デュパンシクリド

数学において、デュパンサイクライド（Dupin cyclide）またはデュパンのサイクライド（Dupin cyclide）は、標準的なトーラス、円筒、または二重円錐の幾何学的反転である。特に、これら後者は、それ自体がデュパンサイクライドの例である。これらは、シャルル・デュパンが 1802年頃にエコール・ポリテクニークの学生としてガスパール・モンジュの講義を聞いていた時に発見され、彼にちなんで命名された。 ^[1]デュパンサイクライドの主な特性は、 2つの異なる方法でチャネル面（1パラメータの球族のエンベロープ）になることである。この特性は、デュパンサイクライドがリー球面幾何学における自然なオブジェクトであることを意味する。

デュパンサイクライドは単にサイクライドと呼ばれることが多いが、後者の用語は、 3 次元のラプラス方程式の変数分離理論で重要な、より一般的なクラスの 4 次曲面を指す場合にも使用される。

デュパン環化物はデュパンだけでなく、A. ケイリー、J.C. マクスウェル、メイベル・M. ヤングによっても研究されました。

デュパンサイクライドは、サイクライド パッチが有理的な表現を持ち、キャナル サーフェス (円柱、円錐、トーラスなど) をブレンドするのに適しているため、 コンピュータ支援設計で使用されます。

デュパンサイクライドには、同等の定義がいくつかあります。 では、それらはトーラス、円筒、二重円錐の任意の反転による像として定義できます。これは、デュパンサイクライドのクラスがメビウス変換（または共形変換）に対して不変であることを示しています。複素空間では、後者の3つの多様体は反転によって互いにマッピングできるため、デュパンサイクライドはトーラス（または円筒、または二重円錐）の反転として定義できます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$

標準的なトーラスはメビウス群の 2 次元アーベル 部分群の下の点の軌道であるため、サイクライドも同様であり、これがサイクライドを定義する 2 番目の方法となります。

デュパンサイクライドを特徴付ける3つ目の性質は、その曲率線がすべて円（おそらく無限遠点を通る）であることです。同様に、曲率球（接点における主曲率の逆数に等しい半径で曲面に接する球）は、対応する曲率線に沿って一定です。つまり、曲率球は、対応する曲率線を大円として含む接球です。同様に、焦点面の両方のシートは円錐曲線に退化します。^[2]したがって、任意のデュパンサイクライドは2つの異なる方法でチャネル面（つまり、1パラメータの球族のエンベロープ）であり、これにより別の特徴付けが得られます。

球面による定義は、デュパンサイクライドのクラスがすべてのリー球面変換のより大きな群の下で不変であることを示す。つまり、任意の2つのデュパンサイクライドはリー同値である。それらは（ある意味で）球面の次にリー不変な曲面の最も単純なクラスを形成し、したがってリー球面幾何学において特に重要である。^[3]

この定義は、デュパン サイクライドが、与えられた 3 つの互いに接する球に接する 1 パラメータ球族の包絡線であることを意味します。したがって、デュパン サイクライドは、無限に多くのソディの六角形球構成に接します。

(CS):デュパン サイクライドは、球の 1 つのパラメータ ペンシルのエンベロープとして 2 つの方法で表現できます。つまり、 2 つの準線を持つ運河面です。準線のペアは焦点円錐で、楕円と双曲線、または 2 つの放物線で構成されます。最初のケースでは、サイクライドは楕円として定義され、2 番目のケースでは放物線として定義されます。どちらの場合も、円錐は 2 つの相互に直交する平面に含まれます。極端な場合 (楕円が円の場合)、双曲線は直線に退化し、サイクライドは回転トーラスになります。

サイクリドのさらなる特別な性質は次のとおりです。

(CL):デュパンサイクライドの任意の曲率線は円です。

楕円サイクライドは、次の式でパラメトリックに表すことができます (「チャネル面としてのサイクライド」のセクションを参照)。

${\displaystyle x={\frac {d(ca\cos u\cos v)+b^{2}\cos u}{ac\cos u\cos v}}\ ,}$

${\displaystyle y={\frac {b\sin u(ad\cos v)}{ac\cos u\cos v}}\ ,}$

${\displaystyle z={\frac {b\sin v(c\cos ud)}{ac\cos u\cos v}}\ ,}$

${\displaystyle 0\leq u,v<2\pi \ .}$

数字は楕円の 長軸と短軸、および直線離心率です。${\displaystyle a,b,c,d}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,z=0\ .}$

