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範疇文法は、自然言語構文における形式体系のファミリーであり、構文要素が関数と引数として結合するという中心的な仮定を共有している。範疇文法は、構文と意味構成の間に密接な関係があると想定しており、通常、構文範疇を意味型に対応するものとして扱う。範疇文法は、1930年代にカジミエシュ・アイドゥキエヴィチによって、1950年代にイェホシュア・バー＝ヒレルとヨアヒム・ランベックによって開発された。リチャード・モンタギューの研究を受けて、1970年代にはモンタギュー文法が同様の構文観を前提としていたことから、範疇文法への関心が急激に高まった。範疇文法は、特に形式意味論において、現在も主要なパラダイムであり続けている。
範疇文法は、2つの部分から構成されます。1つは、各基本記号に一連の型（範疇とも呼ばれる）を割り当てる語彙集、もう1つは、記号列の型が構成要素となる記号の型からどのように導かれるかを決定する型推論規則です。範疇文法の利点は、型推論規則を一度設定すれば変更できないため、特定の言語文法の仕様が語彙集によって完全に決定される点にあります。
範疇文法は、単純型ラムダ計算といくつかの特徴を共有している。ラムダ計算は関数型が1つしかないのに対し、カテゴリー文法は通常、2つの関数型を持ち、1つは左辺に適用される型、もう1つは右辺に適用される型です。例えば、単純なカテゴリー文法には2つの関数型があるかもしれません。そして。 最初、は、タイプのフレーズを生成するタイプのフレーズです。 右側に次のタイプのフレーズが続く場合2番目は、は、タイプのフレーズを生成するタイプのフレーズです。（左側に）タイプのフレーズが先行する場合 。
この表記法は代数に基づいています。分数を分母で乗算（連結）すると、分子が得られます。連結は交換法則を満たさないため、分母が左側にあるか右側にあるかで結果が変わります。連結が相殺されるためには、連結は分母と同じ側になければなりません。
最も単純なカテゴリ文法は基本カテゴリ文法、またはAB文法（AjdukiewiczとBar-Hillelによる）と呼ばれる。プリミティブ型の集合が与えられた場合、 させて は、原始型から構成される型の集合とする。基本的な場合、これは、次の条件を満たす最小の集合である。 そしてもし それからこれらは、基本型から自由に生成される純粋に形式的な表現と考えてください。意味論は後から追加されます。一部の著者は、すべての文法で使用される固定された無限の基本型セットを想定していますが、基本型を文法の一部にすることで、全体の構造は有限に保たれます。
基本的なカテゴリ文法はタプルです どこは有限個の記号の集合であり、 はプリミティブ型の有限集合であり、。
関係これは、型と記号を関連付ける語彙集です。語彙は有限であるため、次のようなペアのセットを列挙することで指定できます。。
英語の文法には、基本的に3つのタイプがあるかもしれない。可算名詞にタイプを割り当てる完全な名詞句のタイプ 、そして文の種類すると形容詞は次のようなタイプを持つことができる。なぜなら、後に名詞が続く場合、句全体が名詞になるからです。同様に、限定詞には次のタイプがあります。なぜなら、名詞が後に続くと完全な名詞句を形成するからである。自動詞は、、他動詞のタイプ単語の並びが文であるのは、それが全体的なタイプを持っている場合である。。
例えば、「the bad boy made that mess」という文字列を見てみましょう。ここで、「the」と「that」は限定詞、「boy」と「mess」は名詞、「bad」は形容詞、「made」は他動詞なので、語彙は次のようになります。、 、 、 、 、 }。
文字列内の型のシーケンスは
次に、関数と適切な引数を見つけ、2つの推論規則に従ってそれらを簡略化します。そして :
結果がこれは文字列が文であることを意味し、一連の還元処理は、それが ((the (bad boy)) (made (that mess))) と解析できることを示しています。
この形式の範疇文法（機能適用規則のみを持つ）は、生成能力において文脈自由文法と同等であり、そのため自然言語の統語論には不十分だと考えられることが多い。文脈自由文法とは異なり、範疇文法は語彙化されており、少数の（主に言語に依存しない）規則のみが用いられ、その他の統語現象はすべて特定の単語の語彙項目から派生する。
範疇文法のもう一つの魅力は、まずすべての基本範疇に解釈型を割り当て、次にすべての派生範疇を適切な関数型と関連付けることで、構成的意味論を容易に付与できる点にある。各構成要素の解釈は、引数における関数の値となる。内包性と量化を扱うための若干の修正を加えることで、このアプローチは幅広い意味現象を網羅することができる。
