ダウンサンプリング（信号処理）

デジタル信号処理では、ダウンサンプリング、サブサンプリング、圧縮、デシメーションは、マルチレートデジタル信号処理システムにおけるリサンプリング処理に関連する用語です。ダウンサンプリングとデシメーションはどちらも圧縮と同義である場合もあれば、帯域幅の削減（フィルタリング）とサンプリングレートの削減のプロセス全体を表す場合もあります。 ^[¹^]^[²^]この処理が信号または連続関数のサンプルのシーケンスに対して実行されると、信号をより低いレート（または写真の場合のように密度）でサンプリングすることによって得られたシーケンスの近似値が生成されます。

間引きとは、歴史的には10 分の 1 を取り除くことを意味する用語です。^{[ a ]}しかし、信号処理では、10 分の 1 による間引きは、実際には10 分の 1 サンプルだけを残すことを意味します。この係数はサンプリング間隔を乗算するか、同等にサンプリングレートを除算します。たとえば、44,100 サンプル/秒のコンパクトディスクオーディオを 5/4 の係数で間引きすると、結果として得られるサンプルレートは 35,280 になります。間引きを実行するシステムコンポーネントは、デシメータと呼ばれます。整数係数による間引きは、圧縮とも呼ばれます。^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

整数係数によるダウンサンプリング

整数係数Mによるレート削減は、より効率的な同等の実装を伴う 2 段階のプロセスとして説明できます。^{[ 5 ]}

デジタルローパスフィルターを使用して、高周波信号成分を低減します。
フィルタリングされた信号をMで間引きます。つまり、M^番目のサンプルだけを残します。

ステップ2だけでは望ましくないエイリアシング（高周波信号成分が低周波帯域にコピーされ、低周波信号と誤認される）が発生します。ステップ1は、必要に応じてエイリアシングを許容レベルまで抑制します。このアプリケーションでは、フィルタはアンチエイリアシングフィルタと呼ばれ、その設計については後述します。また、バンドパス関数と信号のデシメーションについては、アンダーサンプリングの項を参照してください。

アンチエイリアシングフィルタがIIR設計の場合、2番目のステップの前に、出力から入力へのフィードバックに依存します。FIRフィルタリングでは、 M^番目の出力ごとにのみ計算するのは簡単です。n番目^の出力サンプルに対してデシメーションFIRフィルタによって実行される計算は、ドット積です。^{[ b ]}

y[n]=\sum _{k=0}^{K-1}x[nM-k]\cdot h[k],

ここで、h [•] シーケンスはインパルス応答であり、Kはその長さです。x [ •] はダウンサンプリングされる入力シーケンスを表します。汎用プロセッサでは、y [ n ] を計算した後、 y [ n +1]を計算する最も簡単な方法は、 x [•] 配列の開始インデックスをMだけ進めて、ドット積を再計算することです。M = 2の場合、 h [•]はハーフバンドフィルタとして設計でき、係数のほぼ半分がゼロであるため、ドット積に含める必要はありません。

M間隔で取得されたインパルス応答係数は部分系列を形成し、このような部分系列 (位相) がM個多重化されます。ドット積は、各部分系列と対応するx [•] 系列のサンプルとのドット積の合計です。さらに、 Mによるダウンサンプリングのため、M個のドット積のいずれかに含まれるx [•] サンプルのストリームは、他のドット積には決して含まれません。したがって、M 個の低次 FIR フィルタはそれぞれ、入力ストリームのM 個の多重化された位相の 1 つをフィルタリングし、 M 個の出力が加算されます。この観点では、マルチプロセッサアーキテクチャで有利となる可能性のある別の実装が提案されています。言い換えれば、入力ストリームはデマルチプレクサされ、出力が加算される M 個のフィルタのバンクに送られます。このように実装された場合、それはポリフェーズフィルタと呼ばれます。

完全を期すために、各フェーズの可能な実装として、 h [•] 配列のコピーで他のフェーズの係数をゼロに置き換え、元のx [•] シーケンスを入力レートで処理し (つまりゼロを掛ける)、出力をM倍に間引くという方法があることを述べておきます。この非効率的な方法と上記の実装の等価性は、最初のノーブル恒等式として知られています。^{[ 6 ]}^{[ c ]}これは、多相法の導出で時々使用されます。

アンチエイリアシングフィルター

X ( f ) を、ある区間 T におけるサンプルが x[n] シーケンスに等しい任意の関数 x(t) のフーリエ変換とする。このとき、離散時間フーリエ変換( DTFT )は、X ( f )の周期的な総和のフーリエ級数表現である。 ^[^d^]

\underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }\overbrace {x(nT)} ^{x[n]}\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi fnT}} _{\text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X{\Bigl (}f-{\frac {k}{T}}{\Bigr )}.

Tの単位が秒の場合、 $f$ 単位はヘルツです。上記の式でT をMTに置き換えると、デシメーションされたシーケンスの DTFT、x [ nM ] が得られます。

\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n\cdot MT)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi fn(MT)}={\frac {1}{MT}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-{\tfrac {k}{MT}}\right).

