全変動ノイズ除去

信号処理、特に画像処理において、全変動ノイズ除去（全変動正則化または全変動フィルタリングとも呼ばれる）は、ノイズ除去処理（フィルタ）です。これは、過剰で偽の詳細を含む信号は全変動が大きい、つまり画像勾配の大きさの積分が大きいという原理に基づいています。この原理によれば、信号の全変動を減らすことで（元の信号とほぼ一致するように）、不要な詳細を除去しつつ、エッジなどの重要な詳細を保持することができます。この概念は、1992 年にLI Rudin、S. Osher 、および E. Fatemiによって開拓され、今日ではROF モデルとして知られています。^{[ 1 ]}

このノイズ除去技術は、ノイズを低減する一方で、多かれ少なかれエッジを平滑化してしまう線形平滑化やメディアンフィルタリングなどの単純な技術よりも優れています。対照的に、全変動ノイズ除去は、信号対雑音比が低い場合でも、エッジを保持しながら平坦な領域のノイズを平滑化する、非常に効果的なエッジ保存フィルタです。^{[ 2 ]}

デジタル信号の場合${\displaystyle x_{n}}$例えば、総変動を次のように定義できます。

${\displaystyle V(x)=\sum _{n}|x_{n+1}-x_{n}|.}$

入力信号が与えられた場合${\displaystyle x_{n}}$、全変動ノイズ除去の目標は、近似値を見つけることです。$\displaystyle y_n}}$総変動が小さい${\displaystyle x_{n}}$しかし「近い」${\displaystyle x_{n}}$類似性の尺度の一つとして、二乗誤差の合計が挙げられる。

${\displaystyle \operatorname {E} (x,y)={\frac {1}{n}}\sum _{n}(x_{n}-y_{n})^{2}.}$

つまり、全変動ノイズ除去問題は、信号に関する以下の離散関数を最小化することに相当します。$\displaystyle y_n}}$:

${\displaystyle \operatorname {E} (x,y)+\lambda V(y).}$

この関数を微分することにより、$\displaystyle y_n}}$対応するオイラー・ラグランジュ方程式を導出することができ、それを元の信号で数値積分することができる。${\displaystyle x_{n}}$初期条件として。これが当初のアプローチでした。^{[ 1 ]}あるいは、これは凸関数であるため、凸最適化の手法を用いてこれを最小化し、解を求めることができます。$\displaystyle y_n}}$[ ^{3 ]​}

正則化 パラメータ${\displaystyle \lambda }$ノイズ除去プロセスにおいて重要な役割を果たします。${\displaystyle \lambda =0}$平滑化は行われず、結果は二乗誤差の合計を最小化した場合と同じになります。${\displaystyle \lambda \to \infty }$しかしながら、全変動項の役割はますます強くなり、結果として得られる全変動は小さくなるものの、入力（ノイズを含む）信号との類似性は低下します。したがって、適切な量のノイズ除去を実現するには、正則化パラメータの選択が極めて重要となります。

ここでは、画像などの2次元信号yについて考察します。1992年の論文で提案された全変動ノルムは

${\displaystyle V(y)=\sum _{i,j}{\sqrt {|y_{i+1,j}-y_{i,j}|^{2}+|y_{i,j+1}-y_{i,j}|^{2}}}}$

等方性であり、微分不可能である。最小化が容易な場合があるため、異方性バージョンが用いられることがある。

${\displaystyle V_{\operatorname {aniso} }(y)=\sum _{i,j}{\sqrt {|y_{i+1,j}-y_{i,j}|^{2}}}+{\sqrt {|y_{i,j+1}-y_{i,j}|^{2}}}=\sum _{i,j}|y_{i+1,j}-y_{i,j}|+|y_{i,j+1}-y_{i,j}|.}$

標準的な全変動ノイズ除去問題は依然として次の形式である。

${\displaystyle \min _{y}[\operatorname {E} (x,y)+\lambda V(y)],}$

ここで、Eは 2D L ₂ノルムです。1D の場合とは対照的に、このノイズ除去を解くのは容易ではありません。これを解く最近のアルゴリズムは、主双対法として知られています。^{[ 4 ]}

2000年代半ばに圧縮センシングに関する研究が盛んに行われたこともあり、この問題の様々なバリエーションを解決するアルゴリズムが数多く存在する。例えば、スプリットブレグマン法などが挙げられる。

ノイズの多い画像が与えられたと仮定します。${\displaystyle f}$ノイズ除去画像を計算したい${\displaystyle u}$2D空間上で。ROFは、私たちが解決しようとしている最小化問題が次の通りであることを示しました。^{[ 5 ]}

${\displaystyle \min _{u\in \operatorname {BV} (\Omega )}\;\|u\|_{\operatorname {TV} (\Omega )}+{\lambda \over 2}\int _{\Omega }(fu)^{2}\,dx}$

どこ${\textstyle \operatorname {BV} (\Omega )}$は、定義域上で変動が限定されている関数の集合である。${\displaystyle \Omega }$、${\textstyle \operatorname {TV} (\Omega )}$は領域全体の変動であり、${\textstyle \lambda }$罰則条項です。${\textstyle u}$が滑らかであれば、全変動は勾配の大きさの積分に等しくなります。

${\displaystyle \|u\|_{\operatorname {TV} (\Omega )}=\int _{\Omega }\|\nabla u\|\,dx}$

どこ${\textstyle \|\cdot \|}$はユークリッドノルムです。すると、最小化問題の目的関数は次のようになります。$${\displaystyle \min _{u\in \operatorname {BV} (\Omega )}\;\int _{\Omega }\left[\|\nabla u\|+{\lambda \over 2}(fu)^{2}\right]\,dx}$$この汎関数から、時間依存性がないと仮定した最小化のためのオイラー・ラグランジュ方程式は、非線形楕円型偏微分方程式を与える。

一部の数値アルゴリズムでは、ROF方程式の時間依存バージョンを解く方が望ましい。$${\displaystyle {\partial u \over {\partial t}}=\nabla \cdot \left({\nabla u \over {\|\nabla u\|}}\right)+\lambda (fu)}$$

ルーディン・オシャー・ファテミモデルは、ブラックホールの最初の画像を生成する上で極めて重要な要素であった。^{[ 6 ]}

• 異方性拡散
• 限定変動
• 基底追跡ノイズ除去
• シャンボール・ポックアルゴリズム
• デジタル画像処理
• ラッソ（統計）
• 騒音低減
• 非局所的手段
• 信号処理
• 総変動

• TVDIP：フル機能搭載のMATLAB 1次元全変動ノイズ除去実装。
• 効率的な原始双対全変動
• MatlabにおけるTV-L1画像ノイズ除去アルゴリズム