ピラミッド数

ピラミッド数とは、多角形の底面と三角形の側面を持つピラミッド内の点の数です。^{[ 1 ]}この用語は、4つの側面を持つ正方形の底面を持つ正四角錐数を指すことが多いですが、任意の数の側面を持つピラミッドを指すこともあります。^{[ 2 ]}底面と底面に平行な層の点の数は、与えられた数の側面の多角形数で与えられ、各三角形の側面の点の数は三角数で与えられます。ピラミッド数は、より高次元に拡張することができます。

n番目のr角錐数の公式は次のとおりです。

${\displaystyle P_{n}^{r}={\frac {3n^{2}+n^{3}(r-2)-n(r-5)}{6}},}$

どこ${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$、r ≥ 3。^{[ 1 ]}

この式は因数分解できます。

${\displaystyle P_{n}^{r}={\frac {n(n+1){\bigl (}n(r-2)-(r-5){\bigr )}}{(2)(3)}}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)\left({\frac {n(r-2)-(r-5)}{3}}\right)=T_{n}\cdot {\frac {n(r-2)-(r-5)}{3}},}$

ここで、T _nはn番目の三角数である。

最初のいくつかの三角錐数（あるいは四面体数）は次のとおりです。

1、4、10、20、35、56、84、120、165、220 、 ... （ OEISの配列A000292 ）​​​​​​​​​​​​​​​​

最初のいくつかの正四角錐数は次のとおりです。

1、5、14、30、55、91、140、204、285、385、506、650、819、...（OEISのシーケンスA000330 ）。​​​​​​​​​​​​​​​​

最初のいくつかの五角錐数は次のとおりです。

1、6、18、40、75、126、196、288、405、550、726、936、1183、...（OEISのシーケンスA002411 ）。​​​​​​​​​​​​

最初のいくつかの六角錐数は次のとおりです。

1、7、22、50、95、161、252、372、525、715、946、1222、1547、1925 （ OEISのシーケンスA002412 ）。​​​​​​​​​​​​

最初のいくつかの七角錐数は次のとおりです。^{[ 3 ]}

1、8、26、60、115、196、308、456、645、880、1166、1508、1911、 ... （ OEISのシーケンスA002413）​​​​​​