ホールの議論

一般相対性理論において、ホールの議論は、アルバート・アインシュタインが場の方程式を開発していたときに非常に悩まされた明らかなパラドックスです。

通常の場の方程式では、場の源と境界条件がわかれば、どこでも場が決定されます。たとえば、電流と電荷密度、適切な境界条件が与えられている場合、マクスウェル方程式は電場と磁場を決定します。ただし、ベクトル ポテンシャルはゲージの任意の選択に依存するため、マクスウェル方程式はベクトル ポテンシャルを決定しません。

アインシュタインは、重力方程式が一般に共変である場合、計量は時空の座標の関数としてその発生源によって一意に決定できないことに気付きました。例として、太陽などの重力源を考えてみましょう。すると、計量 g(r) によって記述される何らかの重力場が存在します。ここで、座標変換 r r' を実行します。ここで、r' は太陽の内部にある点については r と同じですが、r' は太陽の外部にある点については r と異なります。太陽内部の座標記述は変換の影響を受けませんが、太陽外部の新しい座標値に対する計量 g' の関数形式は変更されます。場の方程式の一般的な共変性により、この変換された計量 g' は、変換されていない座標系の解でもあります。 ${\displaystyle \to}$

これは、太陽という 1 つのソースが、一見異なる多くの測定基準のソースになり得ることを意味します。解決はすぐにできます。ゲージ変換によって異なる 2 つの異なるベクトル ポテンシャルが物理的に等価であるのと同様に、このような「ホール」変換によってのみ異なる 2 つのフィールドは物理的に等価です。したがって、これらの数学的に異なる解はすべて物理的に区別できません。つまり、それらはフィールド方程式の 1 つの同じ物理的解を表します。

この明らかなパラドックスには多くのバリエーションがあります。 1 つのバージョンでは、いくつかのデータを含む初期値面を考え、時間の関数としてメトリックを見つけます。次に、初期値面の未来の点を移動するが、初期面や無限遠の点には影響しない座標変換を実行します。結論としては、一般に共変な場の方程式は未来を一意に決定しない、ということが考えられます。これは、この新しい座標変換されたメトリックが、元の座標系における同じ場の方程式の同等に有効な解であるためです。したがって、初期値問題には一般相対性理論における一意の解はありません。これは電気力学でも同様です。明日のベクトル ポテンシャルにのみ影響するゲージ変換を行うことができるためです。どちらの場合も、解決策は追加の条件を使用してゲージを固定することです。

アインシュタインの重力場方程式の導出は、1913年に彼が作り出したホール議論のために遅れた。^[1]しかし、問題は上のセクションで述べたようなものではなかった。アインシュタインが「座標の意味との格闘」と呼んだものを始めた1912年までに、^[2]彼はすでに、座標変更の影響を受けないテンソル方程式を探すことを知っていた。彼はすでに重力場の形（すなわち、四面体またはフレーム場 または計量）と、与えられた重力場における物質の運動方程式（によって与えられる固有時間を最大化することから得られる）を発見していた。^[3]これは座標変換に対して不変であることは明らかである。 ${\displaystyle e_{\mu}^{I}(x)}$${\displaystyle g_{\mu \nu }(x)}$${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }(x)dx^{\mu }dx^{\nu }}$

彼を悩ませたのは、彼の一般共変性原理の結果であり、次のことから生じている。^[4]一般共変性は、物理法則はすべての参照フレーム（加速しているかどうかに関係なく）で、したがってすべての座標系で同じ数学的形式をとるべきであると述べているため、重力場の場の方程式である微分方程式はすべての座標系で同じ数学的形式をとるべきである。言い換えれば、座標と座標という2つの座標系が与えられた場合、一方では独立変数が で、もう一方は独立変数が であることを除いて、両方で解くべき微分方程式がまったく同じである。これは、場の方程式を解く座標系の計量関数が見つかったら、同じ関数を書き出して's をすべて 's に置き換えるだけで、座標系の場の方程式を解くことができることを意味します。これら2つの解は同じ関数形式を持ちますが、異なる座標系に属しているため、異なる時空幾何学が課せられます。この2番目の解は座標変換によって最初の解と関連づけられているわけではないが、それでも解であることに注意されたい。ここにアインシュタインを非常に悩ませた問題がある。これらの座標系が 以降でのみ異なる場合、2つの解が存在する。つまり、それらは初期条件は同じだが、 以降で異なる幾何学を課す。この観察に基づいて、アインシュタインはヒルベルトとの必死の競争の中で、一般に共変でない場の方程式の探索に3年間を費やした。^[5]${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle t=0}$

