星の数

星の数

最初の 4 つの星の番号 (色別)。
総学期数	無限
式	${\displaystyle S_{n}=6n(n-1)+1}$
最初の学期	1、13、37、73、121、181​​​​​​​​​​
OEIS指数	A003154 星

数学において、星数とは、中心にある 図形数、ダビデの星のような中心にある六芒星（六芒星）、または中国のチェッカーボードのことです。

n番目の星の番号は、式S _n = 6 n ( n − 1) + 1 で与えられます。最初の 45 個の星の番号は、1、13、37、73、121、181、253、337、433、541、661、793、937、1093、1261、1441、1633、1837、2053、2281、2521、2773、3037、3313、3601、3901、4213、4537、4873、5221、5581、5953、6337、6733、7141、7561、7993、です。 8437、8893、9361、9841、10333、10837、11353、および11881。（OEISのシーケンスA003154）

スターナンバーのデジタルルートは常に 1 または 4 で、1、4、1 の順に進みます。10 進数のスターナンバーの最後の 2 桁は常に 01、13、21、33、37、41、53、61、73、81、または 93 です。

星の番号の中で 35113 はユニークです。その素因数 (つまり、13、37、73) も連続した星の番号だからです。

幾何学的には、n番目のスター数は中心点と ( n −1) 番目の三角数の 12 個のコピーで構成されます。つまり、 n番目の中心十二角数と数値的には等しくなりますが、配置が異なります。そのため、n番目のスター数の式は S_n=1+12T_n-1 と表すことができます (T_n=n(n+1)/2)。

無限に多い星の数も三角数であり、最初の 4 つはS ₁ = 1 = T ₁、S ₇ = 253 = T ₂₂、S ₉₁ = 49141 = T ₃₁₃、およびS ₁₂₆₁ = 9533161 = T _{4366 (} OEISのシーケンスA156712 ) です。

無限に多い星の数も平方数であり、最初の 4 つは正方形の星 ( OEISのシーケンスA006061 ) の場合、 S ₁ = 1 ²、S ₅ = 121 = 11 ²、S ₄₅ = 11881 = 109 ²、およびS ₄₄₁ = 1164241 = 1079 ^{2 (} OEISのシーケンスA054318 )です。

スタープライムは、素数であるスター番号です。最初のいくつかのスタープライム ( OEISのシーケンスA083577 ) は、13、37、73、181、337、433、541、661、937 です。

スーパースター素数とは、素数インデックスがスター番号でもあるスター素数です。最初の 2 つの番号は 661 と 1750255921 です。

逆スーパースタープライムは、インデックスがスタープライムであるスター番号です。このような番号の最初のいくつかは、937、7993、31537、195481、679393、1122337、1752841、2617561、5262193 です。

「星数」または「星状数」という用語は、八角数を指すときに時々使用されます。^[1]

星の数を分母とする 単位分数の調和級数は次のようになります。$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }&{\frac {1}{S_{n}}}\\&=1+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{37}}+{\frac {1}{73}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{181}}+{\frac {1}{253}}+{\frac {1}{337}}+\cdots \\&={\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\tan({\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}})\\&\approx 1.159173.\\\end{aligned}}}$$

星の数を分母とする 単位分数の交互の級数は次のとおりです。$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }&(-1)^{n-1}{\frac {1}{S_{n}}}\\&=1-{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{37}}-{\frac {1}{73}}+{\frac {1}{121}}-{\frac {1}{181}}+{\frac {1}{253}}-{\frac {1}{337}}+\cdots \\&\approx 0.941419.\\\end{aligned}}}$$

• 中心六角数