セナリー

6進法( / ˈ s iː n ər i , ˈ s ɛ n ər i / ) 記数法(基数6、16進法、または6進法とも呼ばれる) は、 6を基数とする。これは少数の文化で独自に採用されてきた。10進法の基数と同様に、この基数は半素数であるが、連続する2つの数のうち両方とも素数である数 (2と3) の積として唯一である。6は優れた合成数であるため、 12進法を支持する議論の多くは6進法にも当てはまる。

6 進数体系の標準的な数字セットは で、線形順序は です。をのクリーネ閉包とします。ここで、 はの文字列連結の演算です。自然数の 6 進数体系は、ショートレックス順序を備えた商セットです。ここで、同値類はです。 はショートレックス順序を持つため、自然数 と同型です。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{6}=\lbrace 0,1,2,3,4,5\rbrace }$ ${\displaystyle 0<1<2<3<4<5}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{6}^{*}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{6}}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle a,b\in {\mathcal {D}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{6}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{6}^{*}/\sim }$ ${\displaystyle \sim }$${\displaystyle \lbrace n\in {\mathcal {D}}_{6}^{*},n\sim 0n\rbrace }$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{6}}$${\displaystyle \mathbb {N} }$

6 進数で表すと、2 と 3 以外のすべての素数は、最後の桁が 1 または 5 になります。6 進数では、素数は次のように表記されます。

2、3、5、11、15、21、25、31、35、45、51、101、105、111、115、125、135、141、151、155、201、211、215、225、241、245、251、255、301、305、331、335、345、351、405、411、421、431、435、445、455、501、515、521、525、531、551、... (OEISのシーケンスA004680 )

つまり、3 より大きいすべての素数pに対して、 p ≡ 1 または 5 (mod 6) (つまり、6 はp  − 1 またはp − 5 のいずれかを割り切る)というモジュラー算術関係があり 、最後の数字は 1 または 5 です。これは背理法によって証明されます。

任意の整数nに対して:

• n ≡ 0 (mod 6)の場合、6 | n
• n ≡ 2 (mod 6)の場合、2 | n
• n ≡ 3 (mod 6)の場合、3 | n
• n ≡ 4 (mod 6)の場合、2 | n

さらに、最小の 4 つの素数 (2、3、5、7) は 6 の約数または近傍数であるため、6 進法では多くの数に対して簡単な割り切れるかどうかのテストが行​​えます。

さらに、6 以外のすべての偶数完全数は、6 進数で表すと最後の 2 桁が 44 になります。これは、すべての偶数完全数が2 ^{p – 1} (2 ^p – 1)の形式であるという事実によって証明されています。ここで、2 ^p − 1は素数です。

6進数は、1 とr − 1以外の総和を持たない最大の基数rでもあります 。そのため、その乗算表はそのサイズに対して非常に規則的になり、表を記憶するために必要な労力が最小限に抑えられます。この特性により、どちらの因数もゼロにならない場合、整数乗算の結果がゼロになる確率が最大化されます。

数が 2 で割り切れる場合、その数の最後の桁は、6 進数で表すと 0、2、または 4 になります。数が 3 で割り切れる場合、その数の 6 進数での最後の桁は 0 または 3 になります。数が 4 で割り切れるのは、最後から 2 番目の桁が奇数で最後の桁が 2 の場合、または最後から 2 番目の桁が偶数で最後の桁が 0 または 4 の場合です。数が 5 で割り切れるのは、6 進数の桁の合計が 5 で割り切れる場合です ( 10 進数で9 を消すのと同じ)。数が 6 で割り切れる場合、その数の最後の桁は 0 です。数が 7 で割り切れるかどうかを判断するには、その数の交互の桁を合計し、それらの合計を引き算します。結果が 7 で割り切れる場合、その数は 7 で割り切れます。これは、10 進数での「11」の割り切れるかどうかのテストに似ています。

6 は最初の 2 つの素数の積であり、次の 2 つの素数に隣接しているため、多くの 6 進分数は次のように簡単に表現できます。

通常の人間の手には、拳、1 本の指を伸ばした状態、2 本、3 本、4 本、そして 5 本の指すべてを伸ばした状態という、6 つの明確な位置があると言えます。

右手で単位（0から5）を表し、左手で6の倍数を表すと、通常の指を使った数え方で得られる10ではなく、0から55の6進_数（10_進数では35 ）までの値を1人の指で表すことが可能になります。たとえば、左手に3本の指を伸ばし、右手に4本の指を伸ばした場合、6進数の34_{を表します。これは}3 ×6+ 4に相当し、10_進数では22になります。

