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ナプキン折り問題（ナプキンおり問題）は、正方形または長方形のナプキンを折ると周囲が広くなるかどうかを調査する幾何学および紙折りの数学の問題である。この問題は、グリゴリー・マルグリスによるものであることを示唆するマルグリスのナプキン問題や、ウラジミール・アーノルドとロシアのルーブル紙幣の折り方にちなんでアーノルドのルーブル問題など、いくつかの名前で知られている。これはアーノルドが著書『アーノルドの問題』で最初に挙げた問題であり、その中で彼はこれをしわくちゃのドル問題と呼んでいる。[1]この問題のいくつかのバージョンは、ロバート・J・ラング、スヴェトラーナ・クラット、アレクセイ・S・タラソフ、イヴァン・ヤシェンコによって解決された。問題の1つの形式は未解決のままである。
処方
折り畳みの概念を定義する方法はいくつかあり、それぞれ解釈が異なります。慣例により、ナプキンは常に単位正方形です。
直線に沿って折る
折り畳みをナプキンのすべての層を反映する線に沿った反射として考えると、周囲は常に増加せず、4を超えることはありません。[1] [2] [3]
ナプキンの一層のみを反映する可能性のある、より一般的な折り方（この場合、各折り方は、直線の片側にある折り畳まれたナプキンの連結成分の反射である）を考慮すると、これらの折り方のシーケンスによって周囲を増やすことができるかどうかはまだ不明である。[4]言い換えれば、山折り、谷折り、逆折り、および/または沈み折り（後者の2つのケースでは、すべての折り方が単一の線に沿って形成される）の組み合わせを使用して折ることができる解決策が存在するかどうかはまだ不明である。もちろん、より制限の多い純土折り紙を使用してそのような折りが可能かどうかも不明である。
伸ばさずに折りたたむ
折り紙の制約の範囲内で、折り畳まれている間にナプキンが伸びないような実現可能な構造を求めることもできる。2004年にA.タラソフは、そのような構造が実際に得られることを実証した。これは、当初の問題に対する完全な解決策とみなすことができる。[5]
結果だけが重要
折りたたまれた平面のナプキンが存在するかどうかを尋ねることもできます（その形に折りたたまれた方法は問いません）。
ロバート・J・ラングは1997年に[2]、いくつかの古典的な折り紙の構造から簡単な解決策が得られることを示しました。[6] [7]実際、ラングは構造をより複雑にすることで周囲を必要なだけ大きくすることができ、それでも平らに折りたたまれた解決策が得られることを示しまし た。しかし、彼の構造は、沈み折りや関連する形式を使用しているため、必ずしも剛体折り紙ではありません。沈み折りや沈み戻し折りでは引き伸ばしは必要ありませんが、平らな結果を得る前に、中間段階で面を曲げたり、1つ以上の折り目を連続的にスイープしたりすることがしばしば必要になります (常に必要というわけではありません)。沈み折りに基づいた一般的な剛体折り可能な解決策が存在するかどうかは未解決の問題です。[要出典]
1998年、I.ヤシェンコは、より大きな周囲を持つ平面への投影による3D折り畳みを構築しました。[3]
同じ結論はスヴェトラーナ・クラットによっても出されました。彼女のアプローチは異なり、彼女は周囲長を増やす「しわ」の非常に単純な構成を示し、その後、任意の「しわ」が「折り畳み」によって任意によく近似できることを証明しました。本質的には、中間段階で伸張が許可されている場合、折り畳み方法の正確な詳細はそれほど重要ではないことを示しています。[8]
ソリューション
ラングの解決策
ラングは2つの異なる解決策を考案した。[6] [9]どちらも沈み込むフラップを伴うため、必ずしも硬く折りたためるわけではない。最も単純なものは折り紙の鳥のベースに基づいており、元の周囲が4であったのに対し、周囲が約4.12の解決策となった。
2 番目の解決法は、必要なだけ大きな周囲を持つ図形を作成するために使用できます。彼は正方形を多数の小さな正方形に分割し、1990 年の著書Origami Sea Lifeに記載されている「ウニ」タイプの折り紙構造を採用しています。[9]示されている折り目パターンはn = 5 の場合で、25 個のフラップ (各大きな円に 1 つずつ) を持つ平らな図形を作成するために使用できます。フラップを薄くするために沈下が使用されます。非常に薄い場合、25 本の腕は、小さな中心とN 2 /( N − 1) に近い周囲を持つ 25 の尖った星になります。N = 5 の場合、 これは約 6.25 で、全長は Nにほぼ比例して長くなります。[10]
