移動平均線

統計学において、移動平均（ローリング平均、ランニング平均、移動平均^{[ 1 ]}、ローリング平均）とは、データセット全体から異なる選択項目を選び、一連の平均を作成することでデータポイントを分析する計算方法です。単純移動平均、累積移動平均、加重移動平均などのバリエーションがあります。

数学的には、移動平均は畳み込みの一種です。そのため、信号処理においては、低域通過有限インパルス応答フィルタとして扱われます。ボックスカー関数はフィルタ係数を概説するため、ボックスカーフィルタと呼ばれます。ダウンサンプリングが後に続く場合もあります。

一連の数値と固定された部分集合のサイズが与えられた場合、移動平均の最初の要素は、数値系列の最初の固定部分集合の平均を取ることによって得られます。次に、部分集合は「前方シフト」によって変更されます。つまり、系列の最初の数値を除外し、系列の次の値を含めることによって変更されます。

移動平均は、時系列データにおいて短期的な変動を平滑化し、長期的な傾向やサイクルを強調するために一般的に用いられます。この場合、計算は「時間平均」と呼ばれることもあります。短期と長期の境界は用途によって異なり、移動平均のパラメータはそれに応じて設定されます。経済学では、国内総生産、雇用、その他のマクロ経済時系列を分析するためにも用いられます。時系列データ以外のデータに用いる場合、移動平均は時間との特定の関連性を持たずに高周波成分を除去しますが、通常は何らかの順序付けが暗黙のうちに示唆されます。単純に言えば、データの平滑化とみなすことができます。

移動平均法は、 1833年にイングランド銀行が金準備高の状態を隠すために考案した手法である。^{[ 2 ]}

金融分野における単純移動平均（SMA）は、過去のデータの加重平均ではない平均値である。${\displaystyle k}$データポイント。しかし、科学や工学においては、平均値は通常、中心値の両側にある同数のデータから算出されます。これにより、平均値の変動が時間的にずれるのではなく、データの変動と一致することが保証されます。単純な等加重移動平均の例としては、過去${\displaystyle k}$データセットのエントリには、${\displaystyle n}$エントリ。それらのデータポイントは${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}}$これは、株価の終値である可能性があります。過去12ヶ月間の平均値${\displaystyle k}$データポイント（この例では日数）は次のように表されます。${\displaystyle {\textit {SMA}}_{k}}$計算式は以下のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\textit {SMA}}_{k}&={\frac {p_{n-k+1}+p_{n-k+2}+\cdots +p_{n}}{k}}\\&={\frac {1}{k}}\sum _{i=n-k+1}^{n}p_{i}\end{aligned}}}$$

次の平均値を計算するとき${\displaystyle {\textit {SMA}}_{k,{\text{next}}}}$同じサンプリング幅で${\displaystyle k}$範囲は${\displaystyle n-k+2}$に${\displaystyle n+1}$考慮される。新しい値${\displaystyle p_{n+1}}$合計値と最も古い値${\displaystyle p_{n-k+1}}$除外されます。これにより、以前の平均値を再利用することで計算が簡略化されます。${\displaystyle {\textit {SMA}}_{k,{\text{prev}}}}$。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\textit {SMA}}_{k,{\text{next}}}&={\frac {1}{k}}\sum _{i=n-k+2}^{n+1}p_{i}\\&={\frac {1}{k}}{\Big (}\underbrace {p_{n-k+2}+p_{n-k+3}+\dots +p_{n}+p_{n+1}} _{\sum _{i=n-k+2}^{n+1}p_{i}}+\underbrace {p_{n-k+1}-p_{n-k+1}} _{=0}{\Big )}\\&=\underbrace {{\frac {1}{k}}{\Big (}p_{n-k+1}+p_{n-k+2}+\dots +p_{n}{\Big )}} _{={\textit {SMA}}_{k,{\text{prev}}}}-{\frac {p_{n-k+1}}{k}}+{\frac {p_{n+1}}{k}}\\&={\textit {SMA}}_{k,{\text{prev}}}+{\frac {1}{k}}{\Big (}p_{n+1}-p_{n-k+1}{\Big )}\end{aligned}}}$$これは、移動平均フィルタをFIFO/循環バッファ とわずか3つの算術ステップで、リアルタイムデータに対して非常に低コストで計算できることを意味します。