ランベック文法は、この考え方を発展させたもので、型のための連結演算子と、その他いくつかの推論規則を備えている。マティ・ペントゥスは、これらが依然として文脈自由文法と同等の生成能力を持っていることを示した。
ランベック計算には、型連結演算子がある。、 となることによって そしてもし それから。
ランベック計算は、型包含の主張を導出する方法を規定するいくつかの演繹規則から構成されます。以下の規則では、大文字のローマ字は型を表し、大文字のギリシャ文字は型の有限シーケンスを表します。シーケンスの並置は連結を示します。次の形式の シーケント 次のように解釈できます。文字列が型Xであるのは、それがΓに含まれる各型の文字列の連結から構成されている場合です。型が文字列の集合として解釈される場合、 ←は⊇ 、つまり「部分集合として含む」と解釈できます。水平線は、線の上の包含関係が線の下の包含関係を暗示することを意味します。
このプロセスは、先行する規則を持たず、あらゆる型がそれ自身を含むと述べるだけの公理規則によって開始される。
カットルールとは、包含関係を構成することができるというルールである。
その他の規則はペアになっており、各タイプの構成演算子ごとに1組ずつ用意されています。各ペアは、矢印のターゲット側の演算子とソース側の演算子に対応する規則から構成されます。規則の名前は、演算子と矢印からなり、演算子は結論部分で出現する矢印の側に配置されます。
例えば、「型上げ」の導出は次のようになります。 ルール名と使用される代用選手は右側に記載されています。
文脈自由文法は4タプルであることを思い出してください。どこ
範疇文法の観点から見ると、文脈自由文法は、各言語ごとに特別な目的の公理のセットを持つ計算体系と見なすことができるが、型構築演算子はなく、Cut以外の推論規則もない。
具体的には、上記のような文脈自由文法が与えられた場合、範疇文法を定義する。 どこ 、 そして 公理がある すべてのシンボルに対して 公理 すべてのプロダクションルールについて語彙項目すべての終端記号について 、そして唯一のルールとして Cut を使用します。このカテゴリ文法は、与えられた文脈自由文法と同じ言語を生成します。
もちろん、これは基本的な範疇文法ではありません。なぜなら、言語に依存する特別な公理を持っているからです。つまり、語彙化されていません。また、非原始型を一切使用していません。
任意の文脈自由言語が基本的な範疇文法によって生成できることを示すために、任意の文脈自由言語はグライバッハ標準形の文脈自由文法によって生成できることを思い出してください。
すべての生成規則が次の形式である場合、文法はグライバッハ標準形である。 大文字は変数です。、 そしてつまり、生成規則の右辺は単一の終端記号の後に0個以上の（非終端）変数が続く。
グライバッハ標準形の文脈自由文法が与えられたとき、各非終端変数に対して原始型を持つ基本カテゴリ文法を定義する。 語彙集に項目が追加されました 各生成ルールについて この基本的な範疇文法が、元の文脈自由文法と同じ言語を生成することは、比較的容易に理解できる。なお、この文法の語彙は、一般的に各記号に複数の型を割り当てる。
ランベック文法は基本範疇文法の拡張であるため、同様の構成法が適用可能です。追加の推論規則によって生成される言語が変わらないことを確認する必要があります。これは可能であり、すべての文脈自由言語は何らかのランベック文法によって生成されることが示されます。
逆に、ランベック文法によって生成されるすべての言語が文脈自由言語であることを示すのは、はるかに難しい。これは1960年代初頭から1991年頃まで、約30年間未解決の問題であり、ペンタスによって証明された。
基本的な考え方は、ランベック文法が与えられた場合、 文脈自由文法を構築する 同じ終端記号セット、同じ開始記号、変数の一部（すべてではない）型 、そして生成ルール付き 各エントリについて 語彙集、および生成規則特定のシーケントの場合ランベック微積分で導出可能なもの。
もちろん、型と導出可能なシーケントは無限に存在するため、有限文法を構築するには、必要な型とシーケントのサイズに上限を設ける必要がある。ペントゥスの証明の核心は、そのような有限の上限が存在することを示すことにある。
この分野の表記法は標準化されていません。 形式言語理論、論理学、圏論、言語学で使用される表記法は互いに矛盾しています。論理学では、矢印はより特殊なものからより一般的なもの、つまり仮説から結論へと導きます。本稿ではこの慣例に従い、矢印の目標はより一般的な（包括的な）型とします。
論理学では、矢印は通常左から右に向かいます。この記事では、文脈自由文法の表記法との整合性を保つため、この慣例を逆にしています。文脈自由文法では、単一の非終端記号は常に左側にあります。記号を使用します。 ::=} は、 バッカス・ナウア記法 のように生成規則で使用されます。一部の著者は矢印を使用しますが、残念ながら、文法が言語を生成するものと考えられているか、認識するものと考えられているかによって、矢印の方向はどちらにもなり得ます。
