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折り紙、つまり紙折りの分野は、かなりの量の数学的研究を受けてきました。関心のある分野には、特定の紙モデルの平面折り畳み可能性（モデルを損傷せずに平らにできるかどうか）や、紙の折り畳みを使用して3次までの数学方程式を解くことなどが含まれます。 [ 1 ]
計算折り紙は、紙折り問題を解決するアルゴリズムの研究を専門とする、コンピュータサイエンスの比較的新しい分野です。計算折り紙の分野は、1990年代にロバート・ラングが基本形を正確に折り畳むためのTreeMakerアルゴリズムを発表して以来、大きく発展してきました。[ 2 ]計算折り紙の研究成果は、折り紙のデザインまたは折り紙の折り畳み可能性のいずれかを扱っています。[ 3 ]折り紙のデザイン問題では、特定の目標構成が与えられたときに紙から折り畳めるオブジェクトを設計することが目標です。折り紙の折り畳み可能性問題では、初期構成の折り目を使って何かを折り畳むことが目標です。折り紙のデザイン問題における成果は、折り紙の折り畳み可能性問題における成果よりもアクセスしやすいものとなっています。[ 3 ]
1893年、インドの公務員T・スンダラ・ロウは、紙折りを用いて幾何学的作図の証明を示す『紙折りによる幾何学演習』を出版した。この著作は、幼稚園教育における折り紙の使用に触発されたものである。ロウは、角度の近似的な三等分を示し、立方根の作図は不可能であることを示唆した。[ 4 ]
1922年、ハリー・フーディーニは「フーディーニのペーパーマジック」を出版し、後に形式化された数学的手法を非公式に取り入れた折り紙の技法を解説した。[ 5 ]
1936年、マルガリータ・P・ベロフは、後にフジタ・ハトリ公理の6番目で使用された「ベロフ折り」を用いることで、折り紙を使って一般三次方程式を解くことができることを示した。[ 1 ]
1949年、RC Yeatesの著書「幾何学的方法」では、Huzita–Hatori公理の1番目、2番目、5番目に対応する3つの許容される作図法が記述されている。[ 6 ] [ 7 ]
吉沢・ランドレット図解指導法は1961年に導入された。[ 8 ]
1980年に、角度を三等分できる作図法が報告された。ユークリッド幾何学の規則では三等分は不可能である。[ 9 ]
また、1980年には、三浦耕良と坂巻正守が、従来の方法で直角の折り目を付けることなく地図を広げることができる、所定の平行四辺形のパターンで折り目を付けた新しい地図折り畳み技術を実証した。このパターンにより折り目線が相互に依存するため、反対側の端を引っ張ることで地図を一度に広げることができ、同様に両端を押し合わせることで折りたたむことができる。過度に複雑な一連の動作は必要なく、折りたたまれた三浦折りは非常にコンパクトな形状に収納できる。[ 10 ] 1985年には、三浦は宇宙空間での大型膜の梱包と展開の方法を報告し、[ 11 ] 2012年には早くもこの技術が宇宙船の太陽電池パネルに適用された。[ 12 ] [ 13 ]
1986年、メッサーは、ユークリッド構成では不可能な立方体を2倍にできる構成法を報告した。[ 14 ]
折り紙の7つの公理の最初の完全な記述は、フランスの折り紙作家で数学者のジャック・ジャスティンによって1986年に書かれましたが、最初の6つが1989年にフミアキ・フジタによって再発見されるまで見過ごされていました。 [ 15 ]折り紙科学技術に関する最初の国際会議（現在は科学、数学、教育における折り紙に関する国際会議として知られています）は、1989年にイタリアのフェラーラで開催されました。この会議で、シメミによって正七角形の作図が示されました。[ 16 ]
1990年頃、ロバート・J・ラングらが折り紙の問題を解決するコンピュータコードを初めて書こうと試みた。[ 17 ]
1996年、マーシャル・バーンとバリー・ヘイズは、平らな紙から始めて平らな折り紙構造を作るために山折りと谷折りの折り目パターンを割り当てる問題はNP完全であることを示した。[ 18 ]
1999年、ハガによる定理は、正方形の一辺を有理数に分割するために使用される作図法を提供した。[ 19 ] [ 20 ]
