち、線形最小二乗法でデータに適合できます。${\displaystyle p}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$

n次中心モーメントは、分位関数で表すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [(X-\mu )^{n}]&=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{n}\,dF(x)\\&=\int _{0}^{1}{\big (}Q(p)-\mu {\big )}^{n}\,dp=s^{n}\int _{0}^{1}\left[\ln \!\left({\frac {p}{1-p}}\right)\right]^{n}\,dp.\end{aligned}}}$

この積分はよく知られており^{[6] 、}ベルヌーイ数で表すことができます。

${\displaystyle \operatorname {E} [(X-\mu )^{n}]=s^{n}\pi ^{n}(2^{n}-2)\cdot |B_{n}|.}$

• 一般化ロジスティック分布
• テューキーラムダ分布
• 対数ロジスティック分布
• 半ロジスティック分布
• ロジスティック回帰
• シグモイド関数

ウィキメディア・コモンズには、物流に関連するメディアがあります。

• John S. deCani & Robert A. Stine (1986)。「ロジスティック分布の情報行列の導出に関する注記」。アメリカ統計学者。40 。アメリカ統計協会: 220–222。doi :10.2307/2684541。
• N., Balakrishnan (1992)。物流ハンドブック。Marcel Dekker、ニューヨーク。ISBN 0-8247-8587-8。
• Johnson, NL; Kotz, S.; N., Balakrishnan (1995).連続一変量分布. 第2巻（第2版）. ISBN 0-471-58494-0。

• モディス、セオドア（1992） 『予測：社会の兆候が過去を明らかにし、未来を予測する』、サイモン＆シュスター、ニューヨーク。ISBN 0-671-75917-5