FIFO / 循環バッファの初期充填中は、サンプリングウィンドウはデータセットサイズと等しくなります。${\displaystyle k=n}$平均値の計算は累積移動平均として行われます。

選択された期間（${\displaystyle k}$）は、短期、中期、長期など、関心のある動きの種類によって異なります。

使用するデータが平均値を中心に分布していない場合、単純移動平均は最新のデータからサンプル幅の半分だけ遅れます。また、SMAは古いデータが削除されたり、新しいデータが追加されたりすると、不均衡な影響を受けることがあります。SMAの特徴の一つは、データに周期的な変動がある場合、その周期のSMAを適用すると、その変動が解消されることです（平均には常に1つの完全なサイクルが含まれます）。しかし、完全に規則的なサイクルはめったに見られません。^{[ 3 ]}

多くのアプリケーションでは、「過去」のデータのみを使用することによって生じるシフトを回避することが有利です。そのため、平均を計算する系列のポイントの両側に等間隔に配置されたデータを使用して、中心移動平均を計算できます。^{[ 4 ]}これには、サンプルウィンドウに奇数個のポイントを使用する必要があります。

SMAの大きな欠点は、ウィンドウ長よりも短い信号のかなりの部分をそのまま通過させてしまうことです。これにより、データに谷があった場所に平滑化結果にピークが現れるなど、予期せぬアーティファクトが発生する可能性があります。また、高周波成分の一部が適切に除去されないため、結果が期待どおりに滑らかにならないという問題も生じます。

その周波数応答は、 sinc-in-frequencyと呼ばれるローパスフィルタの一種です。

積分可能な関数の連続移動平均${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$は、積分によって次のように定義されます。

${\displaystyle {\begin{array}{rl}M_{f,\varepsilon }:\mathbb {R} &\rightarrow \mathbb {R} \\x&\mapsto \displaystyle {\frac {1}{2\,\varepsilon }}\int _{x-\varepsilon }^{x+\varepsilon }f(t)\,dt\end{array}}}$

どこで${\displaystyle \varepsilon }$環境${\displaystyle [x-\バレプシロン ,x+\バレプシロン ]}$その周り${\displaystyle x}$積分可能な関数のグラフの平滑化の強度を定義します。値が大きいほど${\displaystyle \varepsilon >0}$関数のソースグラフを平滑化する（青色）${\displaystyle f}$さらに。以下のアニメーションは、さまざまな値に応じて移動平均をアニメーションとして表示します。  ${\displaystyle \varepsilon >0}$分数${\displaystyle {\frac {1}{2\,\varepsilon }}}$使用される理由は${\displaystyle 2\,\varepsilon }$は積分の区間幅です。当然、${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}M_{f,\ \varepsilon }=f}$微積分学の基本定理とロピタルの定理により。

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  連続移動平均正弦関数と多項式 - 積分間隔が小さい場合の平滑化の可視化
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  連続移動平均正弦関数と多項式 - 積分区間を大きくした場合の平滑化の可視化
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  区間幅と移動平均による平滑化の影響を示すアニメーション。

累積平均（CA ）では、データは順序付けられたデータストリームとして到着し、ユーザーは現在のデータまでのすべてのデータの平均を取得したいと考えます。たとえば、投資家は特定の銘柄について、現在までのすべての株式取引の平均価格を知りたい場合があります。新しい取引が発生するたびに、累積平均を使用して、その時点までのすべての取引の平均価格を計算できます。通常、累積平均はn個の値のシーケンスの等加重平均です。${\displaystyle x_{1}.\ldots ,x_{n}}$現在までの状況： $${\displaystyle {\textit {CA}}_{n}={{x_{1}+\cdots +x_{n}} \over n}\,.}$$

この計算を力任せに行う方法は、すべてのデータを保存し、新しいデータが到着するたびに合計を計算してポイント数で割ることです。しかし、累積平均を新しい値として単純に更新することも可能です。${\displaystyle x_{n+1}}$式を使用して利用可能になります $${\displaystyle {\textit {CA}}_{n+1}={{x_{n+1}+n\cdot {\textit {CA}}_{n}} \over {n+1}}.}$$

