一般化された量指定子

形式意味論において、一般化量指定子( GQ ) は集合の集合を表す表現です。これは量化された 名詞句に割り当てられる標準的な意味論です。たとえば、一般化量指定子every boy は、 すべての少年がメンバーである集合の集合を表します。 $${\displaystyle \{X\mid \forall x(x{\text{ は男の子}}\to x\in X)\}}$$

この量指定子の扱いは、量指定子を含む文の構成 意味論を達成する上で不可欠であった。^{[1] [2]}

型理論のバージョンは、さまざまな種類の式の意味を明示的にするためによく使用されます。標準的な構成では、型のセットを次のように再帰的に定義します。

1. eとt は型です。
2. aとbが両方ともタイプである場合、${\displaystyle \langle a,b\rangle }$
3. 上記の 1 行目と 2 行目に基づいて構築できるもの以外は、型ではありません。

この定義では、単純な型eとt がありますが、複合型の可算な 無限数もあり、その一部を以下に示します。 $${\displaystyle \langle e,t\rangle ;\qquad \langle t,t\rangle ;\qquad \langle \langle e,t\rangle ,t\rangle ;\qquad \langle e,\langle e,t\rangle \rangle ;\qquad \langle \langle e,t\rangle ,\langle \langle e,t\rangle ,t\rangle \rangle ;\qquad \ldots }$$

• e型の表現は、談話の対象となる実体の集合である談話領域 の要素を表します。この集合は通常 と表記されます。e 型の表現の例には、Johnやheなどがあります。${\displaystyle D_{e}}$
• t型の式は真理値を表し、通常は集合 として表されます。ここで、0 は「偽」、1 は「真」を表します。t型であると言われる式の例としては、文や命題 などがあります。${\displaystyle \{0,1\}}$
• 型の式は、実体の集合から真理値の集合への関数を表します。この関数の集合は と表現されます。このような関数は集合の特性関数です。これらは集合の要素であるすべての個体を「真」に、それ以外を「偽」にマッピングします。これらは特性関数ではなく集合を表すとよく言われますが、厳密に言えば後者の方が正確です。この型の式の例としては、述語、名詞、およびある種の形容詞などがあります。${\displaystyle \langle e,t\rangle }$${\displaystyle D_{t}^{D_{e}}}$
• 一般に、複合型の式は、型のエンティティの集合から型のエンティティの集合への関数を表し、次のように記述できる構造です。${\displaystyle \langle a,b\rangle }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle D_{b}^{D_{a}}}$

次のようにして、上記の文 (Every boy sleeps) の単語に型を割り当てることができます。

• タイプ(男の子) =${\displaystyle \langle e,t\rangle }$
• タイプ(睡眠) =${\displaystyle \langle e,t\rangle }$
• タイプ(すべて) =${\displaystyle \langle \langle e,t\rangle ,\langle \langle e,t\rangle ,t\rangle \rangle }$
• タイプ(すべての男の子) =${\displaystyle \langle \langle e,t\rangle ,t\rangle }$

そして、この例の一般化量指定子は、${\displaystyle \langle \langle e,t\rangle ,t\rangle }$

したがって、すべての は、集合から集合から真理値への関数を表します。言い換えると、これは集合から集合の集合への関数を表します。これは、任意の 2 つの集合A、Bに対して、すべての( A )( B )= 1 が成り立つ場合、かつその場合に限ります。 ${\displaystyle A\subseteq B}$

複雑な関数を書くのに便利な方法は、ラムダ計算です。たとえば、sleepsの意味を次のラムダ式で書くことができます。これは、個体xから、 x が sleeps するという命題への関数です。 このようなラムダ項は、その定義域がピリオドの前のもので、その値域がピリオドの後の型である関数です。x がの要素にわたる変数である場合、次のラムダ項は個体上の恒等関数を表します。 $${\displaystyle \lambda x.\mathrm {sleep} '(x)}$$${\displaystyle D_{e}}$$${\displaystyle \lambda xx}$$