さらに、この方法は、ある位置から次の位置への動きが片手からもう一方の手に切り替えることによって行われるため、両手を使用して数える最も抽象度の低い方法であり、位置記法の概念を反映しています。ほとんどの先進文化では、5本指までは非常によく似た方法で数えますが、5本を超えると、中国の数字のジェスチャーなど、非西洋文化では西洋の方法から外れます。6本指の数え方も5本を超えるとしか外れないため、この数え方は伝統的な数え方と同等の単純さがあり、この事実は若い学生に位置記法を教える際に影響を与える可能性があります。

どちらの手を「6」に使い、どの手を一に使うかは、計算する側の好みによります。しかし、計算する側から見ると、左手を最上位の数字として使用することは、同じ六進数の表記と相関します。「6」の手を裏返すと、どちらの手が「6」を表し、どちらが一を表すかがさらに明確になります。ただし、六進法の欠点は、事前の合意がなければ、どちらの手が6を表し、どちらの手が1を表すかわからないため、両者がこのシステムを利用できないことです。一方、十進法ベースの計算（5を超える数は、開いた手のひらと追加の指で表します）は、基本的に一進法であるため、他方が伸ばした指の数を数えるだけで済みます。

NCAAバスケットボールでは、選手のユニフォームの番号は最大2桁の6進数に制限されており、審判はこの指カウントシステムを使用してどの選手が違反を犯したかを知らせることができる。^[1]

チサンボップやフィンガーバイナリーなどのより抽象的な指数えシステムでは、方法に応じて99、1023、またはそれ以上の数まで数えることができます（ただし、必ずしも6進法である必要はありません）。イギリスの修道士で歴史家のベーダは、著書『時間的関係について』（725年）の第1章「指の感覚と計算の理論」で、両手で9,999まで数えることができるシステムについて説明しています。^{[2] [3]}

大きな数量を6でまとめる文化は稀であるが、数値体系の発展を検討すると、数量の閾値は6（「全体」、「拳」、「5本の指を超える」と概念化されている可能性がある^[4]）であり、1から6は純粋な形であることが多く、それ以降の数字は構築または借用されている^{[5] 。}

インドネシア・ニューギニアのンドム語には6進法の数字があると言われています。^{[6] [7]} Merは6、mer an thefは6×2=12、nifは36、nif thefは36×2=72を意味します。

パプアニューギニアの別の例としては、ヤム語族の言語が挙げられる。これらの言語では、数を数えることは儀式化されたヤム数えと関連している。これらの言語は6を基数として数え、6の累乗を表す単語を用いる。言語によっては6 ^{6まで達する。一例として、}コムゾ語の数字には次のものがある：nibo（6 ¹）、fta（6 ² [36]）、taruba（6 ³ [216]）、damno（6 ⁴ [1296]）、wärämäkä（6 ⁵ [7776]）、wi（6 ⁶ [46656]）。

ニジェール・コンゴ語族の言語の中には、十進法や20進法などの他の記数法に加えて、6進法を使用していると報告されているものがある。^[5]

ウラル祖語にも6進法の数字があったと疑われており、7の数字は後から借用されたが、10から減算してより大きな数字（8と9）を構成した証拠はそうではないことを示唆している。^[5]

目的によっては、6 進法は小さすぎて不便かもしれません。この問題は、6 進法の平方である 36 進法 (63 進法) を使用することで回避できます。次のように置き換えるだけで変換が容易になります。

したがって、36 進数 3ARK ₃₆は、6 進数 3144332 ₆に等しくなります。10 進数では、153,920 になります。

基数として 36 を選択すると、アラビア数字の0 ～ 9 とラテン文字のA ～ Z を使用して数字を表現できるため便利です。この選択が、 base36エンコード スキームの基礎となっています。36 は 6 の 2 乗であるため、圧縮効果により、基数 36 では多くのパターンと表現が短くなります。

⁠1/9 ₁₀⁠ = 0.04 ₆ = 0.4 ₃₆

⁠1/16 ₁₀⁠ = 0.0213 ₆ = 0.29 ₃₆

⁠1/5 ₁₀⁠ = 0. 1 ₆ = 0. 7 ₃₆

⁠1/7 ₁₀⁠ = 0. 05 ₆ = 0. 5 ₃₆

• 6 進数値を発音可能なパスワードにエンコードするDicewareメソッド。
• Base36エンコード方式
• ADFGVX暗号はテキストを実質的に6進数の数字列に暗号化する

• 包括的な6進数リソース
• シャックの6進法方言
• 6 進数ベースの変換
• 数値基数変換 (Sooeet)
• 電卓