したがって、新しいデータの現在の累積平均は、前回の累積平均にnを掛け、最新のデータを加えたものを、これまでに受信したポイント数n + 1 で割った値に等しくなります。すべてのデータが到着すると ( n = N )、累積平均は最終平均と等しくなります。また、データの合計とポイント数を保存し、新しいデータが到着するたびに合計をポイント数で割って累積平均を求めることも可能です。

累積平均の公式の導出は簡単である。 $${\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{n}=n\cdot {\textit {CA}}_{n}}$$ 同様にn + 1についても、次のことが分かる。 $${\displaystyle x_{n+1}=(x_{1}+\cdots +x_{n+1})-(x_{1}+\cdots +x_{n})}$$$${\displaystyle x_{n+1}=(n+1)\cdot {\textit {CA}}_{n+1}-n\cdot {\textit {CA}}_{n}}$$

この方程式を解くと${\displaystyle {\textit {CA}}_{n+1}}$結果として $${\displaystyle {\begin{aligned}{\textit {CA}}_{n+1}&={x_{n+1}+n\cdot {\textit {CA}}_{n} \over {n+1}}\\[6pt]&={x_{n+1}+(n+1-1)\cdot {\textit {CA}}_{n} \over {n+1}}\\[6pt]&={(n+1)\cdot {\textit {CA}}_{n}+x_{n+1}-{\textit {CA}}_{n} \over {n+1}}\\[6pt]&={{\textit {CA}}_{n}}+{{x_{n+1}-{\textit {CA}}_{n}} \over {n+1}}\end{aligned}}}$$

加重平均とは、サンプルウィンドウ内の異なる位置にあるデータに異なる重みを与えるために乗算係数を用いた平均のことです。数学的には、加重移動平均は、データと固定重み関数との畳み込みです。その応用例の一つとして、デジタル画像からピクセル化を除去することが挙げられます。これはアンチエイリアシングとも呼ばれます。

金融分野、特に金融データの分析において、加重移動平均（WMA）は、等差数列で減少する重みという特定の意味を持つ。^{[ 5 ]} n日間のWMAでは、最新の日にはnの重みが与えられ、2番目に新しい日には重みが与えられる。${\displaystyle n-1}$など、1つまで。

$${\displaystyle {\text{WMA}}_{M}={np_{M}+(n-1)p_{M-1}+\cdots +2p_{((M-n)+2)}+p_{((M-n)+1)} \over n+(n-1)+\cdots +2+1}}$$

分母は三角数で、${\textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}.}$より一般的な場合、分母は常に個々の重みの合計になります。

連続する値にわたって WMA を計算する場合、分子間の差は${\displaystyle {\text{WMA}}_{M+1}}$そして${\displaystyle {\text{WMA}}_{M}}$は${\displaystyle np_{M+1}-p_{M}-\dots -p_{M-n+1}}$。もし、その和を${\displaystyle p_{M}+\dots +p_{M-n+1}}$による${\displaystyle {\text{Total}}_{M}}$、 それから

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Total}}_{M+1}&={\text{Total}}_{M}+p_{M+1}-p_{M-n+1}\\[3pt]{\text{Numerator}}_{M+1}&={\text{Numerator}}_{M}+np_{M+1}-{\text{Total}}_{M}\\[3pt]{\text{WMA}}_{M+1}&={{\text{Numerator}}_{M+1} \over n+(n-1)+\cdots +2+1}\end{aligned}}}$$

右側のグラフは、最新のデータに対する重みが最も高く、最終的にゼロになるという、重みの減少過程を示しています。これは、次に示す指数移動平均における重みと比較することができます。

指数移動平均 (EMA) は、指数加重移動平均 (EWMA)とも呼ばれ、^{[ 6 ]}指数的に減少する重み係数を適用する一次無限インパルス応答フィルタです。各古いデータの重みは指数的に減少し、決してゼロにはなりません。この定式化は Hunter (1986) によるものです。^{[ 7 ]}

