6つの操作

数学において、グロタンディークの六演算（グロタンディークのじゅうおん）は、アレクサンダー・グロタンディークにちなんで名付けられた、ホモロジー代数の形式主義であり、六関数形式主義とも呼ばれる。^{[1]これはもともと、}スキームf  : X → Yの射から生じるエタールコホモロジーの関係から生まれた。基本的な洞察は、XとY上のコホモロジーに関する基本的な事実の多くは、少数の公理の形式的な帰結であるというものだった。これらの公理は多くの場合、元の文脈とはまったく関係なく成り立ち、したがって形式的な帰結も成り立つ。六演算形式主義はそれ以来、代数多様体上のD加群、局所コンパクト位相空間上の層、動機などの文脈に適用できることが示されている。

演算は 6 つの関数です。通常、これらは導出カテゴリ間の関数であるため、実際には左導出関数と右導出関数になります。

• 直接的なイメージ ${\displaystyle f_{*}}$
• 逆のイメージ ${\displaystyle f^{*}}$
• 適切な（または異常な）直接的なイメージ ${\displaystyle f_{!}}$
• 適切な（または異常な）逆像 ${\displaystyle f^{!}}$
• 内部テンソル積
• 内部ホム

関数と は、とと同様に、随伴関数対を形成します。^[2] 同様に、内部テンソル積は内部 Hom の左随伴です。 ${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle f_{!}}$${\displaystyle f^{!}}$

f  : X → Y をスキームの射とする。射fはいくつかの関数を誘導する。具体的には、XとY上の層のカテゴリ間の随伴関数 とを与え、適切なサポートを持つ直像の関数を与える。導来カテゴリでは、Rf _{! は}右随伴を許容する。最後に、アーベル層を扱う場合、テンソル積関数 ⊗ と内部 Hom 関数があり、これらは随伴である。6 つの演算は、導来カテゴリの対応する関数であるLf ^*、Rf _*、Rf _!、f ^!、⊗ ^L、およびRHom。 ${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle f_{!}}$${\displaystyle f^{!}}$

進捩れ層のカテゴリに限定すると仮定します。ここで、 はXおよびYの特性と互いに素です。SGA 4 III で、 Grothendieck と Artin は、 fが相対次元dの滑らかな場合、 はf ^! (− d )[−2 d ]と同型であることを証明しました。ここで、(− d )はd番目の逆Tate ねじれを表し、[−2 d ] は次数が−2 dだけシフトすることを示します。さらに、fが分離されており、有限型であると仮定します。g  : Y ′ → Yがスキームの別の射であり、X ′ がgによるXの基底変換を表し、f ′ とg ′ がそれぞれgとfによるfとgの基底変換を表す場合、自然な同型が存在します。 ${\displaystyle \ell}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle Lf^{*}}$

${\displaystyle Lg^{*}\circ Rf_{!}\to Rf'_{!}\circ Lg'^{*},}$

${\displaystyle Rg'_{*}\circ f'^{!}\to f^{!}\circ Rg_{*}.}$

再びfが分離型かつ有限型であると仮定すると、Xの導出カテゴリ内の任意のオブジェクトMとYの導出カテゴリ内の任意のオブジェクトNに対して、自然な同型が存在する。

${\displaystyle (Rf_{!}M)\otimes _{Y}N\to Rf_{!}(M\otimes _{X}Lf^{*}N),}$

${\displaystyle \operatorname {RHom} _{Y}(Rf_{!}M,N)\to Rf_{*}\operatorname {RHom} _{X}(M,f^{!}N),}$

${\displaystyle f^{!}\operatorname {RHom} _{Y}(M,N)\to \operatorname {RHom} _{X}(Lf^{*}M,f^{!}N).}$

i がZからSへの閉じた浸漬であり、補完的な開いた浸漬jがある場合、導出カテゴリには区別された三角形が存在します。

${\displaystyle Rj_{!}j^{!}\to 1\to Ri_{*}i^{*}\to Rj_{!}j^{!}[1],}$

ここで最初の 2 つの写像はそれぞれ、付加写像の余単位と単位写像です。ZとSが正則であれば、同型写像が存在します。

${\displaystyle 1_{Z}(-c)[-2c]\to i^{!}1_{S},}$

ここで、1 _Zと1 _{S は}テンソル積演算の単位です（考慮されている -adic ねじり層のカテゴリによって異なります）。 ${\displaystyle \ell}$

Sが正則かつg  : X → Sであり、K が⊗ ^Lに関してS上の導来カテゴリの可逆オブジェクトである場合、D _{X を}関手RHom(—, g ^! K )として定義します。すると、 X上の導来カテゴリのオブジェクトMとM ′ に対して、標準写像:

${\displaystyle M\to D_{X}(D_{X}(M)),}$

${\displaystyle D_{X}(M\otimes D_{X}(M'))\to \operatorname {RHom} (M,M'),}$

同型である。最後に、f  : X → Y がSスキームの射であり、MとN がXとYの導出カテゴリ内のオブジェクトである場合、自然な同型が存在する。

${\displaystyle D_{X}(f^{*}N)\cong f^{!}(D_{Y}(N)),}$

${\displaystyle D_{X}(f^{!}N)\cong f^{*}(D_{Y}(N)),}$

${\displaystyle D_{Y}(f_{!}M)\cong f_{*}(D_{X}(M)),}$

${\displaystyle D_{Y}(f_{*}M)\cong f_{!}(D_{X}(M)).}$

• 一貫した二重性
• グロタンディークの局所双対性
• 層の像関数
• ヴェルディエの二重性
• 指輪の交換

• Laszlo, Yves; Olsson, Martin (2005). 「アルティンスタック上の層の6つの演算 I: 有限係数」. arXiv : math/0512097 .
• アユーブ、ジョセフ。グロタンディークと社会運動の形式主義に関する 6 つの操作(PDF) (論文)。
• Cisinski, Denis-Charles; Déglise, Frédéric (2019).混合動機の三角形のカテゴリー. Springer Monographs in Mathematics. arXiv : 0912.2110 . doi :10.1007/978-3-030-33242-6. ISBN 978-3-030-33241-9. S2CID  115163824。
• メブクハウト、ゾグマン (1989)。グロタンディークが D _Xモジュールの一貫性を保つための 6 つの操作の形式主義。トラヴォー・アン・クール。 Vol. 35. パリ：ヘルマン。ISBN 2-7056-6049-6。

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• 安定ホモトピー理論とグロタンディークの 6 つの関数形式を統合するものは何ですか (ある場合)?