双曲線 は楕円の焦点円錐です。つまり、楕円の焦点/頂点は双曲線の頂点/焦点です。2 つの円錐は、サイクリッドの 2 つの退化した焦点面を形成します。${\displaystyle {\frac {x^{2}}{c^{2}}}-{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1,y=0}$

${\displaystyle d}$生成球の平均半径と考えることができます。

の場合、それぞれ表面の曲率線（円）が得られます。 ${\displaystyle u=const}$${\displaystyle v=const}$

対応する暗黙的な表現は次のとおりです。

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+b^{2}-d^{2})^{2}-4(ax-cd)^{2}- 4b^{2}y^{2}=0\ .}$

の場合 、つまり楕円は円になり、双曲線は直線に退化します。対応するサイクライドは回転トーラスです。 ${\displaystyle a=b}$${\displaystyle c=0}$

より直感的な設計パラメータは、サイクライドと x 軸の交点です。「x 軸上の 4 つの点を通るサイクライド」セクションを参照してください。

放物線サイクライドは、次のパラメトリック表現で表すことができます (「チャネル面としてのサイクライド」セクションを参照)。

${\displaystyle x={\frac {p}{2}}\,{\frac {2v^{2}+k(1-u^{2}-v^{2})}{1+u^{ 2}+v^{2}}}\ ,}$

${\displaystyle y=pu\,{\frac {v^{2}+k}{1+u^{2}+v^{2}}}\ ,}$

${\displaystyle z=pv\,{\frac {1+u^{2}-k}{1+u^{2}+v^{2}}}\ ,}$

${\displaystyle -\infty <u,v<\infty \ .}$

数値によって、焦点円錐である両方の放物線の形状が決まります。 ${\displaystyle p}$

${\displaystyle y^{2}=p^{2}-2px,\ z=0\ }$そして${\displaystyle \ z^{2}=2px,\ y=0\ .}$

${\displaystyle k}$2 つの穴の直径の関係を決定します (図を参照)。は、両方の直径が等しいことを意味します。図では です。 ${\displaystyle k=0.5}$${\displaystyle k=0.7}$

対応する暗黙の表現は

${\displaystyle \left(x+\left({\frac {k}{2}}-1\right)p\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-{\frac {k^{2}p^{2}}{4}}\right)+pz^{2}=0\ .}$

注意: 円を表示すると、パラメータの必要な制限によって生じるギャップが表示されます。 ${\displaystyle u,v}$

楕円デュパンサイクライドをチャネル面として生成する方法は2つあります。1つ目は楕円を準線として使用する方法、2つ目は双曲線を使用する方法です。^[4]

xy平面では準線は次式で表される楕円である。

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ ,\ z=0\quad }$そして。${\displaystyle \ a>b}$

パラメトリック表現を持つ

${\displaystyle \ x=a\cos \varphi \;,\ y=b\sin \varphi \;,\ z=0\ .}$

${\displaystyle a}$は長軸と短軸です。は 楕円の直線離心率です。したがって、次の式が成り立ちます。生成球の半径は ${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2}}$

${\displaystyle r(\varphi )=d-c\cos \varphi \ .}$

${\displaystyle d}$は設計パラメータです。球の半径の平均として考えることができます。楕円の場合は円、サイクライドの場合は生成円 (母線) の半径を持つ回転トーラスです。 ${\displaystyle c=0}$${\displaystyle d}$

図では: . ${\displaystyle \;a=1,\;b=0.99,\ d=0.25\;}$

実際の球の中心（楕円の点）とそれに対応する球の半径の間には次のような単純な関係があり、これはマクスウェルによるものである。^[5]

• 球の半径と、球の中心（楕円の点）から焦点の 1 つ（ただし固定）までの距離の差/合計は一定です。

証拠

楕円の焦点は です 。 を選択して距離を計算すると、 が得られます。実際の球の半径 (上記参照) と合わせて が得られます。 他の焦点を選択すると、次のようになります。${\displaystyle \ E=(a\cos \varphi ,b\sin \varphi ,0)\ }$${\displaystyle \ F_{i}=(\pm c,0,0)\ }$${\displaystyle \ F_{1}=(c,0,0)\ }$${\displaystyle \ |EF_{1}|\ }$${\displaystyle \ |EF_{1}|=a-c\cos \varphi \ }$${\displaystyle \ |EF_{1}|-r=a-d\ }$
${\displaystyle \ |EF_{2}|+r=a+d\ .}$

