角周波数k = n / d 正弦 r = cos( kθ )で指定されるバラ。 k は 既約形式で表現されなければならない。数学 において、ローズ 曲線またはロドネア曲線 とは、位相角のない コサイン関数 またはサイン 関数によって指定される正弦波であり、 極座標 でプロットされる。ローズ曲線または「ロドネア」という名称は、 1723年から1728年の間にそれらを研究したイタリアの数学者グイド・グランディ によって付けられた。 [ 1 ]
概要
仕様 ローズとは、極座標方程式 [ 2 ]で指定される極座標の点の集合である。
r = 1 コス （ k θ ） {\displaystyle r=a\cos(k\theta )} または、パラメトリック方程式を用いたデカルト座標系
x = r コス （ θ ） = 1 コス （ k θ ） コス （ θ ） y = r 罪 （ θ ） = 1 コス （ k θ ） 罪 （ θ ） {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos(\theta )=a\cos(k\theta )\cos(\theta )\\y&=r\sin(\theta )=a\cos(k\theta )\sin(\theta )\end{aligned}}} バラは正弦関数を使って指定することもできます。[ 3 ]
罪 （ k θ ） = コス （ k θ − π 2 ） = コス （ k （ θ − π 2 k ） ） {\displaystyle \sin(k\theta )=\cos \left(k\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos \left(k\left(\theta -{\frac {\pi }{2k}}\right)\right)} したがって、 r = a sin( kθ )r = a cos( kθ ) で指定されるバラを反時計回りに π / 2 k ラジアン回転 さもの と 同一 で あり
ローズ曲線はコサイン関数またはサイン関数を使用して指定されるため、通常は極座標（ デカルト座標 ではなく）で、角周波数が k で振幅がaの正弦 波 のグラフとして表現され、極角θ が与えられたときに半径座標r を 決定します（ただし、k が有理数の場合、 代数曲線 として指定できるため、ローズ曲線はデカルト座標で表現できます[ 4 ]
一般特性 様々なパラメーター設定によるバラの芸術的な描写 バラは、バラを規定する正弦波の特性と直接的に関連している。
花びら バラのグラフは花びら で構成されています。花びらは、バラの形を規定する正弦波の半周期のグラフによって形成される形状です。（周期とは、正弦波の一部で、長さが T = 2π/k の1周期分 で あり 、正 の 半 r ≥ 0T / 2 = π / k の 連続した点の集合 ）と、負の半周期 （ r ≤ 0 のもう一方の半分）から構成されます。 ） 各花びらの形状は同じです。これは、半周期のグラフの形状が同じであるためです。形状は、r = a cos( kθ ) で指定される( a ,0) に頂点を持つ正の半周期によって与えられます (角度区間− T / 4 ≤ θ ≤ T / 4 回転させたものであり、 a とk の値が同じ正弦関数で指定されるバラの花びらも含まれます。[ 5 ] 極座標で点をプロットする規則に従って、負の半周期にある点は、動径座標r が負であるため、その極角でプロットすることはできません。その点は、動径座標| r | πラジアンを加えることでプロットされます。したがって、バラのグラフでは、正の半周期と負の半周期が一致することがあります。さらに、バラは円 r = a 正弦波の周期Tが 4 π 以下である場合、花びらの形状は単一の閉じたループになります。単一のループが形成されるのは、極座標プロットの角度間隔が2 π であり、半周期の角度幅が2 π 以下であるためです。T > 4 π | k | < 1 / 2 ) の場合、半周期のプロットは、極から螺旋状に外側に向かって、極の周りを複数回回転しながら進み 、 4π < T ≤ 8π ( 1/4 ≤ | k | < 1/2 を 形成 する など 、 各 花弁 は複数 の ループ を 形成 し ます 。k = 1 / 3、1 /5、1 / 7 など の 場合 は 、 複数 の ループ を 持つ 花弁 が 1 枚 だけ の バラ が 観察 さ れ ます 。（ て ください 。 ） 角周波数k がゼロでない整数の場合、バラの花びらは互いに交差しない。それ以外の場合は、花びらは互いに交差する。
対称 バラはすべて、正弦波の持つ基本的な対称性と周期性によって、一つ以上の対称性を示します。
