等差数列に関するディリクレの定理

数論において、ディリクレの定理（ディリクレ素数定理とも呼ばれる）は、互いに素な任意の2つの正の整数 a と d に対して、a + nd の形をした素数が無限に存在することを述べている。ここで、nも正の整数である。言い換えれば、dを法としてaと合同な素数が無限に存在する。a + ndの形をした数は等差数列を形成する。     

${\displaystyle a,\ a+d,\ a+2d,\ a+3d,\ \dots ,\ }$

ディリクレの定理によれば、この数列には無限個の素数が含まれています。この定理は、無限個の素数（ 1 + 2 nの形）が存在するというユークリッドの定理を拡張したものです。ディリクレの定理のより強い形式では、そのような等差数列では、数列内の素数の逆数の和が発散し、同じ法を持つ異なる等差数列は、ほぼ同じ割合の素数を持つとされています。言い換えれば、素数は、dと互いに素な数を含む法dの合同類の間で（漸近的に）均等に分布しています。

この定理は、1837年にそれを証明したドイツの数学者ペーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレにちなんで名付けられた。

4n +3の形の素数は( OEISのシーケンスA002145 )です。

3、7、11、19、23、31、43、47、59、67、71、79、83、103、107、127、131、139、151、163、167、179、191、199、211、223、227、239、251、263、271、283、...

これらは、以下のnの値に対応します： （ OEISの配列A095278）

0, 1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 14, 16, 17, 19, 20, 25, 26, 31, 32, 34, 37, 40, 41, 44, 47, 49, 52, 55, 56, 59, 62, 65, 67, 70, 76, 77, 82, 86, 89, 91, 94, 95, ...

ディリクレの定理の強い形式は、

${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{19}}+{\frac {1}{23}}+{\frac {1}{31}}+{\frac {1}{43}}+{\frac {1}{47}}+{\frac {1}{59}}+{\frac {1}{67}}+\cdots }$

これは発散級数です。

奇数dを含む数列dn  + a は、半分の数が偶数であり、残りの半分がn = 0から始まる2 dの数列と同じ数であるため、しばしば無視されます。たとえば、6 n + 1 は 3 n + 1と同じ素数を生成し、6 n + 5 は唯一の偶数の素数 2 を除いて 3 n + 2と同じ素数を生成しています。次の表は、無限に多くの素数を含むいくつかの等差数列と、それぞれの最初の数個の素数を一覧にしたものです。           

反復法を用いることで、いくつかの形式の素数を生成できます。例えば、次の方法を用いることで、4n + 3の形の素数を生成できます。

a ₀ = 4(1) + 3 = 7とします。次に、a ₁ = 4 a ₀ + 3 = 4(7) + 3 = 31とします。これは素数です。次に、4(7)(31) + 3 = 871 = 13(67)を計算します。4 (7)(31) + 3は4 n + 3の形なので、13 または 67 のいずれかが4 n + 3の形になります。67 = 4(16) + 3であり、素数なので、a ₃ = 67です。次に、このプロセスを続けて、 4 n + 3の形をした連続する素数を見つけます(Silverman 2013)。

素数は平均的に素数定理に従って減少するため、等差数列の素数についても同じことが言えるはずです。与えられたdの値に対して、様々な等差数列の間で素数がどのように共有されているかを問うのは自然なことです（2 つの数列がほぼすべての項を共有している場合を区別しなければ、実質的にd個の数列が存在します）。答えは次の形式で与えられます。a と d が 1 以外の共通因数を持たない、d を法とする実行可能な数列の数は、オイラーのトーシェント関数によって与えられます。 

${\displaystyle \varphi (d).}$

さらに、それぞれの素数の割合は

${\displaystyle {\frac {1}{\varphi (d)}}.}$

例えば、dが素数qの場合、q  −  1 の各数列は

${\displaystyle q+1,2q+1,3q+1,\dots }$

${\displaystyle q+2,2q+2,3q+2,\dots }$

${\displaystyle \dots \ }$

${\displaystyle q+q-1,2q+q-1,3q+q-1,\dots }$

（すべてを除く）${\displaystyle q,2q,3q,\dots }$）

素数の1/( q  − 1) の割合が含まれています。 

互いに比較すると、二次非剰余を持つ数列は、二次剰余を持つ数列よりもわずかに多くの要素を持つのが一般的である（チェビシェフの偏り）。

1737年、オイラーは素数の研究を、現在リーマンゼータ関数として知られているものと関連付けました。彼は、すべての素数pに対して、値ζ (1) が 2 つの無限積の比Π p / Π ( p − 1)に還元され、その比が無限であることを示しました。^{[ 1 ] [ 2 ]} 1775年、オイラーはa = 1の場合のa + ndの定理を述べま​​した。^{[ 3 ]}ディリクレの定理のこの特殊なケースは、円分多項式 を使用して証明できます。^{[ 4 ]} この定理の一般形は、ルジャンドルが二次相互性の証明を試みた際に初めて予想されたもので^{[ 5 ]} 、ガウスが『算術研究』^{[ 6 ]}で指摘したように、ディリクレ( 1837 )がディリクレL級数を用いて証明した。証明は、オイラーがリーマン ゼータ関数と素数の分布を関連付けた以前の研究をモデルにしている。この定理は、厳密な解析的整数論の始まりを表している。アトレ セルバーグは1949 年にこの定理の初等的な証明を与えた^{[ 7 ]}。 