したがって:

xy 平面では、球の円の包絡線は、楕円の焦点を中心とし、半径を持つ 2 つの円です(図を参照)。 ${\displaystyle a\pm d}$

マクスウェル特性は、x 軸との交差を規定することによって環サイクライドを決定する根拠を与えます。

与えられたもの: x 軸上の 4 つの点(図を参照)。${\displaystyle x_{1}>x_{2}>x_{3}>x_{4}}$

求めるもの:準線楕円の中心、半軸、直線離心率、焦点、および対応する環サイクライドの パラメータ。${\displaystyle m_{0}}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$

マクスウェル特性から次の式が導かれる。

${\displaystyle 2(a+d)=x_{1}-x_{4}\;,\quad \ 2(a-d)=x_{2}-x_{3}\ .}$

利回り の解決${\displaystyle a,c}$

${\displaystyle a={\frac {1}{4}}\left(x_{1}+x_{2}-x_{3}-x_{4}\right),\quad }$ ${\displaystyle d={\frac {1}{4}}\left(x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}\right)\ .}$

焦点（X軸上）は

${\displaystyle f_{1}={\frac {1}{2}}(x_{2}+x_{3}),\quad f_{2}={\frac {1}{2}}(x_{1}+x_{4})}$そしてそれゆえ

${\displaystyle c={\frac {1}{4}}\left(-x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}\right)\;,\quad \ b={\sqrt {a^{2}-c^{2}}}\ }$

焦点円錐（楕円と双曲線）の中心のx座標は

${\displaystyle m_{0}={\frac {1}{4}}\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\right)\ .}$

上記のパラメトリック表現を使用してサイクライドを表示する場合は、中心の移動を考慮する必要があります。 ${\displaystyle m_{0}}$

数字の順序の意味${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$

(上記の計算では を前提としています。図を参照してください。) ${\displaystyle x_{1}>x_{2}>x_{3}>x_{4}}$

(H)スワップするとホーンサイクライドが生成されます。(S)スワップするとスピンデルサイクライドが生成されます。(H1)の場合、1ホーンサイクライドが生成されます。(R)の場合、原点で自分自身に接するリングサイクライドが生成されます。 ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$
${\displaystyle x_{2},x_{3}}$
${\displaystyle x_{1}=x_{2}=2}$
${\displaystyle x_{2}=x_{3}=0}$

タイプが変わらないようにパラメータ を増減すると、同じタイプの 平行面（平行曲線と同様）が得られます（図を参照）。${\displaystyle d}$

環状サイクリドをチャネル面として生成する2番目の方法は、焦点双曲線を準線として使う。次の式で表される。

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{c^{2}}}-{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1\ ,\ y=0\ .}$

この場合、球は 2 番目の円族 (曲率線) で外側からサイクライドに接します。双曲線の各腕には、円のサブファミリーが属します。1 つのファミリーの球はサイクライドを囲みます (図では紫色)。もう 1 つのファミリーの球は、サイクライドによって外側から接します (青色)。

双曲線のパラメトリック表現:

${\displaystyle (\pm c\cosh \psi ,0,b\sinh \psi )\ .}$

対応する球の半径は

${\displaystyle R(\psi )=a\cosh \psi \mp d\ .}$

トーラス（ ）の場合、双曲線はトーラスの軸に退化します。 ${\displaystyle c=0}$

双曲線の焦点は です。双曲線の点から焦点までの距離は であり、球の半径と合わせると になります。同様に になります。双曲線の 2 番目の腕上の点については、次の方程式が導かれます。${\displaystyle \;H_{\pm }(\psi )=(\pm c\cosh \psi ,0,b\sinh \psi )\;}$${\displaystyle \;F_{i}=(\pm a,0,0)\;}$${\displaystyle \;H_{+}(\psi )=(c\cosh \psi ,0,b\sinh \psi )\;}$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle \;|H_{+}F_{1}|=a\cosh \psi -c\;}$${\displaystyle R_{+}(\psi )=a\cosh \psi -d}$${\displaystyle \;|H_{+}F_{1}|-R_{+}=d-c\;}$${\displaystyle \;|H_{+}F_{2}|-R_{+}=d+c\;}$${\displaystyle \;R_{-}-|H_{-}F_{1}|=d-c\;,\ R_{-}-|H_{-}F_{2}|=d+c\;.}$

したがって:

xz 平面では、中​​心と半径を持つ球の円には、エンベロープとして中心と半径を持つ 2 つの円 (図の灰色) があります。 ${\displaystyle H_{\pm }(\psi )}$${\displaystyle R_{\pm }(\psi )}$${\displaystyle F_{1/2}=(\pm a,0,0)}$${\displaystyle d\mp c}$