2002年、サラ・マリー・ベルカストロとトム・ハルは、理論折り紙にアフィン変換の言語を導入し、2から3 は単一頂点構成の場合のみである。[ 21 ]
2002年、アルペリンは球面光学のアルハゼン問題を解決した。[ 22 ]同じ論文で、アルペリンは正七角形の作図法を示した。[ 22 ] 2004年には、正七角形の折り畳みパターンがアルゴリズム的に証明された。[ 23 ] 2005年には、アルペリンが同じ作図法に二等分と三等分を用いた。[ 24 ]
2005年には、数学的および計算的折り紙の原理と概念が、イギリスのテレビで人気を博したゲーム「カウントダウン」の解決に応用された。このゲームでは、参加者はソース番号のリストを使用して、目標番号にできるだけ近い算術式を構築する。[ 25 ]
2009年、アルペリンとラングは、多様体折り目の概念を用いて、理論的な折り紙を任意の次数の有理方程式に拡張した。[ 26 ] [ 27 ]この研究は、ラングが2004年に発表した未発表の角度五分分割の証明を形式的に拡張したものである。[ 27 ] [ 28 ]
折り紙モデルの構築は、折り目パターンとして示されることがあります。このような折り目パターンに関する主な問題は、与えられた折り目パターンを平面モデルに折り畳むことができるかどうか、そしてできる場合はどのように折り畳むかです。これはNP完全問題です。[ 29 ]折り目が直交している場合の関連問題は、マップ折り畳み問題と呼ばれます。平面折り畳み可能な折り紙の折り目パターンを生成するための3つの数学的規則があります。[ 30 ]
紙は表面上のあらゆる点でガウス曲率がゼロであり、自然に折り畳まれるのは曲率がゼロの線に沿ってのみです。平らにすることができない曲面は、紙に折り目をつけないことで作り出すことができ、これは濡れた紙や爪などを使えば簡単にできます。
山折りと谷折りの折り目パターンを割り当てて平面モデルを作成する問題は、マーシャル・バーンとバリー・ヘイズによってNP完全であることが証明されている。[ 18 ]詳細な参考文献と技術的な結果については、『幾何学的折り畳みアルゴリズム』の第II部で議論されている。[ 31 ]
幾何学の古典的な作図問題、すなわち任意の角を三等分したり、立方体を倍にしたりといった問題は、コンパスと定規では解けないことが証明されているが、紙を数枚折るだけで解ける。[ 32 ]紙の折り目は、4次までの方程式を解くように構成できる。Huzita–Justin公理またはHuzita–Hatori公理は、この研究分野への重要な貢献である。これらは、一度に最大2つの点または線を揃える一連の折り目を使用して何が作れるかを記述している。これらの公理を満たす方法を適用して4次までのすべての方程式を解くための完全な方法は、『幾何学的折り紙』で詳しく説明されている。[ 33 ]
幾何学原理を応用した折り紙の研究の結果、ハガの定理などの方法により、折り紙愛好家は正方形の一辺を3分の1、5分の1、7分の1、9分の1に正確に折ることができるようになりました。他の定理や方法により、折り紙愛好家は正方形から正三角形、五角形、六角形、黄金長方形や銀長方形などの特別な長方形といった他の形状を得ることができました。正19角形を含むほとんどの正多角形を折る方法が開発されています。[ 33 ]正n角形は、 nが異なるピアポント素数、2のべき乗、3のべき乗の積である場合に限り、 紙を折って作ることができます。
正方形の一辺は、さまざまな方法で任意の有理数に分割できます。ハガの定理によれば、このような分割には特定の構成法を使用できます。[ 19 ] [ 20 ]驚くべきことに、大きな奇数を生成するには、折り畳みの回数はごくわずかです。たとえば、1 / 5 は3つの折り畳みで生成できます。まず一辺を半分にし、次にハガの定理を 2 回使用して、最初に2/3、次に1/5 を生成します。
添付の図は、芳賀の第一定理を示しています。
AP の長さをQCに変換する関数は自己逆関数です。xをAPとすると、他の多くの長さもxの有理関数になります。例えば、次のようになります。
ハガの定理は以下のように一般化される。