より正確に言うと、アインシュタインは、物質の分布が、物質のない時空の閉じた領域、つまりホールの外側のどこでもわかっている状況を思いつきました。すると、場の方程式と境界条件により、ホールの内側の計量場を決定できると考えられます。ホールの内側ではと の座標が異なりますが、ホールの外側では と の座標が一致するとします。すると、議論は上記の段落のように進みます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

これら 2 つの解は同じ関数形式を持っているため、同じ値を仮定します。ただし、異なる場所でそれらの値を仮定するだけです。したがって、一方の解は、時空多様体上の計量関数を新しい構成に積極的にドラッグすることによって、もう一方の解から得られます。これは微分同相写像として知られており、物理学者は座標変換 (受動微分同相写像) と区別するために能動微分同相写像と呼ぶこともあります。アインシュタインは、一般に共変でない場の方程式を見つけることができず、ホールの議論に戻って解決しました。それは基本的に、計量が時空多様体上でどのように局在するかは物理的に無関係であり、時空座標で定義された個々の時空点はそれ自体では物理的な意味を持たない (これが多様体実体論の問題の源である) と主張することによって、これら 2 つの解が物理的に同等であると受け入れることを伴いました。「場所」に意味を与えるために、アインシュタインは 2 つの粒子を導入することによって上記の段落で与えられた状況を一般化しました。すると、物理的な点 (穴の中) は、一致する世界線によって定義できます。これは、能動微分同相写像の下では、物質が計量とともに引きずり込まれるため機能します。これらの粒子を導入しなければ、物理的な時空点 (穴の中) を定義することはできません。以下の「アインシュタインの解決」のセクションにあるアインシュタインの引用を参照してください。

哲学的な傾向のある人にとっては、まだ微妙な点が残っています。計量成分が一般相対性理論の動的変数であると考えられる場合、方程式が座標不変であるという条件は、それ自体では意味を持ちません。すべての物理理論は、適切に定式化されていれば、座標変換に対して不変です。マクスウェル方程式を任意の座標系で記述し、同じように未来を予測することは可能です。

しかし、任意の座標系で電磁気学を定式化するには、特定の座標系に縛られない時空幾何学の記述を導入する必要があります。この記述は、すべての点における計量テンソル、またはどの近くのベクトルが平行であるかを定義する接続です。導入された数学的オブジェクトであるミンコフスキー計量は、座標系ごとに形を変えますが、力学の一部ではなく、運動方程式に従いません。電磁場に何が起こっても、常に同じです。電磁場は、作用されることなく作用します。

一般相対性理論では、幾何学を記述するために使用されるすべての個別の局所量は、それ自体が独自の運動方程式を持つ局所的な動的場です。運動方程式は理にかなったものでなければならないため、厳しい制約が生じます。運動方程式は初期条件から未来を決定し、小さな摂動に対して暴走不安定性があってはならず、小さな偏差に対して正定値エネルギーを定義しなければなりません。座標不変性が自明であるという観点に立つと、座標不変性の原理は、単に計量自体が動的であり、その運動方程式は固定された背景幾何学を含まないことを述べているだけです。

1915 年、アインシュタインはホールの議論が時空の性質について仮定を立てていることに気付きました。ホールの議論は、時空座標によって定義された時空点における重力場の値 (単なる座標変換まで) について話すことに意味があると仮定しています。より正確には、時空点における重力場の物理的特性、たとえばそれが平坦であるか曲がっているか (これは重力場の座標に依存しない特性です) について話すことに意味があると仮定しています。この仮定を捨てることで、一般共変性は決定論と両立するようになりました。能動微分同相写像によって異なる 2 つの重力場は幾何学的には異なっているように見えますが、すべての粒子の軌道が再計算された後、それらの相互作用は明らかに、すべての能動微分同相写像の下で重力場が同じ値を取る「物理的な」位置を定義します。^[6]（2つの計量が単なる座標変換によって互いに関連している場合、粒子の世界線は転置されないことに注意してください。これは、これらの計量の両方が同じ時空幾何学を課し、世界線が最大固有時間の軌道として幾何学的に定義されているためです。幾何学が変更され、軌道が変更される場合は、アクティブな微分同相写像のみです。）これは、物理法則における ゲージ不変性の原理の最初の明確な記述でした。

アインシュタインは、ホールの議論は、場所と時間の意味のある定義は物質を通してのみであるということを意味していると信じていました。時空内の点はそれ自体では意味がありません。なぜなら、そのような点に付けるラベルは未確定だからです。時空の点は、物質がそこを移動することによってのみ、物理的に意味を持ちます。彼の言葉を借りれば、