楕円と双曲線 (焦点円錐) は、楕円サイクライドの縮退した焦点面です。楕円と双曲線の任意の点のペアについては、次のことが当てはまります (焦点面の定義による)。 ${\displaystyle E,H}$

1) この線はサイクライドの法線であり、${\displaystyle {\overline {EH}}}$

2) サイクライドの対応する点は、関係によって弦を分割します(図を参照)。${\displaystyle P}$${\displaystyle EH}$${\displaystyle r:R}$

焦点円錐と球の半径のパラメトリック表現から

楕円：${\displaystyle \quad \ \ \ E(u)=(a\cos u,b\sin u,0),\quad r(u)=d-c\cos u\ \ ,}$

双曲線：${\displaystyle \quad H(v)=({\frac {c}{\cos v}},0,b\tan v),\quad R(u)={\frac {a}{\cos v}}-d\ .}$

サイクリッドの 対応する点が得られます（図を参照）。${\displaystyle P}$

${\displaystyle \ P(u,v)={\frac {R(v)}{r(u)+R(v)}}\;E(u)+{\frac {r(u)}{r(u)+R(v)}}\;H(v)\ .}$

(双曲線の珍しいけれども便利なパラメトリック表現については、 双曲線を参照してください。)

詳細な計算により、上記に示した楕円サイクライドのパラメトリック表現が得られます。

チャネル サーフェスに関する記事で示されているパラメトリック表現を使用する場合、一般に、パラメトリック曲線の 1 つのファミリのみが円で構成されます。

放物線の場合のパラメトリック表現の導出も同様に実行されます。

焦点放物線（縮退した焦点面）と球の半径のパラメトリック表現は次のとおりです。

${\displaystyle P_{1}(u)=\left({\frac {p}{2}}(1-u^{2}),pu,0\right),\quad r_{1}={\frac {p}{2}}(1-k+u^{2})\;}$

${\displaystyle P_{2}(v)=\left({\frac {p}{2}}v^{2},0,pv\right),\qquad \qquad r_{2}={\frac {p}{2}}(k+v^{2})\ }$

一つは

${\displaystyle \ P(u,v)={\frac {r_{2}(v)}{r_{1}(u)+r_{2}(v)}}\;P_{1}(u)+{\frac {r_{1}(u)}{r_{1}(u)+r_{2}(v)}}\;P_{2}(v)}$

これは、放物線サイクライドの上記のパラメトリック表現を提供します。

シクリドの研究における利点は以下の特性です:

(I):デュパンサイクライドは、直円柱、直円二重円錐、または回転トーラスの反転(球面による反射)による像です。

球面上の反転は次のように解析的に記述できます。 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}}$

${\displaystyle (x,y,z)\rightarrow {\frac {R^{2}\cdot (x,y,z)}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\ .}$

球面における反転の最も重要な特性は次のとおりです。

1. 球と円は同じオブジェクトにマッピングされます。
2. 原点（反転の中心）を含む平面と線は、それ自体にマッピングされます。
3. 原点を含まない平面と線は、原点を通過する球または円上にマッピングされます。
4. 反転は逆写像と同じである（逆写像と同じ）。
5. 反転すると角度が保存されます。

反転によって任意の表面をマッピングできます。上記の式は、表面がパラメトリックまたは暗黙的に与えられている場合、いずれの場合でも画像表面のパラメトリックまたは暗黙的な表現を与えます。パラメトリック表面の場合は次のようになります。

${\displaystyle (x(u,v),y(u,v),z(u,v))\rightarrow {\frac {R^{2}\cdot (x(u,v),y(u,v),z(u,v))}{x(u,v)^{2}+y(u,v)^{2}+z(u,v)^{2}}}\ .}$

しかし、直円柱、円錐、回転トーラスの場合にのみデュパンサイクライドが得られ、その逆も同様です。

a) 原点を含まない直線は、球 (図ではマゼンタ) での反転によって原点を含む円上にマッピングされるため、円筒の像は、原点で互いに接触する円を持つ環状サイクライドになります。図に示されている線分の像として、線分上に像として円セグメントが表示されます。円筒の内側に接触する球は、サイクライドをチャネル面として生成する最初の球束にマッピングされます。円筒の接平面の像は、サイクライドに接触する 2 番目の球束になります。後者は原点を通ります。
b) 2 番目の例では、原点を含む円筒を反転します。原点を通過する線は、その線自体にマッピングされます。したがって、表面は無限であり、放物線サイクライドです。