EWMAの多変量実装もあり、MEWMAとして知られています。^{[ 8 ]}

その他の加重システムが時折使用される。例えば、株式取引では、取引量に応じて各期間の重み付けを行う。

保険数理士が使用するもう1つの重み付けは、スペンサーの15ポイント移動平均^{[ 9 ]}（中心移動平均）です。その対称的な重み係数は[−3, −6, −5, 3, 21, 46, 67, 74, 67, 46, 21, 3, −5, −6, −3]で、これは⁠ [1, 1, 1, 1]×[1, 1, 1, 1]×[1, 1, 1, 1, 1]×[−3, 3, 4, 3, −3] / 320 ⁠と因数分解され、任意の2次または3次多項式のサンプルは変更されません。^{[ 10 ] [ 11 ]}

金融の世界以外では、加重平均は様々な形態と応用例を持つ。それぞれの加重関数、すなわち「カーネル」には固有の特性がある。工学や科学の分野では、特定のフィルタがデータに及ぼす望ましい歪みと望ましくない歪みを理解する上で、フィルタの周波数応答と位相応答がしばしば最も重要な要素となる。

平均値は単にデータを「平滑化」するものではありません。平均値は一種のローパスフィルターです。適切な選択をするためには、使用するフィルターの効果を理解する必要があります。

統計的な観点から見ると、時系列データにおける基調トレンドを推定するために移動平均を用いる場合、急激な変動やその他の異常値といった稀な事象の影響を受けやすい。より頑健なトレンド推定方法としては、n時点 における単純移動中央値が挙げられる。$${\displaystyle {\widetilde {p}}_{\text{SM}}={\text{Median}}(p_{M},p_{M-1},\ldots ,p_{M-n+1})}$$ ここで、中央値は、例えば括弧内の値をソートして中央の値を見つけることによって求められます。n の値が大きい場合、インデックス可能なスキップリストを更新することで中央値を効率的に計算できます。^{[ 12 ]}

統計的には、トレンドからの変動が正規分布に従う場合、移動平均は時系列の基調トレンドを回復するのに最適である。しかし、正規分布はトレンドからの非常に大きな偏差に高い確率を与えないため、そのような偏差がトレンド推定に不釣り合いに大きな影響を与える理由が説明される。変動が代わりにラプラス分布に従うと仮定すると、移動中央値が統計的に最適であることが示される。^{[ 13 ]}与えられた分散に対して、ラプラス分布は正規分布よりもまれな事象に高い確率を与えるため、移動中央値が移動平均よりもショックに強い理由が説明される。

上記の単純移動中央値が中央にある場合、平滑化は、例えば画像信号処理に用いられる中央値フィルタと同一になります。移動中央値は、時系列における基底トレンドを推定する際に、移動平均よりも堅牢な代替手段となります。移動平均は、トレンド周辺の変動が正規分布に従う場合にトレンドを回復するのに最適ですが、急激なショックや異常などのまれな事象の影響を受けやすいという欠点があります。一方、時間ウィンドウ内の値をソートして中央値を求める移動中央値は、このようなまれな事象の影響に対してより耐性があります。これは、移動中央値が仮定するラプラス分布は、移動平均が仮定する正規分布よりも、与えられた分散に対してまれな事象に高い確率を与えるためです。その結果、時系列がトレンドから大きく逸脱した場合でも、移動中央値は基底トレンドのより信頼性が高く安定した推定値を提供します。さらに、移動メディアン平滑化はメディアンフィルタと同一であり、メディアンフィルタは画像信号処理において様々な用途がある。

移動平均回帰モデルでは、関心のある変数は、観測されていない独立した誤差項の加重移動平均であると仮定されます。移動平均における重みは、推定すべきパラメータです。

これら二つの概念は名称が似ているため混同されがちですが、多くの共通点がある一方で、それぞれ異なる手法を表しており、全く異なる文脈で使用されます。

• 指数平滑化
• 局所回帰分析（LOESSおよびLOWESS）
• カーネル平滑化
• 移動平均収束拡散指標
• マルチンゲール法（確率論）
• 移動平均線の交差
• 移動最小二乗法
• 上昇移動平均線
• ローリングハッシュ
• 累計
• サビツキー・ゴレイフィルター
• ウィンドウ機能
• ゼロラグ指数移動平均