r = a cos( kθ )a cos( kθ ) = a cos(− kθ ) という恒等式 により、2 つの極方程式で指定されたバラが一致するため、極軸 (直線θ = 0 ) に関して対称です。r = a sin( kθ )a sin( kθ ) = a sin( π − kθ ) という 恒等式により、2 つの極方程式で指定されたバラが一致するため、垂直線 θ = π / 2 個々の花びらは、中心軸と花びらの頂点を通る線に対して対称であり、これは基となる正弦波の半周期の対称性を反映している。有限数の花びらで構成されるバラは、定義上、回転対称で ある。なぜなら、各花びらは同じ形状であり、連続する花びらは中心軸を中心として同じ角度で回転しているからである。
k バラの曲線はr = cos(4 θ )= 4 は 2 k = 8 枚の花びらがあります。連続するピークを結ぶ線分は円r = 1上にあり、八角形 を形成します。1 つのピークが(1,0) にあるため、半周期の境界 (アポセムに対応) を描画した後、八角形によってグラフのスケッチが比較的容易になります。 バラはr = cos(7 θ )= 7 は k = 7r = 1上にあり、七角形 を形成します。バラは円r = 1 k がゼロでない整数の場合 、曲線はk が偶数の場合は2 k 枚の花びら を持つバラの形になり、k が奇数の場合はk 枚 の花びらを持つバラの形になります。[ 6 ] k を持つバラの特殊なケースです。
バラは、そのすべての頂点の半径座標に対応する円r = aに内接している。 極座標プロットは極角が0から2πまでの範囲に限定されるため、 グラフには2π / T = kサイクルが表示されます。θ = 0の動径座標はθ = 2πの値と同じであるため（ これら は コサイン 関数 で 指定 さ れる バラ の を k が偶数（かつゼロ以外）の場合、バラは2k枚 の花びらで構成され、それぞれが表示されている極角の2π区間内の各ピークに 対応します。各ピークは円 r = a 正多角形 を形成します。同様に、次のようになります。 バラは支柱に対して左右対称に咲いている。 バラは、 2π/ 2k = π / k ラジアン です 。 したがって 、 これら のバラは 2k の次 数 バラは、連続する頂点間の角度を二等分する各線に対して対称であり、これは半周期の境界と対応する多角形のアポセム（中心から頂点までの距離）に対応する。 k が奇数の場合、バラはk 枚の花びらで構成され、それぞれが表示されている極角の2 π区間内の各山 (または谷) に対応します。各山は円 r = a θ = 0 からθ = π π ラジアンの長さの任意の連続した極角区間をプロットすることによってグラフ化されます。[ 7 ] 正多角形を形成し、同様に次のようになります。 これらのバラは、 2π / k ラジアン です。したがって、これらのバラは k 次回転対称性を持っています。バラは、 k が奇数の場合は次数k +1k が偶数の場合は2( k +1)の代数曲線で指定できます。 [ 8 ]
円 k = 1r = a cos( θ ) のときに極軸上にあり、直径が極軸上にある円です 。この円は曲線の 1 つの花びらです。（次のセクションの最後に円が形成される様子を参照してください。）デカルト座標では、同等のコサインとサインの仕様は次のようになります。
（ x − 1 2 ） 2 + y 2 = （ 1 2 ） 2 {\displaystyle \left(x-{\frac {a}{2}}\right)^{2}+y^{2}=\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}} そして
x 2 + （ y − 1 2 ） 2 = （ 1 2 ） 2 {\displaystyle x^{2}+\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}} それぞれ。
四葉 k = 22k = 4 枚の花弁を持ち、正方形 を形成するため、クアドリフォリウム と呼ばれます。デカルト座標では、コサインとサインの仕様は次のようになります。
（ x 2 + y 2 ） 3 = 1 2 （ x 2 − y 2 ） 2 {\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}=a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}} そして
（ x 2 + y 2 ） 3 = （ 2 1 x y ） 2 {\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}=\left(2axy\right)^{2}} それぞれ。
三葉 k = 3k = 3 枚の花弁を持ち、正三角形 を形成するため、トリフォリウム[ 9 ]
（ x 2 + y 2 ） 2 = 1 （ x 3 − 3 x y 2 ） {\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=a\left(x^{3}-3xy^{2}\right)} そして