ディリクレの定理は、ディリクレ L 関数(非自明な性質を持つ)の 1 における値がゼロでないことを示すことによって証明されます。この主張の証明には、微積分と解析的整数論が必要です( Serre 1973 ) 。 a = 1 の特殊な場合(つまり、あるnを法として 1 と合同な素数に関する場合) は、微積分を使用せずに、円分拡大における素数の分割挙動を分析することによって証明できます( Neukirch 1999 、§VII.6)。

ディリクレの定理の証明には微積分と解析的整数論が用いられるが、例題の証明の中にははるかに簡単なものもある。特に、4n + 3の形の素数が無限に存在する例題の証明は、ユークリッドの定理の証明と同様の議論を用いる（Silverman 2013）。その証明は以下のとおりである。

4 n + 3の形の素数が無限に存在することを証明したい。矛盾を導くために、4 n + 3の形の素数が有限個しかないと仮定する。次に、 p ₁ < p ₂ < ... < p _mを満たすすべての素数 3, p ₁ , p ₂ , ..., p _mのリストを作成する。N = 4 p ₁ p ₂ ... p _m + 3とする。リスト 3, p ₁ , p ₂ , ..., p _mのどの素数もNを割り切らないことは明らかである。場合分けにより、Nは合成数か素数かのどちらかである。Nが合成数の場合、N は一意の素因数分解N = a ₁ a ₂ ... a _rを持ち、各a _iは素数である。N ≡ 3 (mod 4) であるため、 Nは奇数であり、奇素数の積でなければならない。任意の奇素数pは、 p ≡ 1 (mod 4)またはp ≡ 3 (mod 4)を満たすものでなければなりません。a _i ≡ 1 (mod 4)がすべてのa _iに対して成り立つことはあり得ません。なぜなら、もしそうであれば、N ≡ 1 (mod 4) となるからです。したがって、 a ′ | Nかつa ′ < Nとなるような素数a ′ ≡ 3 (mod 4)が存在します。そうでなければ、N が素数であれば、定義によりN ≡ 3 (mod 4) となります。したがって、どちらの場合も、a ′ とN はそれぞれ4 n + 3の形を満たしますが、どちらもNを割り切るため、リスト 3, p ₁ , p ₂ , ..., p _mには含まれません。これは矛盾です。したがって、このリストにはそのような素数がすべて含まれておらず、 4 n + 3の形をした素数は無限に存在するはずです(Silverman 2013)。

ブニャコフスキー予想は、ディリクレの定理を高次の多項式に一般化したものである。ランダウの第4問題で知られているような、x² + 1のような単純な2次多項式でさえ、無限に多くの素数をとるかどうかは、重要な^未解決問題である。

ディクソンの予想は、ディリクレの定理を複数の多項式に一般化したものである。

シンツェルの仮説Hは、これら2つの予想を一般化しており、すなわち、次数が1より大きい複数の多項式に一般化している。

代数的整数論では、ディリクレの定理はチェボタレフの密度定理に一般化される。

リンニックの定理（1944年）は、与えられた等差数列における最小の素数の大きさに関するものである。リンニックは、数列a  + nd ( nが正の整数を回る場合) には、絶対定数cとLに対して、最大でcd ^{L の}大きさの素数が含まれることを証明した。その後の研究者たちは、 L を5 に縮小した。 

ディリクレの定理の類似物は、力学系の枠組みでも成り立つ（T. Sunada and A. Katsuda, 1990）。

Shiuは、ディリクレの定理の仮定を満たす等差数列には、実際には任意の長さの連続素数が含まれることを示した。^{[ 8 ]}

• ボンビエリ・ヴィノグラドフの定理
• ブラン・ティッチマーシュの定理
• シーゲル・ワルフィシュの定理
• ディリクレの近似定理
• グリーン・タオの定理
• チェボタレフの密度定理

• アポストル、トム M. (1976)、解析的整数論入門、数学学部教科書、ニューヨーク-ハイデルベルク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-90163-3MR 0434929、Zbl 0335.10001​  
• ワイススタイン、エリック・W. 「ディリクレの定理」 . MathWorld .
• クリス・コールドウェル著、「算術数列における素数に関するディリクレの定理」、Prime Pagesにて。
• Dirichlet、PGL (1837)、「 Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält」 第 1 項と公差は、公約数のない整数であり、無限に多くの素数を含みます。]、Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin、48 : 45– 71
• Neukirch、Jürgen (1999)、代数的数論。 1992 年のドイツ語の原著から翻訳され、 Norbert Schappacherによる注記付き、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]、vol.  322、ベルリン: Springer-Verlag、ISBN 3-540-65399-6MR 1697859、Zbl 0956.11021​  。
• セルバーグ、アトレ（1949）「等差数列の素数に関するディリクレの定理の初等的証明」『数学年報』 50（2）：297–304、doi：10.2307/1969454、JSTOR 1969454、Zbl 0036.30603  。
• セール、ジャン＝ピエール（1973）、『算術入門』、大学院数学テキスト、第 7巻、ニューヨーク、ハイデルベルク、ベルリン：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 3-540-90040-3、Zbl 0256.12001 。
• 砂田俊和、勝田篤（1990）「ホモロジー類における閉軌道」、Publ. Math. IHÉS、71：5–32、doi：10.1007/BF02699875、S2CID 26251216 。
• Silverman JH (2013) 数論への親しみやすい入門：ピアソン新国際版、ピアソン教育。

• ドイツ語の原文のスキャン画像
• ディリクレ:初項と差が互いに素なすべての等差数列には、無限に多くの素数が存在する。arXivに掲載されている原論文の英語訳
• ディリクレの定理（ジェイ・ワレンドルフ著、Wolfram Demonstrations Project）。