歴史
アーノルドは著書『アーノルドの問題』の中で、1956年にこの問題を提起したと述べている。 [1] [11]彼はこれを「しわくちゃのルーブル問題」（または、本の英語版では「しわくちゃのドル問題」）と呼び、これは40年以上にわたってモスクワで行われたセミナーで彼が提起した多くの興味深い問題の最初のものであった。西側では、 1996年にジム・プロップがニュースグループに投稿したことから、マルギュリスのナプキン問題として知られるようになった。 [2] [3] [7]注目されたにもかかわらず、これは伝説的な地位を獲得し、その起源は「不明」と呼ばれることが多い。[3]
参考文献
- ^ abc アーノルド、ウラジミール・I. (2004)。「1956-1 .しわくちゃのドル問題」。アーノルドの問題。ベルリン：シュプリンガー出版社。p. 2。doi : 10.1007/b138219。ISBN 3-540-20614-0. MR 2078115.182ページのコメントも参照。
- ^ abc 「マーギュリス・ナプキン問題、1996 年のニュースグループでの議論」。Geometry Junkyard。
- ^ abcd Yaschenko, I. (1998). 「今すぐドルをもっと大きくしましょう!!!」The Mathematical Intelligencer . 20 (2): 38–40. doi :10.1007/BF03025296. S2CID 124667472.
- ^ ペトルニン、アントン (2008)。 「紙折りに関するアーノルドの問題」。ザダチ・ザンクト・ペテルブルグスコジ・マテマティチェスコジ・オリンピック・シュコルニコフ・ポ・マテマティケ（ロシア語）。arXiv : 1004.0545。ビブコード:2010arXiv1004.0545P。
- ^ Tarasov, AS (2004). 「アーノルドの「折り畳みルーブル」問題の解決」Chebyshevskii Sbornik (ロシア語). 5 (1): 174–187. 2007-08-25時点のオリジナルよりアーカイブ。
- ^ ab Lang, Robert J. (2003).折り紙デザインの秘密: 古代の芸術のための数学的手法. AK Peters . pp. 315–319. ISBN 9781568811949。
- ^ ab Demaine, Erik D. ; O'Rourke, Joseph (2007).幾何学的折り畳みアルゴリズム: リンク、折り紙、多面体。ケンブリッジ大学出版局。p. 239。
- ^ Krat, Svetlana (2005). 「4.3 PL-アイソメトリーによるショートマップの近似とアーノルドの「1ドルを大きくできるか」問題」長さ幾何学における近似問題(博士論文) ペンシルベニア州立大学。pp. 94–118。ProQuest 305145549 。特にセクション 4.3.4「長方形の周囲を増やす短いマップ」(117 ～ 118 ページ) を参照してください。
- ^ ab Montroll, John and Robert J. Lang (1990). Origami Sea Life . Dover Publications . pp. 195–201.
- ^ Pak, Igor (2010 年 4 月 20 日)。「40.4 ナプキンの折り方」離散幾何学と多面体幾何学の講義。354 ～ 355 ページ。
- ^ Tabachnikov, Sergei (2007). 「Arnold's Problemsの書評」(PDF) . The Mathematical Intelligencer . 29 (1): 49–52. doi :10.1007/BF02984760. S2CID 120833539. 2017年7月6日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。
外部リンク
- Igor Pak、「離散幾何学と多面体幾何学の講義」、セクション 40。