これで、すべてのの意味を次のラムダ項で記述できるようになりました。ここで、X、Yは 型の変数です。 ${\displaystyle \langle e,t\rangle }$$${\displaystyle \lambda X.\lambda YX\subseteq Y}$$

boyとsleepsの意味をそれぞれ「B」と「S」と略すと 、 every boy sleeps nowという文は次のような意味になります。β- 還元 により、 $${\displaystyle (\lambda X.\lambda YX\subseteq Y)(B)(S)}$$$${\displaystyle (\lambda YB\subseteq Y)(S)}$$$${\displaystyle B\subseteq S}$$

every という表現は限定詞です。名詞と組み合わせると、型の一般化された量指定子になります。 ${\displaystyle \langle \langle e,t\rangle ,t\rangle }$

一般化量指定子GQ は、集合XとYのすべてのペアに対して、次が成り立つ 場合、単調増加（上方含意とも呼ばれる）であると言われます。

ならば、GQ( X )はGQ( Y )を含意する。${\displaystyle X\subseteq Y}$

GQ every boy は単調増加です。たとえば、速く走るものの集合は、走るものの集合のサブセットです。したがって、以下の最初の文は2 番目の 文を伴います。

1. どの男の子も走るのが速いです。
2. 男の子はみんな走ります。

GQ が単調減少(下方含意とも呼ばれる) であるとは、集合XとYのすべてのペアに対して、次の条件が成り立つ場合を指します。

ならば、GQ( Y )はGQ( X )を伴います。${\displaystyle X\subseteq Y}$

単調減少の GQ の例はno boyです。この GQ では、以下の最初の文が 2 番目の文を含意することがわかります。

1. 走る少年はいない。
2. 速く走る少年はいない。

限定詞 noのラムダ項は次のとおりです。これは、2 つのセットに空の共通部分があることを示します。 単調減少 GQ は、負の極性項目( any など)を 許可できる式の 1 つです。単調増加 GQ は、負の極性項目を許可しません。 $${\displaystyle \lambda X.\lambda YX\cap Y=\emptyset }$$

1. 良い: どの少年もお金を持っていません。
2. 悪い例: *すべての男の子はお金を持っています。

GQ は、単調増加でも単調減少でもない場合は非単調であると言われます。このような GQ の例は、three boysです。次の文はどちらも、他方を含意しません。

1. ちょうど3人の生徒が走りました。
2. ちょうど３人の生徒が速く走りました。

最初の文は 2 番目の文を含意しません。走った生徒の数がちょうど 3 人であるという事実は、これらの生徒全員が速く走ったことを含意しないため、そうした生徒の数は 3 人より少なくなる場合があります。逆に、2 番目の文は最初の文を含意しません。単に走った (つまり、それほど速くなかった) 生徒の数が 3 人より多くても、ちょうど 3 人の生徒が速く走ったという文は真になり得ます。

正確に 3 である (複雑な)決定子 のラムダ項は次のとおりです。これは、2 つの集合の 共通部分の濃度が3 に等しいことを示しています。$${\displaystyle \lambda X.\lambda Y.|X\cap Y|=3}$$

次の同値性が成り立つ場合、 限定詞 D は保守的であると言われます。 たとえば、次の 2 つの文は同値です。 $${\displaystyle D(A)(B)\leftrightarrow D(A)(A\cap B)}$$

1. 男の子はみんな寝ます。
2. 男の子はみんな眠る男の子です。

すべての限定詞は、あらゆる自然言語において保守的であると提案されている。 ^[2] onlyという 表現は保守的ではない。次の2つの文は同等ではない。しかし、実際には、 onlyを限定詞として分析することは一般的ではなく、むしろ焦点に敏感な副詞として扱われるのが標準的である。

1. 寝るのは男の子だけです。
2. 眠るのは男の子だけです。

• スコープ（形式意味論）
• リンドストローム量指定子
• 分岐量指定子

• スタンレー・ピーターズ、ダグ・ヴェスターシュタール（2006年）。言語と論理における量指定子。クラレンドン・プレス。ISBN 978-0-19-929125-0。
• アントニオ・バディア（2009年）。『Quantifiers in Action: Generalized Quantification in Query, Logical and Natural Languages 』。Springer。ISBN 978-0-387-09563-9。
• Wągiel M (2021). 素粒子量子化(pdf) . ベルリン: Language Science Press. doi : 10.5281/zenodo.5106382 . ISBN 978-3-98554-011-2。

• Dag Westerståhl、2011年。「一般化された量指定子」。 スタンフォード哲学百科事典。