（ x 2 + y 2 ） 2 = 1 （ 3 x 2 y − y 3 ） {\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=a\left(3x^{2}y-y^{3}\right)} それぞれ。[ 10 ]
八葉 k = 42k = 8 枚の花弁を持ち、八角形 を形成するため、八葉バラと 呼ばれます。デカルト座標では、コサインとサインの仕様は次のようになります。
（ x 2 + y 2 ） 5 = 1 2 （ x 4 − 6 x 2 y 2 + y 4 ） 2 {\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{5}=a^{2}\left(x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}\right)^{2}} そして
（ x 2 + y 2 ） 5 = 16 1 2 （ x y 3 − y x 3 ） 2 {\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{5}=16a^{2}\left(xy^{3}-yx^{3}\right)^{2}} それぞれ。
五葉 k = 5k = 5 枚あり、正五角形 を形成するため、五葉バラ と呼ばれます。デカルト座標では、コサインとサインの仕様は次のとおりです。
（ x 2 + y 2 ） 3 = 1 （ x 5 − 10 x 3 y 2 + 5 x y 4 ） {\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}=a\left(x^{5}-10x^{3}y^{2}+5xy^{4}\right)} そして
（ x 2 + y 2 ） 3 = 1 （ 5 x 4 y − 10 x 2 y 3 + y 5 ） {\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}=a\left(5x^{4}y-10x^{2}y^{3}+y^{5}\right)} それぞれ。
十二葉 k = 62k = 12 枚の花弁を持ち、十二角形 を形成するため、十二葉バラ と呼ばれます。デカルト座標では、コサインとサインの仕様は次のようになります。
（ x 2 + y 2 ） 7 = 1 2 （ x 6 − 15 x 4 y 2 + 15 x 2 y 4 − y 6 ） 2 {\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{7}=a^{2}\left(x^{6}-15x^{4}y^{2}+15x^{2}y^{4}-y^{6}\right)^{2}} そして
（ x 2 + y 2 ） 7 = 4 1 2 （ 3 x 5 y − 10 x 3 y 3 + 3 x y 5 ） 2 {\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{7}=4a^{2}\left(3x^{5}y-10x^{3}y^{3}+3xy^{5}\right)^{2}} それぞれ。
総面積と花弁面積 r = a cos( kθ ) またはr = a sin( kθ ) の形の極方程式で表されるバラの総面積は、 k がゼロでない整数である場合、 [ 11 ]
1 2 ∫ 0 2 π （ 1 コス （ k θ ） ） 2 d θ = 1 2 2 （ π + 罪 （ 4 k π ） 4 k ） = π 1 2 2 たとえ k 1 2 ∫ 0 π （ 1 コス （ k θ ） ） 2 d θ = 1 2 2 （ π 2 + 罪 （ 2 k π ） 4 k ） = π 1 2 4 奇数の場合 k {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta &={\frac {a^{2}}{2}}\left(\pi +{\frac {\sin(4k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{2}}&&\quad {\text{for even }}k\\[8px]{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta &={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\sin(2k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{4}}&&\quad {\text{for odd }}k\end{aligned}}} k が偶数の場合、花びらは 2k枚 あり、kが奇数の場合、花びらは k 枚あるので、各花びらの面積はπa 2 / 4 k です
したがって、もし誰かが上記のようにバラを使って人気ゲーム「彼は私を愛している…彼は私を愛していない」 をプレイしたい場合、花びらの数を数える代わりに、バラの面積を計算してゲームの結果を決定することができる。