周期的な加算は、振幅と周期が係数Mで減少しています。これらの分布の例は、図 1 の 2 つのトレースに示されています。^{[ e ]}^{[ f ]}^{[ g ]}隣接するX ( f ) のコピーが重なると、エイリアシングが発生します。アンチエイリアシングフィルタの目的は、周期の減少によって重なりが生じないようにすることです。X ( f ) のコピーが互いに重ならないことを保証する条件は次のとおりです。 $B<{\tfrac {0.5}{T}}\cdot {\tfrac {1}{M}},$ つまり、それが理想的なアンチエイリアシングフィルタの最大カットオフ周波数です。 ^[^A^]

合理的な要因によって

M/Lをデシメーション係数、^{[ B ]}とします。ここで、M、L ∈ $\mathbb {Z}$ ; M > L。

シーケンスをL倍に拡大（リサンプリング）します。これはアップサンプリング、または補間と呼ばれます。
M倍に減らす

ステップ 1 では、データレートを増加 (拡張)した後にローパスフィルタが必要であり、ステップ 2 では、デシメーションの前にローパスフィルタが必要です。したがって、両方の操作は、2 つのカットオフ周波数のうち低い方の周波数を持つ単一のフィルタで実行できます。M > Lの場合、アンチエイリアシングフィルタのカットオフ周波数は、 ${\tfrac {0.5}{M}}$ 中間サンプルあたりのサイクル数は、より低い周波数です。

注記

↑実現可能なローパスフィルタには「スカート」と呼ばれる部分があり、そこでは応答がほぼ1からほぼ0まで減少します。実際には、フィルタのスカートが理論上のカットオフ周波数より低い周波数に収まるように、カットオフ周波数は理論上のカットオフ周波数より十分に低い周波数に設定されます。
↑係数 R によるサンプルレート変換の一般的な手法 ∈ $\mathbb {R} ^{+}$ 多項式補間とファロー構造を含む。 ^{[ 7 ]}

ページ引用

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↑ Crochiere と Rabiner「2」。p 32。式 2.55a。
↑ハリス 2004。「2.2.1」。p 25。
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↑ハリス 2004。「2.2」。p 22。図 2.10。
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参考文献

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さらに読む

プロアキス、ジョン・G. (2000).デジタル信号処理：原理、アルゴリズム、応用（第3 版）. インド：プレンティス・ホール. ISBN 8120311299。
ライオンズ、リチャード（2001）。デジタル信号処理の理解。プレンティスホール。304 ページ。ISBN 0-201-63467-8サンプリングレートを下げることをデシメーションと呼びます。
アントニウ、アンドレアス（ 2006）。デジタル信号処理。マグロウヒル。p . 830。ISBN 0-07-145424-1デシメータはサンプリング周波数を下げるために使用でき、インターポレータはサンプリング周波数を上げるために使用できます。
ミリク、リリャナ (2009)。デジタル信号処理のためのマルチレートフィルタリング。ニューヨーク：ハーシー。 p. 35.ISBN 978-1-60566-178-0サンプリングレート変換システムは、信号のサンプリングレートを変更するために使用されます。サンプリングレートを下げる処理はデシメーションと呼ばれ、サンプリングレートを上げる処理は補間と呼ばれます。
T. Schilcher. デジタル信号処理におけるRFアプリケーション//「デジタル信号処理」。CERN加速器スクール議事録、スウェーデン、シグトゥーナ、2007年5月31日～6月9日。- スイス、ジュネーブ：CERN（2008）。- 258ページ。- DOI：10.5170/CERN-2008-003。
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サスカ・リンドフォース、アールノ・ペルシネン、カリ・AI・ハロネン。 3 V 230 MHz CMOS デシメーションサブサンプラー。// 回路とシステムに関する IEEE トランザクション - Vol. 52、No. 2、2005 年 2 月。 – P. 110。

[14] 実現可能なローパスフィルタには「スカート」と呼ばれる部分があり、そこでは応答がほぼ1からほぼ0まで減少します。実際には、フィルタのスカートが理論上のカットオフ周波数より低い周波数に収まるように、カットオフ周波数は理論上のカットオフ周波数より十分に低い周波数に設定されます。

[16] 係数 R によるサンプルレート変換の一般的な手法 ∈ $\mathbb {R} ^{+}$ 多項式補間とファロー構造を含む。 ^{[ 7 ]}

[3] ハリス 2004。「6.1」。p 128。

[7] Crochiere と Rabiner「2」。p 32。式 2.55a。

[9] ハリス 2004。「2.2.1」。p 25。

[10] オッペンハイムとシェーファー。「4.2」。p 143。式4.6、ここで： $\Omega \triangleq 2\pi f,$ $X_{s}(i\Omega )\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \Omega nT},$ そして $X_{c}(i2\pi f)\triangleq X(f).$

[11] ハリス 2004。「2.2」。p 22。図 2.10。

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[13] Tan 2008 . "1.2.1". 図 12.2.

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整数係数によるダウンサンプリング

アンチエイリアシングフィルター

合理的な要因によって

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