対応分析

アルゴリズムの中心的な計算ステップに進む前に、行列Cの値を変換する必要があります。^{[ 10 ]}まず、列と行の重み（質量と呼ばれることもあります）のセットを計算します。 ^{[ 7 ] [ 11 ]}ここで、行と列の重みは、それぞれ行ベクトルと列ベクトルによって与えられます。

${\displaystyle w_{m}={\frac {1}{n_{C}}}C\mathbf {1} ,\quad w_{n}={\frac {1}{n_{C}}}\mathbf {1} ^{T}C.}$

ここ${\displaystyle n_{C}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}C_{ij}}$は行列Cのすべてのセル値の合計、または略してCの合計であり、${\displaystyle \mathbf {1} }$は、適切な次元を持つ、要素がすべて1の列ベクトルです。

簡単に言うと、${\displaystyle w_{m}}$は、要素がCの行の合計をCの合計で割ったベクトルであり、${\displaystyle w_{n}}$は、要素がCの列の合計をCの合計で割ったものであるベクトルです。

重みは対角行列に変換される

${\displaystyle W_{m}=\オペレーター名 {diag} (1/{\sqrt {w_{m}}})}$

そして

${\displaystyle W_{n}=\オペレーター名 {diag} (1/{\sqrt {w_{n}}})}$

対角要素${\displaystyle W_{n}}$は${\displaystyle 1/{\sqrt {w_{n}}}}$そして${\displaystyle W_{m}}$は${\displaystyle 1/{\sqrt {w_{m}}}}$すなわち、ベクトル要素は質量の平方根の逆数である。非対角要素はすべて0である。

次に、行列を計算します。${\displaystyle P}$分割することによって${\displaystyle C}$その合計によって

${\displaystyle P={\frac {1}{n_{C}}}C.}$

簡単に言うと、マトリックス${\displaystyle P}$これは、データ行列（分割表または二値表）を部分に変換したもので、つまり各セルの値は、表全体の合計のセル部分です。

最後に、行列を計算します。${\displaystyle S}$（標準化残差行列とも呼ばれる）^{[ 10 ]}は、行列乗算によって次のように表される。

${\displaystyle S=W_{m}(P-w_{m}w_{n})W_{n}}$

ベクトルに注目してください${\displaystyle w_{m}}$そして ${\displaystyle w_{n}}$外側の積で結合され、同じ次元の行列が生成されます。${\displaystyle P}$言葉で表すと、式は次のようになります。行列${\displaystyle \operatorname {outer} (w_{m},w_{n})}$行列から減算されます${\displaystyle P}$そして、結果として得られる行列は、対角行列によってスケーリング（重み付け）されます。${\displaystyle W_{m}}$そして${\displaystyle W_{n}}$結果として得られる行列に対角行列を掛けることは、その行列の i 番目の行（または列）に、対角行列の i 番目の要素を掛けることと同等である。${\displaystyle W_{m}}$または${\displaystyle W_{n}}$それぞれ^{[ 12 ]}。

ベクトル${\displaystyle w_{m}}$そして${\displaystyle w_{n}}$は、それぞれ行と列の質量、または行と列の周辺確率です。行列を減算します。${\displaystyle \operatorname {outer} (w_{m},w_{n})}$行列から${\displaystyle P}$これは、データの二重中心化の行列代数版です。この差を対角重み行列で乗算すると、ベクトル空間の原点からの重み付き偏差を含む行列が得られます。この原点は行列によって定義されます。${\displaystyle \operatorname {outer} (w_{m},w_{n})}$。

実際、マトリックス${\displaystyle \operatorname {outer} (w_{m},w_{n})}$は、カイ二乗検定における期待度数行列と同一である。したがって${\displaystyle S}$これは、そのテストで使用された独立性モデルと計算上関連している。しかし、CAは推論手法ではないため、ここでは独立性モデルという用語は不適切である。

テーブル${\displaystyle S}$は特異値分解によって次のように分解される^{[ 10 ]。}

${\displaystyle S=U\シグマ V^{*}\,}$

どこ${\displaystyle U}$そして ${\displaystyle V}$は、の左特異ベクトルと右特異ベクトルです。${\displaystyle S}$そして${\displaystyle \Sigma }$は特異値を持つ正方対角行列である$\displaystyle \sigma _{i}}$の${\displaystyle S}$斜めに。${\displaystyle \Sigma }$寸法は ${\displaystyle p\leq (\min(m,n)-1)}$したがって${\displaystyle U}$はm×pの次元であり、${\displaystyle V}$n×pの正規直交ベクトルです。${\displaystyle U}$そして ${\displaystyle V}$満たす

${\displaystyle U^{*}U=V^{*}V=I}$。

言い換えれば、${\displaystyle C}$また、${\displaystyle S}$現在は2つの（座標）行列に分布している${\displaystyle U}$そして ${\displaystyle V}$対角（スケーリング）行列${\displaystyle \Sigma }$それらによって定義されるベクトル空間の次元数はpであり、これは行数と列数のうち小さい方の値から1を引いた値である。