円錐を生成する線は円上にマッピングされ、円は原点と円錐の頂点の像で交差します。円錐の像は二重角サイクライドです。図は円錐の線分像を示していますが、実際には円分です。

トーラス上の円束は両方とも (図に示されています)、サイクライド上の対応する円束にマッピングされます。自己交差トーラスの場合は、スピンドル サイクライドになります。

ヴィラルソーサークル

デュパン環サイクライドは適切な反転を介してトーラスの像として見ることができ、反転は円を円または線上にマッピングするため、ヴィラルソー円の像はサイクライド上にさらに 2 つの円族を形成します (図を参照)。

設計パラメータの決定${\displaystyle a,b,c,d}$

パラメトリック サーフェスの反転の式 (上記参照) は、円をパラメトリック曲線として持つサイクライド (トーラスの反転として) のパラメトリック表現を提供します。ただし、パラメトリック ネットのポイントは適切に分散されていません。そのため、設計パラメータを計算し、上記のパラメトリック表現を使用する方が適切です。 ${\displaystyle a,b,c,d}$

与えられたもの: x 軸に沿って標準位置からずれたトーラス。トーラスと x 軸の交点を とします (図を参照)。すべてゼロではありません。そうでない場合、トーラスの反転はリングサイクライドになりません。必要なのは、楕円の半軸と線形離心率(準線)、および単位球面における反転下のトーラスのイメージであるリングサイクライドのパラメーターです。 ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$
${\displaystyle a,b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$

反転はに写像され、これは環サイクリドの4点のx座標である（図を参照）。 断面サイクリドからx軸上の4点を通ると、 ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{x_{i}}}}$

${\displaystyle a={\frac {1}{4}}\left({\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}-{\frac {1}{x_{3}}}-{\frac {1}{x_{4}}}\right),\quad }$ ${\displaystyle d={\frac {1}{4}}\left(-{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}-{\frac {1}{x_{3}}}+{\frac {1}{x_{4}}}\right)\ }$そして

${\displaystyle c={\frac {1}{4}}\left({\frac {1}{x_{1}}}-{\frac {1}{x_{2}}}-{\frac {1}{x_{3}}}+{\frac {1}{x_{4}}}\right)\;,\quad \ b={\sqrt {a^{2}-c^{2}}}\ }$

焦点円錐の中心のx座標は

${\displaystyle m_{0}={\frac {1}{4}}\left({\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+{\frac {1}{x_{3}}}+{\frac {1}{x_{4}}}\right)\ .}$

デュパンサイクライドは、サイクライドのより一般的な概念の特殊なケースであり、二次曲面の概念の自然な拡張です。二次曲面は、直交座標 ( x ₁、x ₂、x ₃ )の 2 次多項式の零点集合として記述できますが、サイクライドは、 ( x ₁、x ₂、x ₃、r ² ) の 2 次多項式の零点集合によって与えられます ( r ² = x ₁ ² + x ₂ ² + x ₃ ² ) 。したがって、これは直交座標の 4 次曲面であり、次の形式の方程式を持ちます。

${\displaystyle Ar^{4}+\sum _{i=1}^{3}P_{i}x_{i}r^{2}+\sum _{i,j=1}^{3}Q_{ij}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{3}R_{i}x_{i}+B=0}$

ここでQは3x3行列、PとRは3次元ベクトル、AとBは定数である。^[6]

サイクリドのファミリーは、さまざまなサイクリド座標幾何学を生み出します。

マキシム・ボッチャーの1891年の学位論文『ポテンシャル理論の理論について』では、 3変数のラプラス方程式は、17の共形的に異なる2次および循環座標幾何学における変数分離法を用いて解くことができることが示された。ラプラス方程式のR変数分離法を研究することで、他の多くの循環幾何学を得ることができる。^[7]

• 曲線と曲面の反転（ドイツ語）

• MathCurve の Dupin サイクリド

• セシル、トーマス E. (1992)、リー球面幾何学、ニューヨーク：Universitext、Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-97747-8。
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• ヒルベルト、デイヴィッド、コーン＝ヴォッセン、ステファン（1999）『幾何学と想像力』アメリカ数学会、ISBN 0-8218-1998-4。
• ムーン、パリー、スペンサー、ドミナ・エベル（1961）、場の理論ハンドブック：座標系、微分方程式、およびその解を含む、シュプリンガー、ISBN 0-387-02732-7。
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