したがって、BQ:CQ=k:1 は、正の実数 k に対して AP:BP=k:2 を意味する。また、
各辺は1です 三角形の合同条件により、AR~PB [ 34 ]
立方体を倍増させるという古典的な問題は、折り紙を使って解決できます。この構成はピーター・メッサーによるものです。[ 35 ] まず、図に示すように、正方形の紙を3つの等しい帯に折ります。次に、底辺を、角点Pが上辺に来るように、また、その辺の折り目がもう一方の折り目Qと交わるように配置します。すると、長さPBは、長さAPの2倍の立方根になります。[ 14 ]
折り目のある辺は、目盛りの付いた定規とみなされ、これはコンパスと定規を用いた作図では認められていない。このように目盛りの付いた定規を用いる作図法は、幾何学ではネウシス作図と呼ばれる。
角の三等分は、コンパスと目盛りのない定規では解けないが折り紙で解ける古典的な問題の1つです。[ 36 ] 1980年に報告されたこの構成は、阿部久志によるものです。[ 35 ] [ 9 ]角CABは、底辺に平行なPP'と、その中間にあるQQ'という2つの折り目を作ることで三等分されます。次に、点Pを折り返して線AC上に置き、同時に点Aを線QQ'上のA'に置きます。角A'ABは、元の角CABの3分の1です。これは、PAQ、A'AQ、A'ARが3つの合同な三角形であるためです。2つの点を2つの線上に揃えることは、立方体の倍増の解法と同様に、別のネウシス構成です。[ 37 ] [ 9 ]
折り目を、板金などの2つの平らで硬い表面を繋ぐ蝶番として扱う、剛性折り紙の問題は、非常に実用的な重要性を持っています。例えば、三浦折りは、宇宙衛星用の大型太陽電池パネルアレイを展開するために用いられてきた剛性折り紙の一種です。
ナプキン折り問題とは、正方形または長方形の紙を折りたたんだときに、折り畳んだ後の平面図形の周囲長が元の正方形の周囲長よりも大きくなるかどうかを問う問題である。
パターン内の曲線折り目上の点の配置には、楕円積分の解法が必要になる場合があります。曲線折り紙では、紙が平面ではない展開可能な曲面を形成することができます。 [ 38 ]ウェットフォールディング折り紙は吉沢氏が開発した技術で、曲線折りによってさらに複雑な形状の範囲を広げることができます。
非圧縮性材料を折り畳むことができる最大回数が導出された。折り畳むたびに、一定量の紙が折り畳み可能な量から失われる。紙を一方向に半分に折り畳む場合の損失関数は次のように与えられる。ここで、Lは紙 (またはその他の材料) の最小長さ、tは材料の厚さ、nは可能な折り畳みの数です。[ 39 ] 距離Lとt は、インチなどの同じ単位で表す必要があります。この結果は、2001 年 12 月にカリフォルニアの高校生ブリトニー・ガリバンによって導き出されました。2002 年 1 月に、彼女は4,000 フィート (1,200 m) の長さのトイレットペーパーを同じ方向に 12 回折り畳み、紙は 8 回以上半分に折ることはできないという長年の神話を覆しました。[ 40 ] [ 41 ]
折り切り問題とは、一枚の紙を平らに折り、一本の直線で完全に切り取ることで、どのような形が得られるかを問う問題である。折り切り定理として知られるこの問題の解は、直線で囲まれたあらゆる形が得られるというものである。
実用的な問題としては、地図を最小限の労力や動作で操作できるように折りたたむ方法がある。三浦折りはその問題の解決策であり、他にもいくつかの方法が提案されている。[ 42 ]
計算折り紙は、紙折り問題の解決アルゴリズムの研究に関わるコンピュータ科学の一分野です。1990年代初頭、折り紙愛好家たちは「バグ・ウォーズ」と呼ばれる一連の折り紙コンテストに参加し、折り紙の虫に複雑さを加えることで他の参加者を凌駕しようとしました。コンテストの参加者のほとんどは、著名な日本人アーティストのグループである折り紙探偵団に所属していました。[ 43 ]スタンフォード大学とカリフォルニア工科大学の研究科学者であるロバート・ラングもこのコンテストに参加しました。このコンテストは、折り紙のデザインと折り畳みを支援する普遍的なモデルとツールの開発に対する集団的な関心のきっかけとなりました。[ 43 ]
