クラス番号の問題

数学において、ガウス類数問題（虚二次体の場合）は、通常理解されているように、各に対して${\displaystyle n\geq 1}$虚数二次体の完全なリスト$\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$（負の整数の場合）${\displaystyle d}$)クラス番号を持つ${\displaystyle n}$カール・フリードリヒ・ガウスにちなんで名付けられました。判別式を用いて表現することもできます。実二次体やその挙動に関する関連する問題があります。${\displaystyle d\to -\infty }$。

難しいのは、境界を効果的に計算することです。与えられた判別式に対して、クラス数を計算するのは簡単ですが、クラス数にはいくつかの非効果的な下限（つまり、計算されない定数を含む）があり、効果的な境界（およびリストの完全性の明示的な証明）はより困難です。

これらの問題は、1801年のガウスの『算術研究』（第V部、第303条および第304条）で提起されている。^{[ 1 ]}

ガウスは第303条で虚二次体について論じ、最初の2つの予想を述べ、第304条で実二次体について論じ、3番目の予想を述べている。

ガウス予想（クラス番号は無限大に近づく）

${\displaystyle h(d)\to \infty {\text{ as }}d\to -\infty .}$

ガウスのクラス番号問題（低クラス番号リスト）

ガウスは、与えられた低い類数（例えば1、2、3）に対して、その類数を持つ虚数二次体のリストを示し、それらが完全であると信じていた。

クラス番号1の実二次体は無限に存在する。

ガウスは、類数が1である実二次体は無限に存在すると推測した。

虚二次体に関するガウスの元の類数問題は、現代の定式化とは大きく異なり、より容易である。彼は判別式を偶数に限定し、非基本判別式を許容した。

ガウス予想

解決済み、ハイルブロン、1934年。^{[ 2 ]}

低階級番号リスト

クラス番号1：解決済み、Baker（1966）、Stark（1967）、Heegner（1952）。

クラス番号2：解決済み、Baker（1971）、Stark（1971）^{[ 3 ]}

クラス番号3：解決済み、Oesterlé（1985）^{[ 3 ]}

クラス数hが100までの場合：解決済み、Watkins 2004 ^{[ 4 ]}

クラス番号1の実二次体は無限に存在する。

開ける。

虚数二次体の場合、クラス番号1の（基本）判別式は次のとおりである。

${\displaystyle d=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163.}$

第1類の非基本判別式は以下のとおりです。

${\displaystyle d=-12、-16、-27、-28。}$

したがって、第1類の偶判別式（基本判別式と非基本判別式）（ガウスの元の問い）は次のようになる。

${\displaystyle d=-4,-8,-12,-16,-28.}$

1934年、ハンス・ハイルブロンはガウス予想を証明した。^{[ 2 ]}同様に、任意の類数に対して、その類数を持つ虚二次数は有限個しか存在しない。

また、1934年にハイルブロンとエドワード・リンフットは、類数1の虚二次数は最大で10個（既知の9個と、最大でさらに1個）しかないことを示した。^{[ 5 ]} この結果は有効ではなかった（数論における有効な結果を参照）：残りの体の大きさの上限は与えられなかった。

その後の展開では、${\displaystyle n=1}$この問題は、クルト・ヘーグナーがモジュラー形式とモジュラー方程式を用いて、これ以上そのような体が存在し得ないことを示して初めて議論した。この研究は当初受け入れられず、後にハロルド・スタークとブライアン・バーチの研究（例えば、スターク＝ヘーグナーの定理やヘーグナー数に関する研究）によってようやく立場が明確になり、ヘーグナーの研究が理解された。ほぼ同時期に、アラン・ベイカーは、現在では代数的数の対数における線形形式に関するベイカーの定理として知られるものを証明し、全く異なる方法でこの問題を解決した。${\displaystyle n=2}$少なくとも原理的には、ベイカーの研究の応用として、その後すぐに取り組まれた。^{[ 6 ]}

クラス番号1の虚数二次体の完全なリストは次のとおりです。$\displaystyle \mathbf {Q} (\sqrt {d}})$ここでdは

${\displaystyle -1、-2、-3、-7、-11、-19、-43、-67、-163。}$

一般の場合については、 1976年にドリアン・ゴールドフェルドが類数問題を楕円曲線のL関数と関連付けることができることを発見するまで待たなければならなかった。^{[ 7 ]}これにより、有効な決定の問題は、そのようなL関数の多重零点の存在を確立することに関する問題に効果的に還元された。^{[ 7 ]} 1986年のグロス・ザギエの定理の証明により、与えられた類数を持つ虚二次体の完全なリストを有限の計算で指定できるようになった。${\displaystyle n=100}$2004年にワトキンスによって計算された。^{[ 4 ]}クラス番号は$\displaystyle \mathbf {Q} (\sqrt {-d}})$のために${\displaystyle d=1,2,3,\dots }$は

${\displaystyle 1,1,1,1,2,2,1,1,1,2,1,1,2,4,2,1,4,1,1,2,4,2,3,2,1,6,1,1,6,4,3,1,...}$（ OEISの配列A202084）。

実二次体の場合とは対照的に、その性質は大きく異なり、知られていることははるかに少ない。なぜなら、類数の解析式に現れるものは、${\displaystyle h}$クラス番号はそれだけでは${\displaystyle h\log \varepsilon }$、 どこ${\displaystyle \varepsilon }$は基本単位である。この追加要素を制御するのは難しい。実二次体におけるクラス番号1は無限に出現する可能性がある。

コーエン・レンストラのヒューリスティクス^{[ 8 ]}は、二次体の類群の構造に関するより精密な予想の集合である。実数体の場合、素数の平方根を隣接させることで得られる体の約75.45%が類数1を持つと予測しており、この結果は計算結果と一致する^{[ 9 ] 。}

• クラス番号1の数値フィールドのリスト

• ワイススタイン、エリック・W. 「ガウスのクラス数問題」 . MathWorld .