範疇文法に関する著者の中には次のように書いている人もいる。の代わりに ここで使用されている表記法は、ランベックの法則と代数学の法則に従っています。
範疇文法の基本概念は、カジミェシュ・アイドゥキェヴィチ（1935年）や、スタニスワフ・レシニェフスキ、エミール・ポスト、アルフレッド・タルスキなど、ポーランドの数理論理学の伝統に属する他の学者たちの研究に由来する。アイドゥキェヴィチの構文への形式的アプローチは、ルドルフ・カルナップによって形式化されたエドムント・フッサールの純粋論理文法の影響を受けている。これは、すべての言語の根底にある構造としての普遍論理文法という歴史的概念の発展を表している。このアプローチの中核概念は、統語範疇の置換可能性であり、これが範疇文法という名称の由来である。要素（例えば、単語や句）が統語範疇（語類、句類）に属するかどうかは、交換テストによって確立され、形式文法は一連のそのようなテストによって構築される。[ 1 ]
範疇文法という用語は、イェホシュア・バー＝ヒレルによって1953年に造語されました。1958年、ヨアヒム・ランベックは、関数型コンストラクタと関数の組み合わせに関する様々な規則を形式化した構文計算を導入しました。この計算は、部分構造論理であるという点で、線形論理の先駆けと言えます。
モンタギュー文法は、範疇文法と同じ原理に基づいています。[ 2 ]モンタギューの研究は、自然言語の意味論に対する彼の非常に成功した形式的扱いと範疇文法を結びつけることで、範疇文法への関心を高めるのに役立ちました。範疇文法におけるその後の研究は、構文的カバレッジの改善に焦点を当てています。近年、かなりの注目を集めている形式主義の1つは、モーゼス・シェーンフィンケルとハスケル・カリーによって考案された組み合わせ論理に基づいて構築された、スティードマンとサボルチの組み合わせ範疇文法です。
言語学には、型論理文法や抽象範疇文法など、この種の関連する形式体系がいくつか存在する。[ 3 ] [ 4 ]
統語的網羅性を向上させるために、範疇文法に対する様々な変更が提案されてきた。最も一般的なもののいくつかを以下に挙げる。
ほとんどの範疇文法体系では、範疇を細分化します。最も一般的な方法は、人称、性、数、時制などの特徴で範疇にタグを付けることです。場合によっては、原子範疇のみがこのようにタグ付けされます。モンタギュー文法では、関数範疇を複数のスラッシュを使用して細分化するのが一般的です。したがって、A/BとA//B は、同じ引数を取るものの、それらを引数として取る他の関数によって区別できる、左適用関数の 2 つの異なる範疇となります。
関数合成の規則は、多くの範疇文法に含まれています。そのような規則の例としては、タイプA/Bの構成要素とタイプB/Cの構成要素を連結して、タイプA/Cの新しい構成要素を生成することを許可する規則が挙げられます。このような規則の意味論は、関係する関数の合成のみを含みます。関数合成は、特に右ノード上昇などの現象に関連する結合と抽出の範疇的説明において重要です。範疇文法に関数合成を導入すると、意味的曖昧さに対応しないという意味で空虚な、多くの種類の派生的曖昧さが生じます。
多くの範疇文法には、 X CONJ X → X という一般的な形式の典型的な接続規則が含まれています。ここで、Xは範疇です。接続は、型上げや関数合成によって生じる非標準的な構成要素に一般的に適用できます。
文法は、不連続な慣用句、ギャップ、抽出などの言語現象を扱うように拡張されています。[ 5 ]
![{\displaystyle {\dfrac {{\dfrac {}{B\leftarrow B}}\qquad {\dfrac {}{A\leftarrow A}}}{\dfrac {B\leftarrow (B/A),\;\;A}{(B/A)\backslash B\leftarrow A}}}\qquad {\begin{matrix}{\mbox{(Axioms)}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {}\\{(\leftarrow /)\,\,[Z=Y=B,X=A,\Gamma =(A),\Delta =\Delta '=()]}\\{(\backslash \leftarrow )\,\,[Y=B,X=(B/A),\Gamma =(A)]}\qquad \qquad \qquad {}\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a134c82e716b6dfc3b87500445895b5601ce317b)
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