ハウトゥス・レマ

制御理論、特に状態空間形式の線形時間不変システムの特性を研究する場合、 Hautusの補題（Malo LJ Hautusにちなんで名付けられました）は、一般的にPopov-Belevitch-HautusテストまたはPBHテストとしても知られています^{[1] [2] は}強力なツールであることがわかります。

この結果の特殊なケースは、1963年にエルマー・G・ギルバートの論文^[1]で初めて登場し、その後、 1966年にヴァシル・M・ポポフ^{[3] 、 [4]} 、1968年にヴィトルド・ベレヴィッチ^[5]、1969年にマロ・ハウトゥス^[5]の貢献により、現在のPBHテストに拡張され、線形時間不変システムの結果を証明する際の適用可能性が強調されました。

この補題には複数の形式が存在する:

可制御性に関するハウトゥスの補題によれば、正方行列とが与えられた場合、以下は同等です。 ${\displaystyle \mathbf {A} \in M_{n}(\Re )}$${\displaystyle \mathbf {B} \in M_{n\times m}(\Re )}$

1. ペアは制御可能${\displaystyle (\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}$
2. それは${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$${\displaystyle \operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ,\mathbf {B} ]=n}$
3. の固有値であるすべてのものに対して、${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ,\mathbf {B} ]=n}$

安定化可能性に関するハウトゥスの補題によれば、正方行列とが与えられた場合、以下は同値です。 ${\displaystyle \mathbf {A} \in M_{n}(\Re )}$${\displaystyle \mathbf {B} \in M_{n\times m}(\Re )}$

1. ペアは安定可能${\displaystyle (\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}$
2. の固有値であり、が成り立つすべてのものに対して、${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \Re (\lambda )\geq 0}$${\displaystyle \operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ,\mathbf {B} ]=n}$

観測可能性に関するハウトゥスの補題によれば、正方行列とが与えられた場合、以下は同等である。 ${\displaystyle \mathbf {A} \in M_{n}(\Re )}$${\displaystyle \mathbf {C} \in M_{m\times n}(\Re )}$

1. ペアは観察可能です。${\displaystyle (\mathbf {A} ,\mathbf {C} )}$
2. それは${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$${\displaystyle \operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ;\mathbf {C} ]=n}$
3. の固有値であるすべてのものに対して、${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ;\mathbf {C} ]=n}$

検出可能性に関するハウトゥスの補題によれば、正方行列とが与えられた場合、以下は同等である。 ${\displaystyle \mathbf {A} \in M_{n}(\Re )}$${\displaystyle \mathbf {C} \in M_{m\times n}(\Re )}$

1. ペアは検出可能${\displaystyle (\mathbf {A} ,\mathbf {C} )}$
2. の固有値であり、が成り立つすべてのものに対して、${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \Re (\lambda )\geq 0}$${\displaystyle \operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ;\mathbf {C} ]=n}$

• ソンタグ、エドゥアルド D. (1998)。『数理制御理論：決定論的有限次元システム』ニューヨーク：シュプリンガー。ISBN 0-387-98489-5。
• Zabczyk, Jerzy (1995).数理制御理論入門. ボストン: Birkhauser. ISBN 3-7643-3645-5。