四次平面曲線

代数幾何学において、四次平面曲線は4 次平面代数曲線であり、2 変数四次方程式によって定義されます。

${\displaystyle Ax^{4}+By^{4}+Cx^{3}y+Dx^{2}y^{2}+Exy^{3}+Fx^{3}+Gy^{3}+Hx^{2}y+Ixy^{2}+Jx^{2}+Ky^{2}+Lxy+Mx+Ny+P=0,}$

ただし、A、B、C、D、Eのうち少なくとも 1 つはゼロではありません。この方程式には 15 個の定数があります。ただし、曲線を変えずに、任意の非ゼロ定数を掛けることができます。したがって、適切な乗算定数を選択することで、係数のいずれかを 1 に設定でき、残る定数は 14 個だけです。したがって、4 次曲線の空間は、実射影空間 ⁠と同一視できます。${\displaystyle \mathbb {RP} ^{14}.}$また、代数曲線に関するクラメールの定理から、4 次曲線には 14個の自由度があるため、一般的な位置にある 14 個の異なる点の集合を通過する 4 次曲線は 1 つだけであることもわかります。

4 次曲線の最大値は次のとおりです。

• 4つの連結成分
• 28本の双接線
• 通常のダブルポイント3つ。

また、複素数などの他の体(または環)上の 4 次曲線を考えることもできます。このようにして、⁠ ⁠上では 1 次元のオブジェクトですが⁠ ⁠上では 2 次元のオブジェクトであるリーマン面が得られます。一例として、クラインの 4 次曲線が挙げられます。さらに、同次多項式によって与えられる 射影平面上の曲線を見ることができます。${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

上記の式の係数のさまざまな組み合わせにより、以下にリストするさまざまな重要な曲線のファミリーが生成されます。

アンパサンド曲線は、次の式で与えられる 4 次平面曲線です。

${\displaystyle \(y^{2}-x^{2})(x-1)(2x-3)=4(x^{2}+y^{2}-2x)^{2}.}$

種数は0で、3つの通常の二重点を持ち、すべて実平面上に ある。 ^[1]

豆曲線は、次の式を持つ 4 次平面曲線です。

${\displaystyle x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=x(x^{2}+y^{2}).\,}$

豆曲線は種数がゼロです。原点に 1つの特異点、通常の三重点があります。 ^{[2] [3]}

小臼歯は、次の式で表される四次平面曲線である。

${\displaystyle (x^{2}-a^{2})(xa)^{2}+(y^{2}-a^{2})^{2}=0\,}$

ここでaは曲線の大きさを決定する。双尖歯は2つの尖端のみが特異点であるため、種数1の曲線である。 ^[4]

弓状曲線は、次の式で表される 4 次平面曲線です。

${\displaystyle x^{4}=x^{2}yy^{3}.\,}$

弓状曲線はx =0、y =0に単一の三重点を持ち、したがって種数0の有理曲線である。 ^[5]

十字曲線は、次の式で表される4次平面曲線である 。

${\displaystyle x^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0\,}$

ここで、aとb は曲線の形状を決定する2 つのパラメータです。十字曲線は、標準的な 2 次変換x ↦ 1/ x、y ↦ 1/ yによって楕円a ² x ² + b ² y ² = 1 に関連付けられているため、種数 0 の有理平面代数曲線です。十字曲線は、実射影平面にx =0 かつy =0、x =0 かつz =0、y = 0 かつz =0 の 3 つの二重点を持ちます。 ^[6]

曲線は有理数なので、有理関数でパラメータ化できます。たとえば、a =1、b =2の場合、

${\displaystyle x=-{\frac {t^{2}-2t+5}{t^{2}-2t-3}},\quad y={\frac {t^{2}-2t+5}{2t-2}}}$

分母がゼロになる例外的なケースを除いて、曲線上の点をパラメータ化します。

逆ピタゴラスの定理は、上の式でx をAC、yをBC 、 a と b をそれぞれCDに置き換えることで得られます。ここで、AとB は直角三角形ABCの斜辺の端点、Dは直角の頂点Cから斜辺に 下ろした垂線の足です。

${\displaystyle {\begin{aligned}AC^{2}BC^{2}-CD^{2}AC^{2}-CD^{2}BC^{2}&=0\\AC^{2}BC^{2}&=CD^{2}BC^{2}+CD^{2}AC^{2}\\{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {BC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}+{\frac {AC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}\\\したがって \;\;{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {1}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}}}\end{aligned}}}$

螺旋断面は、 x 軸とy軸に関して対称な双円四次曲線として定義できます。螺旋断面はトーリック断面のファミリーに含まれ、ヒッポペデスのファミリーとカッシーニの楕円のファミリーが含まれます。名前は古代ギリシャ語でトーラスを意味する σπειρα に由来します。

デカルト方程式は次のように書ける。

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f,}$

そして極座標の方程式は

${\displaystyle r^{4}=dr^{2}\cos ^{2}\theta +er^{2}\sin ^{2}\theta +f.\,}$

三つ葉のクローバーまたはトリフォリウム^[7]は、四次平面曲線である。

${\displaystyle x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-x^{3}+3xy^{2}=0.\,}$

yについて解くと、曲線は次の関数で表すことができます。

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {\frac {-2x^{2}-3x\pm {\sqrt {16x^{3}+9x^{2}}}}{2}}},}$

ここで、 ± の 2 つの出現は互いに独立しており、各xに対して最大 4 つの異なるyの値が得られます。

曲線のパラメトリック方程式は

${\displaystyle x=\cos(3t)\cos t,\quad y=\cos(3t)\sin t.\,}$^[8]

極座標（x = r  cos φ、y = r  sin φ）では、方程式は次のようになります。

${\displaystyle r=\cos(3\varphi ).\,}$

これは、 k = 3のローズ曲線の特殊なケースです。この曲線は、原点 (0, 0) に三重点を持ち、3 つの二重接線を持ちます。

• 三次四次
• 4次曲線の重接線