紙折り問題は、折り紙設計問題または折り紙の折り畳み可能性問題に分類されます。現在、計算機による折り紙研究は主に、普遍性結果、効率的な決定アルゴリズム、および計算上の困難性結果の 3 つのカテゴリに分類されます。[ 44 ]普遍性結果は、特定の折り畳みモデルが与えられた場合の可能性の範囲を定義します。たとえば、十分に大きな紙は、任意の木形の折り紙ベース、多角形のシルエット、および多面体表面に折り畳むことができます。[ 45 ]普遍性結果が得られない場合、効率的な決定アルゴリズムを使用して、オブジェクトが折り畳み可能かどうかを多項式時間でテストできます。[ 44 ]特定の紙折り問題には、効率的なアルゴリズムがありません。計算上の困難性結果は、特定の折り畳み問題を解決するためのそのような多項式時間アルゴリズムが現在存在しないことを示しています。たとえば、与えられた折り目パターンが任意の平面折り紙に折り畳めるかどうかを評価することは NP 困難です。[ 46 ]
2017年、マサチューセッツ工科大学のエリック・デメインと東京大学の舘智弘は、あらゆる3D構造を生成する実用的な紙折りパターンを生成する新しい汎用アルゴリズムを発表した。この新しいアルゴリズムは、1999年に発表した論文で初めて紹介した、最小限の縫い目数を保証する折り紙形状を折るための汎用アルゴリズムに基づいている。このアルゴリズムは、舘が2008年に初めてリリースした折り紙の折り目パターンを生成するための無料ソフトウェアであるOrigamizerに組み込まれる予定である。[ 47 ]
折り紙のデザインに使用されるソフトウェアデザインツールがいくつかあります。ユーザーは希望する形状や機能を指定し、ソフトウェアツールは折り畳みパターンや結果の2Dまたは3Dモデルを構築します。マサチューセッツ工科大学、ジョージア工科大学、カリフォルニア大学アーバイン校、筑波大学、東京大学の研究者は、計算機折り紙のツールを開発し、公開しています。TreeMaker、ReferenceFinder、OrigamiDraw、Origamizerは、折り紙のデザインに使用されているツールの一部です。[ 49 ]
DNA折り紙におけるCadnanoなど、紙以外の材料を使用して計算折り紙モデルを構築することに関連する他のソフトウェアソリューションもあります。[ 50 ]
計算折り紙は、ロボット工学、工学、バイオテクノロジーと医学、工業デザインへの応用に貢献してきました。[ 51 ]折り紙の応用は、プログラミング言語とプログラミングパラダイムの研究、特に関数型プログラミングの分野でも開発されています。[ 52 ]
ロバート・ラングは、ドイツのEASiエンジニアリングの研究者たちと自動車用エアバッグの折りたたみ設計を開発するプロジェクトに参加した。[ 53 ] 2000年代半ば、ラングはローレンス・リバモア国立研究所の研究者たちと協力し、計算機折り紙の原理とアルゴリズムを用いて、ジェームズ・ウェッブ宇宙望遠鏡、特にその大型ミラーをロケットに収めるための解決策を開発した。 [ 54 ]
2014年、マサチューセッツ工科大学、ハーバード大学、およびワイス生物工学研究所の研究者らは、自己折り畳み機械の構築方法を発表し、このプロジェクトの成功は計算折り紙の進歩によるものだと述べた。折り紙に着想を得た彼らのロボットは、4分で自己折り畳みして人間の介入なしに歩き去ったと報告されており、ロボット工学における自律的な自己制御組み立ての可能性を示している。[ 55 ]
その他の応用例としては、DNA折り紙やRNA折り紙、製造器具の折り畳み、小型折り紙ロボットによる手術などが挙げられる。[ 56 ]
コンピューター折り紙の応用は、さまざまな制作会社やコマーシャルで取り上げられてきました。ラングは、トヨタ・アバロンと協力してアニメーション折り紙のシーケンスを盛り込んだり、三菱エンデバーで完全に折り紙のフィギュアで構成された世界を作り上げたり、マクドナルドでチーズバーガーの包み紙から多数の折り紙のフィギュアを作ったりしたことで有名です。[ 57 ]
{{cite web}}: CS1メンテナンス: 場所 (リンク)