「我々の時空検証はすべて、時空一致の決定に帰着する。例えば、事象が単に物質点の運動から成り立つとすれば、究極的には、これらの点の2つ以上が出会うこと以外は何も観測できないだろう。」^[7]

彼はこれを一般相対性理論の最も深い洞察だと考えた。この洞察によれば、あらゆる理論の物理的内容は、それが許す時空の一致のカタログによって尽きる。ジョン・スタッチェルはこの原理を点一致の議論と呼んだ。^[1]

一般的に、能動微分同相写像の下で不変であり、したがってゲージ不変であるものは、同じ「場所」で重力場の値と物質場の値の間の一致です。これは、能動微分同相写像の下で重力場と物質場が互いに引きずり合わされるためです。これらの一致から、物質が重力場に対して配置されているという概念を形成できます。カルロ・ロヴェッリは次のように述べています。「時空上の場はもうありません。場上の場だけです。」^[4]これは、「舞台は消えて俳優の一人になる」という格言の本当の意味です^{[説明が必要]}。物理学が行われる「容器」としての時空には客観的な物理的意味はなく、代わりに重力相互作用は世界を形成する場の 1 つとして表現されます。

アインシュタインは、この決意を「私の想像をはるかに超えるもの」と評した。

ループ量子重力(LQG) は、古典一般相対論の基本原理と量子力学の最小限の本質的特徴を結び付け、新しい仮説を要求しない量子重力へのアプローチです。ループ量子重力物理学者は、重力を量子化するアプローチの中心的信条として背景独立性を考慮しています。これは、幾何学 (=重力) を真に量子化するのであれば、量子理論によって保持されるべき古典的な対称性です。直接的な結果の 1 つは、LQG が UV 有限であるということです。これは、小さな距離と大きな距離がゲージ等価であるためです。これは、アクティブな微分同相写像によって、1 つの計量関数を最初の計量関数に関連する別の計量関数に置き換えることができるためです。より正確な議論を行うことができます。^[8]すべての形態の物質が存在する場合の標準的な LQG の有限性の直接的な証明は、Thiemann によって提供されています。^[9]ただし、ループ量子重力は、優先参照フレーム (「スピン フォーム」) を導入することで背景独立性に違反すると示唆されています^{[誰? ]}。^{[引用が必要]}

摂動的な弦理論（およびいくつかの非摂動的な定式化）は、無限遠での境界条件に依存するため、「明らかに」背景に依存しない。これは、摂動的な一般相対論が「明らかに」背景に依存しないのと同様である。しかし、弦理論のいくつかの分野では、背景独立性が明白な定式化が認められており、最も有名なのはAdS/CFTである。弦理論は一般に背景独立であると考えられているが、多くの有用な定式化ではそれが明白になっていない。^[10]反対の見解については、スモーリンを参照のこと。^[11]

• エーリッヒ・クレッチマン
• 空間と時間の哲学

• アルバート・アインシュタイン、HAローレンツ、H.ワイル、H.ミンコフスキー、『相対性原理』（1952年）：アインシュタイン、アルバート（1916年）「一般相対性理論の基礎」、pp. 111-164。
• Carlo Rovelli著『Quantum Gravity』、Cambridge University Press 発行 (2004) ISBN  0-521-83733-2。暫定版は http://www.cpt.univ-mrs.fr/~rovelli/book.pdf から無料でダウンロードできます。
• ノートン、ジョン、「ホール論」、スタンフォード哲学百科事典（2004 年春版）、エドワード N. ザルタ（編）
• レイ・ディンヴェルノ（1992年）『アインシュタインの相対性理論入門』オックスフォード：オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-859686-3。セクション13.6を 参照してください。
• プランクスケールにおける物理学と哲学の出会い（ケンブリッジ大学出版局）。
• Joy Christian、「なぜ量子は重力に屈服しなければならないのか」、電子プリントはgr-qc/9810078として入手可能。Physics Meets Philosophy at the Planck Scale（ケンブリッジ大学出版）に掲載。
• Carlo Rovelliと Marcus Gaul、「ループ量子重力と微分同相写像不変性の意味」、電子プリントは gr-qc/9910079 として入手可能。
• Robert Rynasiewicz：「ホール議論の教訓」、Brit.J.Phil.Sci. vol.45、no.2 (1994)、pp.407–437。
• アラン・マクドナルド、「アインシュタインのホール議論」、アメリカ物理学ジャーナル（2001年2月）第69巻第2号、pp.223-225。

• スタッヘル、ジョン、「ホールの議論といくつかの物理的および哲学的含意」、Living Rev. Relativ. 17 (1) (2014)。