主成分分析は（共）分散を分解すると言われ、その成功の尺度は最初のいくつかのPCA軸によってカバーされる（共）分散の量（固有値で測定）であるのに対し、CAは慣性と呼ばれる重み付き（共）分散で動作します。^{[ 13 ]}二乗特異値の合計が総慣性です。${\displaystyle \mathrm {I} }$データテーブルの計算結果

${\displaystyle \mathrm {I} =\sum _{i=1}^{p}\sigma _{i}^{2}.}$

全慣性${\displaystyle \mathrm {I} }$データテーブルの値は、直接計算することもできます。${\displaystyle S}$として

${\displaystyle \mathrm {I} =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}s_{ij}^{2}.}$

i 番目の特異ベクトルセットによってカバーされる慣性量は$\displaystyle \iota _{i}}$主慣性。最初のいくつかの特異ベクトルによってカバーされる慣性の割合が高いほど、つまり、総慣性に対する主慣性の合計が大きいほど、セルオートマトン（CA）はより成功していると言えます。^{[ 13 ]}したがって、すべての主慣性値は割合として表されます。$\displaystyle \epsilon _{i}}$全慣性の

$\displaystyle \epsilon _{i}=\sigma _{i}^{2}/\sum _{i=1}^{p}\sigma _{i}^{2}}$

and are presented in the form of a scree plot. In fact a scree plot is just a bar plot of all principal inertia portions $\displaystyle \epsilon _{i}}$.

To transform the singular vectors to coordinates which preserve the chi-square distances between rows or columns an additional weighting step is necessary. The resulting coordinates are called principal coordinates^[10] in CA text books. If principal coordinates are used for rows their visualization is called a row isometric^[14] scaling in econometrics and scaling 1^[15] in ecology. Since the weighting includes the singular values ${\displaystyle \Sigma }$ of the matrix of standardized residuals ${\displaystyle S}$ these coordinates are sometimes referred to as singular value scaled singular vectors, or, a little bit misleading, as eigenvalue scaled eigenvectors. In fact the non-trivial eigenvectors of $\displaystyle SS^{*}}$are the left singular vectors ${\displaystyle U}$ of ${\displaystyle S}$ and those of ${\displaystyle S^{*}S}$ are the right singular vectors ${\displaystyle V}$ of ${\displaystyle S}$ while the eigenvalues of either of these matrices are the squares of the singular values ${\displaystyle \Sigma }$. But since all modern algorithms for CA are based on a singular value decomposition this terminology should be avoided. In the French tradition of CA the coordinates are sometimes called (factor) scores.

Factor scores or principal coordinates for the rows of matrix C are computed by

${\displaystyle F_{m}=W_{m}U\Sigma }$

i.e. the left singular vectors are scaled by the inverse of the square roots of the row masses and by the singular values. Because principal coordinates are computed using singular values they contain the information about the spread between the rows (or columns) in the original table. Computing the euclidean distances between the entities in principal coordinates results in values that equal their chi-square distances which is the reason why CA is said to "preserve chi-square distances".

Compute principal coordinates for the columns by

${\displaystyle F_{n}=W_{n}V\Sigma .}$

CA の結果を適切なバイプロットで表現するには、主座標、つまりカイ二乗距離を保持する座標にプロットされていないカテゴリは、いわゆる標準座標にプロットする必要があります。^{[ 10 ]}標準座標と呼ばれるのは、標準座標の各ベクトルが平均 0、分散 1 を示すように標準化されているためです。 ^{[ 16 ]}標準座標を計算する際には、特異値は省略されます。これは、 2 つの特異ベクトル行列のうちの 1 つを、特異値を 0 乗した値、つまり 1 倍した値でスケーリングし、もう 1 つの特異ベクトルが特異値でスケーリングされている場合は、特異値を省略して計算するというバイプロット ルールを適用した結果です。これにより、 2 つの座標セット間の内積の存在が保証され、バイプロットにおけるそれらの空間関係の意味のある解釈につながります。

実際には、標準座標は、主座標（すなわちそれぞれの点）の集合が「存在する」ベクトル空間の頂点と考えることができる。 ^{[ 17 ]} 行の標準座標は次のとおりである。

${\displaystyle G_{m}=W_{m}U}$

そして列のものは

${\displaystyle G_{n}=W_{n}V}$

生態学におけるスケーリング 1 ^{[ 15 ]}バイプロットは、行が主座標、列が標準座標であることを意味し、スケーリング 2は、行が標準座標、列が主座標であることを意味することに注意してください。つまり、スケーリング 1 は、${\displaystyle F_{m}}$と共に${\displaystyle G_{n}}$2 のスケーリングは、${\displaystyle F_{n}}$と共に${\displaystyle G_{m}}$。