k 一般に、k が 既約分数 形式k = n / d n とd がゼロでない整数である場合、花びらの数は式 1 / 2 − 1 / 2 k = n − d / 2 n [ 12 ] これは、 n とd の両方が奇数の場合は花びらの数がn であり、そうでない場合は2 n で [ 13 ]
n とd の両方が奇数の場合、正弦波の正と負の半周期は一致します。これらのバラのグラフは、dπの [ 14 ] n が偶数でd が奇数の場合、またはその逆の場合、バラは2dπの長さの連続した極角区間内に完全にグラフ化されます。[ 15 ] さらに、 [ 16 ] さらに、n が奇数でdが偶数の場合、 a とk の値が同じコサインおよびサインの極座標方程式で指定されるバラは一致します。このようなバラのペアの場合、サイン関数で指定されるバラは、極座標軸上のθ = dπ / 2 または θ = 3 dπ / 2 の位置で、コサイン関数で指定されるバラの頂点と一致します。 （ これは 、 k ゼロ でない 整数 値 で ある r = a cos ( kθ )と ra sin ( kθ ) は決して バラは、そのすべての頂点の半径座標に対応する円r = aに内接している。
k = 1/2 の 、 ドイツ 。 r = a cos( θ / 2 ) と r = a sin ( θ / で 指定さ れるバラ は 、 a ( θ / 2 ) ≠ a sin( θ / 2 )で ある にもかかわらず 一致 し ます 。 デカルト 座標 で 、バラは [ 17 ] の ように 指定 さ れ ます 。
（ x 2 + y 2 ） （ 2 （ x 2 + y 2 ） − 1 2 ） 2 = 1 4 x 2 {\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)\left(2\left(x^{2}+y^{2}\right)-a^{2}\right)^{2}=a^{4}x^{2}} デューラーの葉は三等分線 でもあり、角度を三等分するために使用できる曲線です。
k = 1/3 、 角度 を三等分するために使用できる三等分 曲線の性質を持つリマソン三等分曲線 です。バラは、 2つのループを持つ1枚の花びら を
円、
k = 1 (
n = 1 、
d = 1 )。θ = π に達したとき (軽いギアが半回転したとき)
バラ は 完成します。
リマソン
・トリセクトリックス （
k = 1 / 3 、 n = 1、
d = 3 ）は、2つのループを持つ花弁
が1枚あります。バラは 、 θ = 3π （ 軽いギアの3/2 回転 ） に 達したときに完成します。
三つ葉、k = 3n = 3d = 1 )。θ = π バラ
k = 4 / 5 n = 4d = 5 ) は ポールに対して対称です。バラはθ = 10 π
k k に無理数 を指定して指定されたバラ曲線は、花びらが無限に多く[ 18 ] r = a cos( πθ ) の周期はT = 2なので、極角区間 − 1 / 2 ≤ θ ≤ 1 / 2 ( a ,0) にプロットされる極方程式の領域には、他の極角はありません。全体として、無理定数である角周波数を持つ正弦波によって指定されたバラは、密な集合を形成します (つまり、円盤 r ≤ a
曲線を閉じるために必要な回転数 バラの曲線が1つの完全な閉じた図形を 。k が 整数の 場合 、 k が 奇数であれば π ラジアン後に曲線が閉じ、k が偶数であれば 2π ラジアン後に曲線が閉じます。kが 有理数 、 曲線 が閉じるのに 必要な総回転数は、nd が 奇数 ば dπ / gcd(n,d) ば 2dπ / gcd(n,d)で与えられます。この式は 、
外部リンク k パラメータでバラを作成するアプレット特殊平面曲線のビジュアル辞書 Xah Lee JSXGraphを使用したインタラクティブな例 （正弦関数を使用して）バラの曲線をベクターグラフィックとして作成します。 
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta &={\frac {a^{2}}{2}}\left(\pi +{\frac {\sin(4k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{2}}&&\quad {\text{偶数 }}k の場合\\[8px]{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta &={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\sin(2k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{4}}&&\quad {\text{奇数 }}k の場合}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58ed28979bb8ca9b9a7b7f44593149ea14500e9d)
